线性代数第三节行列式性质

1、第三节行列式的性质分布图示弓I言性质1例1性质2例2例3性质3例4例5例6性质4例7例8性质5例9利用“三角化”计算行列式例10例11例12例13例14例15例16内容小结课堂练习习题1-3内容要点一、行列式的性质将行列式D的行与列互换后得到的行列式 ，称为D的转置行列式，记为Dt或D,即若D =a11a21a12a22 a1na2na11t a12 ，则DT =a21a22 an1an2an1an2anna1na2nann性质1行列式与它的转置行列式相等 ,即D二dt.注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质，它的列也同样具有性质2交换行列式的两行（列），行列式变

2、号.推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零性质3用数k乘行列式的某一行（列），等于用数k乘此行列式，即ana12a1nana12a1nD1 =kai1kai2 kain=kai1ai2ain=kDan1an2 annan1an2 ann第i行例）乘以k，记为i k（或G k ）.推论1行列式的某一行 例）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推论2行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式为零性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，a11a12a1nD =bi1 +G1bi2 +C2bi n +Gnan1an2a nna11a12 a1na11a12 a

3、1nD =bi1bi2bin+Ci1C2 Gn=D1 + D2an1an2annan1an2ann性质5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式不变注：以数k乘第j行加到第i行上，记作仃亠krj ;以数k乘第j列加到第i列上，记作二、行列式的计算计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0;然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如

4、此继续下去直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值例题选讲1 -1 02 01=D.3 1 42121112(2)011 =0-11（第二、2-1020-1三列互换）2101-11-1=121（第一、二行互换）-102-101例 2 (1) o211 0(3)11 0=0 （第一、二两行相等）5V2 7-211(4)422=0 （第二、三列相等）7-3-31-12例 3 (1)015=0因为第三行是第一行的 42倍.近-迈242141 0(2)2 83 5=0因为第一列与第二列成比例，即第二列是第一列的 4倍0 01 4-1-4-5 7ana12a13例5(E01

5、)设a21a22a23 1，求a31a32a33解利用行列式性质,有6a12a210a132a113a?1a225a23=2 _3a21一3a31a325a33_3a316an-2a1210a133a21a225a233a31a325a33a125a13a11a12a13a225a23=-2(3) 5a21a22a23a325a33a31a32a33102-20-4102例4若D=3-10,则3-10=(-2)3-10=-2D12-112-112-1402102又12-10=43-10=4D .42-112-1=2 (3) 5 1 =30.例6证明奇数阶反对称行列式的值为零 证设反对称行列式0

6、a12a13a1n a120a23a2nD =a13a230 a3na1na2n_ a3n 0其中 aj = _ajj (i 工 j时)，aij = 0(i = j时).利用行列式性质1及性质3的推论1,有0a12a13a1na120a23a2nD =DT =(1)n一a13一 a230 a3n= (-1)5,一 a1n一 a2n_a3n0当n为奇数时有D =D,即 D =0.11 + 2511 + (迈)511515(2)03-27=03+(-2)7=037+0-272-1-迈-12_1 +(_运)-12 -1-12-42-1因此例8因为3 1-1 23+122-12 3 02 23丰3+0

7、-14 0= 12,而 32+1 -2= (9 + 2) +(0+ 4) = 151 3-1 32 0-20注：一般来说下式是不成立的a1 + bnQ2 + 匕伐ana12bnb)2+a21 * 01 a22 + b22a21a22b21b221 3例 9( 1) 142 3-1T r2 _r1-10，上式表示第一行乘以-1后加第二行上去，其值不13612例10计算行列式D=2-30512解先将第一行的公因子3提出来36121242-30=32-3 051251 2-1130-15 g140，上式表示第列乘以12331 3(2)142 31后加到第三列上去其值不变.31-1例11 (E02)计

8、算D =-5132011-53C1T2113-5-132-4解D-021-1-513-313-12021-12 30-846016-2713-1 22円4 书10-84-6021 -1016-2713-12021-13 十 4J008-1C丨4一 8200-101513-1丄50214 + 一34008000-W5 2= 40.再计算124124124122102D =32-30=30-7-8=27078=54074= 54 034=5恥3 = 1625120-9-180120110012-4-1-3例12 (E03)计算D二3 11113 11113 11113解注意到行列式的各列4个数之和

9、都是6.故把第2, 3, 4行同时加到第1行，可提出公因子6,再由各行减去第一行化为上三角形行列式r1 r2r3 m11=611111312001 10 02 00 2= 48.例13(E04)计算_a100a2-a?00a3- a3111a1001解根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3a1000a10000a2- a20c3七20a20000a3-a300a3_ a312111231列加至第4列，目的是使 D4中的零元素增多4a10c4 c3 0a20 01 20 00 0a3034=4a1 a2 a3.a a +b例14 (E05)计算D二a 2a +b

10、a b c3a 2b ca b cd4a 亠3b 2c d3a b 6a 3b c10a 6b 3c d解 从第4行开始，后一行减前一行:r2 Jcdaba+ba +b +c4上0a2a+b3a + 2b + c3壬0a3a+b6a + 3b 十 c0ac da+b a+b+ca 2a + ba 2a ba b z 0 a0 00 0Pii0qii0Di =: J =Pii Pkk ； D2 =: JPkipkkqni qnn=qiiriqnn .对D的前k行作与对Di相同的运算-krj,再对后n列作与对D2相同的运算ci - kcj,即把D化为下三角形行列式，且=Piipkkqiiqnn =

11、DiD2.证毕.a+b a+b+c 4=a .a 2a +baiiai k0 0a a aiiaikaaDi =det(aij)=9aakiakk0 0a akiakkCiicikbiiD nb1ibina-aD2 =det(bj)=a:cni cnkbnibnnbnibnn例15设D证明 D =D, D2.证 对U作运算ri - krj,对D2作运算q -心,可分别把和D?化为下三角形行列式ai82939n_anaiat +a2 _xas3nai32a2 * & _x J banaia23band +an丄xanaia2a39n43nJL +3n X例16(E06)解方程=0.解从第二行开始每一行都减去第一行得a1a2a3an J.an0a1 x0 0000a? _x 00000 an / x0000 0an X