微积分重要公式

1、第一讲函数、极限与连续重要公式与结论一、函数的奇偶性、周期性与导数、积分的联系1.设是可导的偶函数，则为奇函数，且；设是可导的奇函数，则为偶函数。2.设连续：如为偶函数，则为奇函数；如为奇函数，则对任意的，为偶函数。3.设在上连续，则4.可导的周期函数的导函数仍为同周期函数。5.设是以为周期的连续函数，则二、在自变量不同变化过程中的函数极限及其联系1.2.3.4.设评注由结论3，4知可利用函数极限求数列极限。三、连续的隐含条件如题中给了连续条件，应充分利用以下结论：1.设在处连续，则2.设在上连续，则在上可积，且可构造的原函数，对在上可应用最值、介值、零点定理。四、两个重要极限的一般形式1.设

2、，则2.设，则（因为）。五、无穷小量与界变量之积为无穷小量特例：设六、极限存在准则及性质1.单调有界数列必有极限。2.夹逼准则：设在的某空心邻域内（或当时），有，且，则3. 极限的局部保号性与有界性：设，（1）则存在的某空心邻域，使得在该邻域内有界；（2）如果（或），则存在的某空心邻域，使得在此邻域内有（或）；（3）如果在的某空心邻域内有或（），则（或）；（4）无穷小量，使.七、无穷小量的等价替换1.若，则2. 常见的等价无穷小：设，则3.8、 常见的极限不存在的函数1. 无穷大量是极限不存在的一种形式。2. 设，则下列函数的极限不存在：，此时应注意利用无穷小量乘有界变量仍为无穷小量以及左右极

3、限等进行讨论。九、几个常用极限1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.第二讲导数与微分重要公式与结论一、导数定义与极限的联系1.设存在，如果，则如果，则2.设在处连续，则二、可导、可微、连续及极限的关系三、导数的几何意义切线方程：法线方程：特别地，如，切线方程为：；法线方程为：。 如，切线方程为：；法线方程为：。四、奇偶函数、周期函数的导数1.可导偶函数的导函数为奇函数。特别地，设为偶函数，且存在，则。2.可导奇函数的导函数为偶函数。3.可导周期函数的导函数仍为同周期函数。特别地，设存在，则五、六、含绝对值函数的可导性1.设存在，且有定义，则在处可导。2.设存在，则在处可导。七、高阶导数公式

4、1.设函数，在点处有阶导数，则（1） 2.基本初等函数的阶导数公式。（1），（2），（3）（4）第四讲一元函数积分学重要公式与结论一、奇偶函数、周期函数的积分1.设连续， 如为偶（奇）函数，则为奇（偶）函数； 如为奇函数，则对任意，为偶函数。2.设在上连续，则3.设是以为周期的连续函数，则，。特别地有二、利用积分定义求项和的极限设连续，则，。三、定积分的不等式性质1.设，在上连续，且，则2.设在上连续，则3.设，在上连续，则4.设在上连续，且，但不恒等于零，则注：以上不等式必须有条件，如，则不等号反向。四、积分中值定理1.设在上连续，则使注：可改为。2.设在上连续，在上可积且不变号，则，使五、

5、变限积分1.若在上连续，则可导，且2.若在上可积，则在上连续。3.若连续，可导，则对于一般情形，先把提到积分号外，再令，从而将积分化为被积函数不含变量的变限积分，最后再求导。第六讲多元函数积分学重要公式与结论一、二重积分的性质1.线性运算性质：2.积分可加性：，其中，而且与除边界外没有其他公共点。3.积分中值定理：设函数在闭区域上连续，表示的面积，则在上至少存二、二重积分的对称性1.若关于轴对称，则其中为的上半平面部分。2.若关于轴对称，则其中为的右半平面部分。3. 轮换对换性：若互换后区域不变（即区域关于直线对称），则第七讲无穷级数重要公式与结论1. 对于级数，令表示其部分和数列，则（1）若

6、收敛，则，；（2）若，或该极限不存在，则发散。2.设都是非零常数，则有：（1）若与都收敛，则也收敛；（2）若和中一个收敛，另一个发散，则发散；（3）若与都发散，则的敛散性不确定。3.设（或）。如果，则，且和都发散。4.（1）若幂级数在处收敛，则对任何满足的，绝对收敛；（2）若幂级数在处发散，则对任何满足的，发散。5.幂级数的变换公式。（1）设的收敛域为，其和函数为，设是定义在上的一个已知函数，则的收敛域为，且其和函数为；（2）最常用的变换是，其中为某个正常数。6.对于任意项级数，若发散，且是由比值或根值判别法判定的，则也发散。7.几何级数在时收敛，且；当时，发散。8.时发散。第九讲经济应用重要

7、公式与结论1.复利与连续复利公式。分期复利计息公式：，其中为年利率。连续复利计息公式：。例9.1设一笔本金存入银行，年复利率为，在下列情况下，分别计算年后的本利和：（1）一年结算一次；（2）一年分期计息，每期利率按计算；（3）银行连续不断地向顾客付息利，即，此种计息方式称为连续复昨。详解（1）一年结算一次时，一年后的本利和为，第二年后的本利和为，依此递推关系，年后的本利和为（2）一年结算次，年共结算次，每期利率为，则年后的本利和为（3）计算连续复利时，年后的本利和为（2）中结果在时的极限在上述问题中，相同的利率（称为名义利率），由于复利种类不同，产生不同的利息，即产生不同的实际利率（也称为有效收益率），用表示。设存期为年，年名义复利率为，每年结算次，相应的实际年复利率为，则若以相同的年名义利率计算连续复利，则2. 贴现公式。以元存入银行，年复利率为年后变为元。称为本金的终值；反之，若要年后有元，现在只需存入银行元，即年后的元只相当于现在的元，称为年后资金的现值，此时，也称为贴现率。若一年计算复利次，则本金在年后的终值为；年后的资金的现值为若计算连续复利，则本金在年后的终值为；年后的资金的现值为3.系列收付款项的现值与终值公式。系列收付款项是指期内多次发生的收付款业务，设从期初开始，第期末发生的款