拉格朗日函数

1、9.10 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法0 多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值0 条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值 特别的：二元函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx的的某邻域内有定义，对于该邻域内异于某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的的点点),(yx：若满足不等式：若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数在则称函数在),(00

2、yx有极大值；若满足不等式有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1 1、多元函数极值的定义、多元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值使函数取得极值的点称为极值点的点称为极值点. . 设设P P R Rn n, , 函数函数u=f(p)u=f(p)在在p p0 0的某邻域的某邻域U(pU(p0 0, , ) )内有内有定义，对任何定义，对任何p p U(p U(p0 0, , ), p), pp p0 0, , 都有都有f(p)f(pf(p)f(pf(p)f(p0 0), ),

3、 称称函数函数 u=f(p)u=f(p)在在p p0 0点有极小值。点有极小值。(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取

4、得极值的条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件

5、为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.例例, 点点)0 , 0(是是函函数数xyz 的的唯唯一一驻驻点点，但但不不是是极极值值点点.前提：多元函数在（前提：多元函数在（X0,Y0）处有偏导。）处有偏导。注：注：1）极值点处的切平面平行于）极值点处的切平面平行于xoy平面；平面； 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点如何判定驻点是否为极值点？如何判定驻点是否为极值点？注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy，令，令: : Ayxfxx )

6、,(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值也可能没有极值定理定理 2 2 ( (充分条件充分条件) )设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，续，有一阶及二阶连续偏导数，求求函函数数z z= =f

7、f( (x x, ,y y) )极极值值的的一一般般步步骤骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.例例 4 4 求函数求函数 f(f(x,y)=xx,y)=x4 4+y+y4 4-x-x2 2-2xy-y-2xy-y2 2的极值的极值 解解 f fx x( (x,y)=4xx,y)=4x3 3-2x-2y-2x-2y=0=0，f fy

8、y( (x,y)=4yx,y)=4y3 3-2x-2y-2x-2y=0=0， 得驻点得驻点（1 1，1 1） ，） ， （-1-1，-1-1） ，） ， （0 0，0 0） 。） 。 判断：求二阶偏导判断：求二阶偏导 f fxxxx( (x,y)=12xx,y)=12x2 2-2, -2, f fxyxy( (x,y)=-2x,y)=-2, , f fyyyy( (x,y)=12yx,y)=12y2 2-2-2， 在点在点（1 1，1 1）处，）处， A=fA=fxxxx(1,1)=10, (1,1)=10, B=fB=fxyxy(1,1)=-2(1,1)=-2，C=fC=fyyyy(1,1)

9、=10(1,1)=10 因因 B B2 2AC0AC0A0， 故故 f(1,1)=f(1,1)= -2-2 为极小值为极小值 类似可得类似可得 f(-1,-1)=f(-1,-1)= - -2 2 为极小值为极小值在点在点（0 0，0 0）处，）处，A=B=C=A=B=C= - -2 2，B B2 2-AC=0-AC=0，此时应用极值定义判断此时应用极值定义判断 f(0,0)=0f(0,0)=0 是否为极值是否为极值对足够小的正数对足够小的正数 ，有，有 f(f( ，0)=0)= 2 2（ 2 2-1-1）0, 0 0这说明在点这说明在点（0 0，0 0）的任一邻域内，既有函数值大于）的任一邻域

10、内，既有函数值大于f(0f(0, ,0)0)的点，又有函数值小于的点，又有函数值小于 f(0f(0，0)0)的点，故的点，故f(0f(0，0)0)非极值非极值. .求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .3 3、多元函数的最值、多元函数的最值例例: : 求函数求函数 z=f(z=f(x,y)=xx,y)=x2 2+4y+4y2 2+9+9 在区域在区域 D D：x x2

11、2+y+y2 24 4 上的上的最大值最大值 M 和最小值和最小值 m. .解解 第一步，求第一步，求 f f 在域内的可能极值点的函数值为此解在域内的可能极值点的函数值为此解: : f fx x( (x,y)=2xx,y)=2x=0=0，f fy y( (x,y)=x,y)=8 8y y=0=0，驻点，驻点(0,0), f(0,0)=9.(0,0), f(0,0)=9.第二步，求第二步，求 f f 在边界上的可能最值点的函数值在边界在边界上的可能最值点的函数值在边界 x x2 2+y+y2 2= =4 4 上，上，z=xz=x2 2+y+y2 2+3y+3y2 2+9=3y+9=3y2 2+

12、13+13，2 2y y2 2， 令：令：06 ydydz, , 得得 y=0 y=0，z=13;z=13; y y= =2 2 时，时，z z=25=25 第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M，最小者为最小者为m故故M=25=25，m=9=9解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,例例 5 5 求求二二元元函函数数

13、)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域D上上的的最最大大值值与与最最小小值值.解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxD在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxD(舍去舍去x1)例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2

14、)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由 x=y即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买

15、张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx二、条件极值拉格朗日乘数法二、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 为某一常

16、数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均为常数，可由均为常数，可由 偏导

17、数为零及条件解出偏导数为零及条件解出tzyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.例例 7 7 将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为 2x=3y, y=2z例例 8 8 在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四

18、面面体体体体积积最最小小，求求切切点点坐坐标标.解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,在条件在条件122022022

19、0 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得

20、可得即即30ax 30by ，30cz 1. 在椭圆在椭圆 上求一点，使其到直线上求一点，使其到直线4422 yx0632 yx的距离最短。的距离最短。解解 设设P(x，y)为椭圆为椭圆 上任意一点，则上任意一点，则P到直线到直线4422 yx0632 yx的距离为的距离为13|632| yxd),44()632(131),(222 yxyxyxF 求求d 的最小值点即求的最小值点即求 的最小值点。作的最小值点。作2d由由lagrange乘数法，令乘数法，令0, 0, 0 FyFxF得方程组得方程组 . 044, 08)632(136, 02)632(13422yxyyxxyx 解此方程组得解

21、此方程组得53,58;53,582211 yxyx于是于是.1311,131),(),(2211 yxyxdd由问题的实际意义最短距离存在，因此由问题的实际意义最短距离存在，因此 即为所求点。即为所求点。 53,58 0440)83(22yxyx 2.2.求平面求平面1543 zyx和柱面和柱面122 yx的交线上与的交线上与xoy平面距离最短的点平面距离最短的点 . .),(zyx解：设点解：设点zd 则则)1543()1(),(22212 zyxyxzzyxF 设设32),(21 xzyxFx42),(21 yzyxFy52),(2 zzyxFz0 0 0 yx86 122 yx又又53,54 yx1285,123521 zz)1235,53,54(距离最短点距离最短点之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz3.3.解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物