竞赛试题选讲之解析几何

1、高中数学竞赛专题讲座之四：解析几何、选择题部分2X（集训试题）过椭圆C: 一321.Z = 1上任一点P,作椭圆C的右准线的垂线 PH （H为垂足），2延长PH到点Q,使|HQ|=入|PH|（入 1）。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心 率的取值范围为；3 A . (0WB-佇，弓C . #1)3解：设 P(Xi, yi),Q（x, y），因为右准线方程为x=3，所以HP入PH，所以 -PQ-，所以由定比分点公式，可得:1 H点的坐标为（3, y）。又T HQ= 3（1十扎）_ x产= 、，代入椭圆方2y 1 ,所以离心率e=2.3-22 3'、31).2程，得Q点轨迹为以-3（

2、1乎）3九22.故选C.（2006年南昌市）程为（D）抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y = 12上，则抛物线方3.A. y2 »12xB. y2 =12xy2 = -16x2D. y =16x2（2006年江苏） 已知抛物线 y =2px ,O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点,P共有（B）C. 4个使得 POF是直角三角形，则这样的点A . 0个B . 2个4.2x（200 6天津）已知一条直线l与双曲线 2a2_ y2 =1 ( b a b20 ）的两支分别相交于P、l的距离d等于（A）Q两点，O为原点，当OP OQ时，双曲线的中心到直线ab_、b2 -a

3、2abb2 _a2b2abb2 aab=1表示的曲线是5.(2005全国)方程 ,sin J2 sin J3 cos*'2 cos£3a .焦点在x轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的椭圆X轴上的双曲线B .焦点在D .焦点在y轴上的双曲线解：； -.3 二,.032TTjTT,cos( - . 2)cos(. 3 - )，即22sin 一 2 sin 3.又cosV2 >0,cosV3 c0, cos V2 一 cos V3 > 0,2 ' 2方程表示的曲线是椭圆2； 3 2 .3(sin 2 -sin . 3) -(cos . 2 -cos . 3) = 2

4、.2sin 一 '' z ''r 2：0，sin 224sin(2T2 +V3 3兀.3兀三勺2 +(3 +兀 _，2427)()5曲23+”0,.()式：0.即 sin 2 -sin3 : cos2 -cos 3.曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选c。6. （2006年浙江省预赛）已知两点A （1,2）, B （3,1）到直线L的距离分别是、2八5 - 2，则满足条件的直线L共有条.（C ）A . 1B . 2C. 3D. 4解：由AB =J5,分别以A, B为圆心，J2 , <5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为Co则集合M二(x, y)

5、| y x 兰1, N =(x,y) |yXx2 +1的交集M n N所表示的图形面积为(B)124A.-B .-C. 1D.333解：m nN在xOy平面上的图形关于 x轴与y轴均对称，由此m n n的图形面积只要算出在第-象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得,M N的图形在第-象限的面积为AAAA = 一一 = 一.因此M N的图形2 17. （2006年浙江省预赛）设在xOy平面上，0 ： y x , 0岂x乞1所围成图形的面积为 一，32面积为3.所以选（B）o、填空题部分1. （200 6天津）已知椭圆（a >b >0 ）,长轴的两

6、个端点为B，若椭圆上存在点Q ,使.AQB =120 ',则该椭圆的离心率e的取值范围是6 e : 1.3y - 0I2. （2006年江苏）已知 3x-y _0 ，则x2 y2的最大值是 9.x 3y -3 _02 2 2 23. （2006吉林预赛）椭圆 x /a +y/b =1（a>b>0）的右顶点为 A，上顶点为 B，左焦点为F，若/ ABF是直角，则这个椭圆的离心率为 。、，、x2 y24. （2006陕西赛区预赛）若 a, b, c成等差数列，则直线 ax+by+c = 0被椭圆 一+=1截2 8得线段的中点的轨迹方程为2心）2冒=15. （2005年浙江）根据

7、指令，机器人在平面上能完成下列动作:先从原点O沿正东偏北:-（0 _ ）方向行走一段时2间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定 假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走 2分钟时的可能落点区域的面积是 .【解】：如图，设机器人行走 2分钟时的位置为 P（x, y）.设机器人改变方向的点为 A, OA=a , AP =b。则由已知条件有a+b = 2汉10=20，以及x=acosx2+y2=a2 +2absin。+b2 兰（a +b）2 = 400”丄所以有y=as i n +b+y =a（sin。+cosc（） +b K a +b = 20即所求平面图形为弓形，其面积为100

