随机变量的数学期望与方差（课堂PPT）

1、.12.2 随机变量的数学期望 分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. 问如何分赌本?.2两种分法 1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 .32.2.1 数学期望的概念 1654年帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下年帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下去，则甲最终所得去，则甲最终所得X为一个随机变量，其可能为一个随机变量，其可能的取值为的

2、取值为0或或100，分布列为，分布列为 X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.4Nxnxnxnxmm 2211 mkkkmmNnxNnxNnxNnx12211,21mxxx上式中上式中 为各种可能的身高，而为各种可能的身高，而NnNnNnk,21例例 设某班有设某班有N个学生，他们有个学生，他们有 m种不同的身高：种不同的身高：mxxx,21，身高为，身高为kx的学生共有的学生共有kn个（个（mk 1） ，） ，则平均身高为：则平均身高为： .5.62.2.2 数学期望的定义数学期望的定义.7 1)(kkkpxXE.8E(X)= dxxxf

3、)(数学期望简称数学期望简称期望期望，又成为统计平均值，简称，又成为统计平均值，简称均值均值。数学期望的量纲与随机变量的量纲相同。数学期望的量纲与随机变量的量纲相同 .9例2.2.1解E(X) = 10.2+00.1+10.4+20.3 = 0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3.10例2.2.2品，相同数量同种类型的产甲乙两工人每天生产出经统计有生产次品数分别表示甲乙两人某天用,21XX高低。试比较他们技术水平的解：的数学期望根据定义1, X3 . 12 . 032 . 023 . 013 . 00)(1XE而件次品知甲平均一天生产出由,3 . 1)(1XE1 . 10

4、33 . 025 . 012 . 00)(2XE低所以甲的技术水平比乙.11例2.2.3,0( ),()0,0 xexXf xE Xx设 的密度函数为求解：的概率密度为依题意 X,0, 00,)(xxexfx于是有110)()(000dxedxexedxxedxxxfXExxxx.12例2.2.4解：概率密度为分布服从设随机变量,CauchyXxxxf,) 1(1)(2)(XE求dxxxXE) 1(1)(2因为广义积分dxxx) 1(|2不收敛()E X所以不存在.13.02820#8(: )0.02,0;( )0,0,.tPThetp tt练习某厂推土机发生故障后的维修时间是是一个随机变量

5、单位其密度函试求平均维为修时间数.14 数学期望简称为期望. 数学期望又称为均值. 数学期望是一种加权平均.注 意 点.152.2.3 数学期望的性质定理2.2.1 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X) 存在，则1() ()( ()( ) ( )iiig x P XxE g Xg x p x dx.16例2.2.5 设随机变量 X 的概率分布为求 E(X2+2).X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4.17例2.2.6的分布律为设随机变量 X的数学期望求随机变量函数2XY 解：法一的分布律为先求Y30. 210. 0925. 0440. 0125. 00)(YE法二25.

6、 0010. 0) 1(10. 0)2()(222YE30. 210. 0315. 0220. 01222.18例2.2.7 某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这种原料的市场需求量X(单位:吨)服从(300,500)上的均匀分布.每售出1吨该原料,公司可获利1.5(千元);若积压1吨,则公司损失0.5(千元).问公司该组织多少货源,可使平均收益最大?.19例2.2.8,), 0(内服从均匀分布在区间设随机变量X的数学期望求随机变量函数XYsin解：法一的概率密度利用分布函数法求得Y其它, 010,12)(2yyyfy212)(102dyyyYE法二的概率密度为依题意X其它, 00,1)(x

7、xf021sin)(dxxYE.20数学期望的性质(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X).21练习12 , 01( ) 0,xxp x0, 令则有 E(Y)=0, Var(Y)=1.()Var()XE XXY称 Y 为 X 的标准化.312.3.3 切比雪夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则 对任意正数，有下面不等式成立Var()|() |2XPXE X2Var()|() |1XPXE X.32证明则有的概率密度为设),(xfX|(|)( )xPXf x dx切比雪夫不等式也可以写成221)|(|XP22|( )xxf x dx22221()( )xf x dx.33 在概率论中注 意 点( )X E X称为大偏差.称为大偏差发生的概率。 其概率( )P X E X.34 例2.3.2设 X0( )!00nxxexp xnx证明(02(1)1nPXnn证明:E(X) =0!nxxxe dxn= n+1E(X2) =20!nxxxe dxn= (n+1)(