小波变换课件 第1章 Haar小波

1、第1章Haar小波分析1.1简介(近距离-小尺度）（高分辨率）(远距离-大尺度)（低分辨率）1.2 平均与细节l 设是一个信号序列。定义它的平均和细节：找出了、和、的关系。这里，是原信号前两个值、的平均。又叫低频成分，反映前两个值、的基本特征或粗糙趋势；反映了、的差别，即细节信息，又叫高频成分。找出了、和、的关系。同样，是原信号后两个值、的平均，反映了、的细节。我们把看作是对实施了一次变换的结果。变换还可以往下进行： = = 是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；。经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示：该序列叫做原序列的小波变换，叫做小波系数。还可以反过来表示：这是用,来恢

2、复原信号、；用,来恢复原信号、。也就是反变换。l 小波变换过程的塔式算法：例如，3，1，2，4最终的小波变换为=1.3 尺度函数与小波函数(1)Haar尺度函数不压缩：不位移 位移一个单位 位移k个单位压缩1/倍，不位移 压缩1/倍，位移一个单位 压缩1/倍，移位K个单位一般 ，u 几个术语1） 支撑（支集），（尺度）函数不为零的区间，上例中为。2） 支撑的宽度，Haar尺度函数的宽度为。3） 为分辨率，越大，尺度越小，分辨率越高。4） =为尺度。（分辨率越高，尺度越小）(2).Haar小波函数u Haar小波函数与尺度函数的关系v 不平移、不压缩； 平移一个单位 ； 平移 K个 单位。 v

3、不平移，压缩1/倍； 先平移一个单位，再压缩1/倍， 平移个K单位，再压缩1/倍。u H aar小波函数的一般形式：=，位移k个单位，压缩倍。(3). 分段常数函数也可将序列看成分段常数序列。用尺度函数和小波函数描述分段常数函数+写成=重写 +故得 注释：序列可由尺度函数和小波函数的系数来表示，既为的小波变换（系数）。, 1.5 小波变换的计算¨ 设是长度为（是大于1的整数）的离散序列，记为。函数展开为 （1-20）将函数做一次小波分解，得 （1-21）重复分解多次，可得在不同尺度下尺度函数和小波函数的展开式。¨ 归一化尺度函数和小波函数归一化又叫做标准化或规范化，计算方法

4、如下： ，（限制在横轴0之间）=标准化尺度函数 仍记为 （1-22）同理，可得标准化Haar小波函数 （1-23）u 标准化二尺度方程 （1-24，1-25）注释： 标准化函数的物理意义是，尺度函数和小波函数在不同分辨率下具有相同的能量，从而可推出信号进行小波变换前、后能量相等，既 =+¨ 如何从快速计算小波变换系数：§ 重写（1-21）式§ 现将式（1-21）二端在范围内对做内积，得 = = (1-26)注释：这里正交性保证了（1-26）式右边只有一项内积不为零；尺度函数的标准化保证了积分结果为1。§ 再将式（1-20）,即代入（1-26）,左边得 =

5、注释： 若设k=0，则= 所以， =所以， = =因此， =即 § 一般有， ， = 注释： 1）归一化后， 2）关于积分 =§ 同理，有小波系数 = 1.7 小波变换的滤波器组实现Mallat算法1.7.1 离散序列的巻积已知序列 做巻积的两个序列的长度不一定相等。1）由巻积公式求巻积：记为与巻积后得到的新序列，为第个元素，则=例11=1,0.1,-1 m=2 ； =0.1，1，0.1，-1 k=3，求卷积和。简便算法从下面序列最右边一项开始，分别与上面序列各项相乘，直到下面序列最左边一项完成同样相乘，再按列相加。这种方法结果序列下标是原两序列下标位的代数和确定的。利用这

6、种方法，卷积和可一次计算出来，而且下标确定简单。用MATLAB 实现：a=0.1,1,0.1,-1; b=1,0.1,-1;y=conv(a ,b)ans = 0.1000 1.0100 0.1000 -1.9900 -0.2000 1.0000滑尺法两序列0点对齐，计算对应元素乘积并求和得y(0)；下列向右滑动一位，再计算各对应元素乘积并求和，得y(1)； 直到所有n>0情况下对应元素乘积再求和等于零为止。回到两序列0点对齐位置，向左滑动一位，计算各对应元素乘积并求和得y(-1)；再向左滑动一位，, 直到所有n<0情况下对应元素乘积再求和等于零为止。这种方法最大优点是结果的下标确

7、定直观，但计算稍复杂。2）域中的巻积例12，=将序列中的每一项转换为的多项式，得 = = =所以，=3，8，1，-2。 1.7.2 二通道滤波器组 高频成分(细节)低频成分(近似或概貌)受污染信号 分析滤波器 综合滤波器¨ 虚线左：分析滤波器1)信号通过两路互补对称的滤波器后,整个频带被划分为二，得到近似和细节二路信号。每路信频宽带是原来的一半。2)若原始信号由1000个点,通过两路互补对称的滤波器后,共得到2000个点，存在信息冗余。3）增加抽样器可减少滤波器输出数据冗余。表示2抽取（2元下采样），信号带宽减半，采样率减半，不引起信息丢失。¨ 虚线右：综合滤波器用来恢复原

8、信号。低通滤波器； 高通滤波器。¨ 二元下抽样： 用表示，每隔一个元素抽取一个，定义算子D： 若，那么二元下抽样序列为 D或 （D¨ 对于分析滤波器：输入信号与低通滤波器做卷积，再进行二元下抽样,得到低频系数；输入信号与低通滤波器做卷积，再进行二元下抽样,得到高频系数；¨ 对于综合滤波器：低频系数进行二元上抽样后再与低通滤波器做卷积；高频系数进行二元上抽样后再与高通滤波器做卷积,两个序列相加得到重构信号；¨ 二元上抽样用表示，向序列中每隔一个元素插入一个零，组成一个新序列，定义算子U：若，那么二元上抽样序列为U或 1.7.2 小波变换的滤波器组算法u 对

9、于二尺度方程改写成和，则系数序列为和。令=，=。可以验证 u 和就是我们以后要用到的滤波器，记，其中，称为的时序反转。特别是对于Haar小波，有u 小波变换的滤波器组算法1）分析滤波器实现Haar小波分解对于任一长度为的输入序列，利用求平均和细节的方法，可得低频分量和高频分量：= 其中， 小波变换的滤波器组算法，就是输入序列对滤波器系数作巻积。为此先将原信号序列补零扩展成无穷序列，再作巻积。 从而，500个1000个500个图1-15 用分析滤波器实现Haar小波变换2）用综合滤波器实现Haar小波重构先作上抽样，再与滤波器作巻积。 于是，Haar小波重构计算公式为 图116 用综合滤波器实现Haar小波重构例1.4输入信号，用Haar小波滤波器组算法实现信号的小波分解和重构。首先将有限信号通过两端补零的方法，将嵌入一个无限长的信号0,0