等比数列的前n和教学设计

1、课题：等比数列的前n 项和（第一课时）一 教学目标 :1.知识与技能目标 :1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。2)通过对公式的推导 ,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。2 过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、 分析问题、解决问题能力； 体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。3.情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用， 激发学生求知欲， 鼓励学生大胆尝试， 敢于探索、创新的学习品质。二 教学重点 ：等比数列项前 n 和公式的推导与简单应用。三 教学难点 ：等比数列 n 项和公式的推导。四 教学方法 ：启发引导，探索发

2、现（多媒体辅助教学）。五 教学过程 ：1创设情境，导入新课：1）复习旧知，铺垫新知：（1）等比数列定义及通项公式；（2）等比数列的项之间有何特点？说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q ，从而为“错位相减法”求等比数列前n 和埋下伏笔。2）问题情境，引出课题：从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30 天中，富人第一天借给穷人1 万元，第二天借给穷人 2 万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天， 穷人还 1 分钱，第二天还2 分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30 天

3、后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考一下 ,帮穷人出个主意 .注：师生合作分别给出两个和式：S3012330T30122223228229学生会求，对学生知道是等比数列项前n 和的问题但却感到不会解！问 1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行）问 2：怎么办？（用追问的方式引出课题）2师生互动，新课探究：问题 1如何求和：T30122223228229注：（给学生时间让他们观察、思考）如果学生想不出来，师做必要启发：1）等式右边各项有什么特点？（等比数列30 项和）2）公比是多少？（ 2）即：从第二项起每一项比前一项多乘以2.3）因此，如果两边 （教师语

4、速放慢，看学生反应状况，再往下提示：把等式两边同乘以公比2）从而有：T301222232 282292T3022223242 29230师：如何求 T30 ？（此处给学生充分的观察思考的时间，师不忙给出结论，让他们自己得出求解的方法：作差）注：学生解出 T30 ，并与 S30 比较（到底能不能向富人借钱） 。这种求和的方法叫错位相减法。此处先不忙介绍“错位相减法”的要点，只让学生有个大致印象，后面还有应用，体现从特殊到一般、学生自主探究教材的新教材理念。问题 2如何求等比数列 an 的前 n 项和 Sn ：Sn a1a1 q a1 q 2a1 qn 1注：学生已有上面问题的处理经验，肯定有不少

5、学生会想到“错位相减法” ，教师可放手让学生探究，并请学生上台板演。将 Sna1a1qa1q 2a1qn 1 两边同时乘以公比 q 后会得到qSa qa q2a q3a q n，两个等式相减后，哪些项被消去，还n1111剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法求等比数列前 n 项和的关键所在，让学生先思考，再讨论，最后师用多媒体予以突出强调，加深印象！两等式作差得到(1 )a1(1qn ) 时 ，肯 定 会有 学生 直接 得到q Snna (1q )Sn1，师不忙揭露错误，等一会用练习反馈这个易错知识点，从而掌握公式的本质！练习 1. 用等比数列求和公式求和：公式的1)S9 3

6、 323339应 用2)S100555(1 0 个0 5相加 )注：此组练习目的： 熟悉等比数列求和公式的直接应用。 公比 q1时,公式还能用吗 ?na1 (q1)从而得到：等比数列 an 前 n 项和 Sn 公式应为： Sna1 (1q n ).1(q1)q 通过纠错的方式给出公式比平铺直叙方式得出公式的效果要好得多，学生通过：自己推导出公式（不完整）公式应用得出矛盾完整公式的过程，很好地解决了本节课重、难点。练习 2.求和：1(11)1)11122012221912122)等比数列 an 中, a16, q2, an192, 求 an 前n项和 Sn .注：练习 1）中数列的项数的确定是很

7、容易失误的地方，学生误解为是19 项。从而强调求和公式Sn 中的“ n ”指的是项数 .另外，还要指出等比数列求和公式中的公比 q 的指数是“n ”，而等比数列通项公式ana1q n 1 的公比 q 的指数是“ n 1” .练习2）的目的在于引出等比数列求和的第二个公式形式：na1 (q1)Sna1 (1q n )a1an q，根据所给条件选择哪个求和公式进行求解。1q1 q(q1)很多学生会根据条件先求出n ，再带到求和公式中去求 Sn ，而直接用 Sn 的另一个公式去求，可使计算过程简化，从而自然引出这个知识点. 求和公式中共有五个量：Sn , a1 , q, n, an ，可用方程（组）

8、思想：知三求二 .典例分析已知等比数列31, 求 a1.an 中， a3,S3 422解：当q时候，a1a2a3 ,此时正好有1S3a1a2a3 4 1 , 适合题意。2a q2312当q时，依题意有解之，1a (1q3 )114,1q2得 a16，综上得 a13 或a1 6.2注：在不知道公比是否为 1 的情况下 ,利用等比数列求和公式求和时一定要对公比要进行分类讨论 ,这是学生容易忽视的问题 .公式再证对于问题： T1 2222322822930强化理解还可以这样考虑 :T3012222322822912(12228 )12(T30229 )T302301问：从这种证法中，大家受何启发？你能用这种方法证明等比数列的前 n 项和公式吗？注：此处给时间给学生思考、证明（并投影强调步骤） .Sn a1a1q a1q2a1qn 2a1qn 1a1q(a1a1qa1q2a1qn 2 ) a1 q(Sn a1q n 1 )(1q)Sna1a1qna (1qn )1q1Sn1qna1q1六课堂小结特殊数列求和一般情况下等比数列求和公式T301 2229Sna1 a1 q a1q 2a1 q n 1应用方程（组）思想：错位相减法知三求二注：通过教师的提问和幻灯片的顺序播放， 进一步巩固本节课的内容