8、二-200平方米.6. （2006 年浙江省预赛） 已知 A =（X, y） x2 y2 -2xcos " 2（1 - sin - ）（1 -y）二 0,圧 e R】B沁x,y） y =kx 3K R。若AB为单元素集，则k=3.（y -1 - sin : ）22 2 2x y 2xcos很亠2（1 sin二）（1y）=0二（xcos:） 二 x =cos±, y =1 sin : = x2 （y -1）2 =12 B为单元素集，即直线 y =kx 3与x2 (y 一1)2 =1相切，则k - _ , 3.7. (2005全国)若正方形 ABCD的一条边在直线 y=2x-1

9、7上，另外两个顶点在抛物线y =x2上则该正方形面积的最小值为80.解：设正方形的边 AB在直线y=2x-17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为C(X1, yj、D(X2, y2)，则CD所在直线l的方程y = 2x b,将直线l的方程与抛物线方程联立，得x2 =2x+bn X1,2 =1 士 Jb+1.令正方形边长为a,则a2 =(咅-X2)2 “ - y?)2 =5(X1 -X2)2 =20(b 1).在y=2x17上任取一点(6，,5)，它到直线y=2x + b的距离为a二a7".752 2 2、联立解得 =3b =63. a =80,或 a =1280. a min =80.

10、8. ( 2004全国)在平面直角坐标系 XOY中，给定两点 M ( 1 , 2)和N (1, 4),点P在X轴上移动，当 NMPN取最大值时，点 P的横坐标为 .解：经过 M、N两点的圆的圆心在线段 MN的垂直平分线y=3 x上，设圆心为 S (a,3 a)，则圆S的方程为：(xa)2+(y 3 + a)2 =2(1 + a2).对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当 MPN取最大值时，经过 M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足2(1+a2) =(a3)2,解得 a=1或a= 7。即对应的切点分别为 P(1,0)和P'(

11、7,0)，而 过点M，N，p'的圆的半径大于过点 M，N，P的圆的半径，所以 MPN MP 'N， 故点P (1，0)为所求，所以点 P的横坐标为1。三、解答题部分1. (集训试题)已知半径为1的定圆O P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是I上一动点，OQ与O P相外切，O Q交I于M、N两点，对于任意直径 MN，平面上恒有一定点 A，使 得/ MAN为定值。求/ MAN的度数。解:以丨为x轴，点P到丨的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点 A(k,入)，O Q 的半径为 r，则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=

12、. x2 22 =1+r。所oroh以 x= ± , r2 2r 3/ tan / MAN=kAN 'kAM1kAN kAMx r -h x-r -ho -hx r -ho -hx - r - k2rh2rh2rh(x -k)2 -r2 h2 r2 2r 3)2 - r2 -h2 h2 k2 -3 2r 二 2k r2 2r - 3 令 2m=h2+k2-3, tan / MAN=-，所以 m+r 二 k . r2 2r - 3 = nhr,n2 2 2 2 2 2 2 2 m+(1-nh)r=二k . r 亠2r - 3，两边平方，得： m +2m(1-nh)r-(1-nh

13、) r =k r +2k r-3k ,r 22m =k (1)因为对于任意实数r> 1，上式恒成立，所以<2m(1 nh) =2k2(2)，由(1) (2)式，得2 2(1 n h)2 =k2(3)m=0, k=0 , 由 (3)式,得 n= 1 .由 2m=h2+k2-3 得 h= ±3 ,所以 tan/ MAN= =h= 土 . 3。hn所以/ MAN=60。或 120°(舍)(当 Q(0, 0), r=1 时/ MAN=60 °)，故/ MAN=60 ° .22. (2006吉林预赛) 已知抛物线 C: x=2py(p>0), O

14、是坐标原点，M(0, b)(b>0)为y轴上一 动点，过M作直线交C于A、B两点，设Saabc =mtan/ AOB，求m的最小值。(0.5p2 )3. (2006年南昌市)(高二)给定圆P:x2 y2 =2x及抛物线S：y2 =4x,过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为 A, B,C,D ,如果线段 AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线1的方程.2 2解:圆P的方程为(x1)+y =1,则其直径长 BC=2,圆心为P(1,0),设I的方程为2 . .ky =x T ,即x=ky 1,代入抛物线方程得：y -4ky 4,设A为，力,D X2,y

15、?y1 + y2 = 4k22/ ，则-y2)=(%+y2)-4y2 =一42 故 | AD |2 =(力-y2)2 (冷 - X2)2 =- y?)2 ( *=(% -丫2)21 (上 y2)2 =16(k2 1)2，因此 |AD | = 4(k2 1)4据等差，2BC = AB +CD = AD BC.5所以 AD| =3BC =6即 4(k2 +1) =6,k =±亍则I方程为xy 1或x -y 1.2 224. （2006年上海）已知抛物线 y =2px（p 0），其焦点为 F, 条过焦点 F，倾斜角为二（0 ： v : :）的直线交抛物线于 A, B两点，连接AO （O为坐

16、标原点），交准线于点B ,连接BO,交准线于点 A ，求四边形 ABBA的面积.解:当时，Sabb A，2p.2当'- 一时，令 k =tan t .设 A%, yj, B(X2, y?)，则由2p y = k(x )，(4分)y2 = 2px，消去 x 得，y2 _ 2y _ p2 =0 ,k,2p2y1 y2, % y? 一 p k所以又直线AO的方程为：y =也x，Xi即为2p所以，AO与准线的交点的坐标为b2,2p-),y1xyi2而由知，y -P，所以B和B的纵坐标相等，从而 BBUx轴同理AAlIx轴, yi9分)1故四边形 ABBA是直角梯形.1所以，它的面积为 Sabb

17、avJ AA + BB） "AB二2 2X2Xi)(y2yj 丁2一= 2(y2 -yi) 1 1：2 (% y2)2-4y233= 2p2(1 cot=)2(14 分)2 25. (2005年浙江)(20分)设双曲线X-y =1的左、右焦点分别为Fi , F2，若FF1F2的顶点P在第一象限的双曲线上移动，求.pf1f2的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边PF2上的切点轨迹。【解】如图，记双曲线在 X轴上的两顶点为 A(1,0)，B(-1, 0)，G ：PF1F2的内切圆在边F1 F2上的切点，H为匚PF|F2的内切圆在边PF2上的切点，K为匚PF1F2的内切圆在边PF1上的切点。则

18、有GF1 GF2I = KF1 HF2I =(KF1 + KP) (HF2I +|HP) =|PF1 PF2 -5 分由双曲线的定义知， G必在双曲线上，于是 G与A(1,0)重合 ，是定点。而F2G = F2A -2 -1。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以厶PF1F2的内切圆在边PF2上的切点的轨迹是以 F2C.2, 0)为圆心，、2 -1为半径的圆弧。10分因为P(x, y)是在x2 - y2 =1第一象限的曲线上移动，当PF2沿双曲线趋于无穷时，与x轴正向的交角日的正切的极限是lim tan日=lim _= 1XT誌I讼x _寸2故点H的轨迹方程为(极坐标形式)x -2 = (

19、、2 -1)cos -Iy = (V2 -1)sin&)-15 分4也可以用直角坐标形式。由于G与A(1,0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为20 分x = 1( 0 ： y ： 1 )o2 2 2 2 26. （2006浙江省）在x轴同侧的两个圆：动圆Ci和圆4a x 4a y -4abx-2ay b = 0 外切（a,b N,a =0 ），且动圆C1与x轴相切，求（1）动圆C1的圆心轨迹方程L;（2）若直线4（ 一 7 -1）abx-4ay b2 a2 -6958a = 0与曲线L有且仅有一个公共点，求a,b之值。解：(1)由 4a2x2 4a2y24abx -2ay b2 二 0可得(x -)2 (y-丄)2 珂 12a4a4a)2,由a,bN，以及两圆在x轴同侧，可知动圆圆心在x轴上方，设动圆圆心坐标为(x, y),则有 g；）2（八4：）2"4：，整理得到动圆圆心轨迹方程 y二ax2 -bx 4aK(x2).(5分)另解由已知可得，动圆圆心的轨迹是以（b、 1,）为焦点，y =-为准线，2a 4a4a且顶点在（P,0）点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程2a(x P)2 =2y，即 y =ax2 -bx ( )2a a4a 2a(5分)(2)联立方程组y =a