空间点、直线、平面之间地位置关系

1、空间点、直线、平面之间的位置关系、知识要点:1. 平面的基本性质: 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Beh 且B E I c ffi公理2 :过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2. 空间中直线与直线之间的位置关系：空间两条直线的位置关系有且只有三种：#面盲绰J相交直线；同TF茴内.有且只有一个公共点; Q秤平行直绻同沖閒内，没有公井点匚异面直练 不同在任何一个平面冋 役有公共乩如图：AB与BC相交于B点，AB与A 'B'平行，AB与B'C'异面

2、公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。3. 空间中直线与平面之间的位置关系：(1) 直线在平面内有无数个公共点；(2) 直线与平面相交有且只有一个公共点;(3) 直线与平面平行没有公共点。其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外注意，我们不提倡如下画法.4. 平面与平面之间的位置关系：(1) 两个平面平行没有公共点；(2) 两个平面相交有一条公共直线、例题讲解:例1、根据图形，写岀图形中点、直线和平面之间的关系.图1可以用几何符号表示为： 图2可以用几何符号表示为： 点与平面、分析：本题关键是找出图中基本元素点、

3、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出.解：图1可以用几何符号表示为：-1 - ' -1'-' 2即：平面土与平面相交于直线AB，直线a在平面立内，直线b在平面"内，直线a平 行于直线AB，直线b平行于直线 AB .图2可以用几何符号表示为：亠，ABC 的三个顶点满足条件AeMN, Bee, Ce禺 B?MN, 0*? MN<即:平面土与平面相交于直线 MN ,MBC的顶点A在直线MN上，点B在土内但不 在直线MN上，点C在平面"内但不在直线 MN上.例2、观察下面的三个图形，说岀它们有何异同.分

4、析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图.2是MN凸在外面的一个空间解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图图形的直观图；图 3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图.点评：(1)本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法.这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习.(2 )与本题类似的其它变形还有：用虚线画岀图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形.例 3、正方体 ABCD-A iBiCiDi 中，(1) DD i和AiBi的位置关系如何？DiB和A

5、C的位置关系如何？AiC和DiB的位置关系如何？(2) 和AD成异面直线的棱所在直线有几条？(3) 和BDi成异面直线的棱所在直线有几条？(4) 六个面的正方形对角线共i2条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对?解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。(1) 异面直线；异面直线；相交直线；(2) 4 条.分别是 AiBi、BiB、C1D1、CiC;(3) 6 条.分别是 AAi、CCi、AiBi、BiCi、AD、CD ;(4) 30 对。例4、已知：如图，立体图形 A BCD的四个面分别是厶 ABC > ACD >

6、 ABD 和BCDE、F、G 分别为线段 AB、AC、AD 上的点，EF/BC, FG /CD .求证： EFGs/BCD .AE AF证明：在平面 ABC 中，EF/BC ,又在平面AF AGACD 中，FG /CD，-'= 一亠.ASAG二：=匚匸. EG /BD . ZEFG = /BCD .同理/ FGE = ZCDB ,舉FGsZBCD .与本例类似变形还有：已知：将一张长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示,连结AD、BC .求证：AD "BC ,/ADE =/BCF .（证明略）三、练习:1 .下列图形中，满足亠 *一' -

7、 f''： 门的图形是（）.(C)2 .已知A、B表示点，b表示直线，虫、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（）.（A），- ' 八（B）丄匚-I（C） -一 ./（ d）一、 ./ /3 用符号表示“若 A、B是平面立内的两点，C是直线AB上的点，贝U C必在土内”，即是4 “ a , b为异面直线”是指:（1）'"且a不平行于b ；(2)（5）不存在平面,使匸匸住且:；二匚成立.上述结论中，正确的是()(A)( 1)( 4 )( 5 )(C)( 2 )( 4 )(B)( 1)( 3 )( 4 )(D)( 1)( 5)5 一条直线和两条异面直线的

8、一条平行，则它和另一条的位置关系是()(A)平行或异面(B)异面(C)相交(D)相交或异面6 如图，空间四边形 ABCD中，M、N分别是 ABC和ZACD的重心，若BD = m ,贝U MNMAF、BC、DE这三条线段7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么所在直线是异面直线的是 它们所成的角为度。A B/FE四、练习答案：1. 提示：根据平面的无限延展性及平面画法来判断.答案:（C）.2. 提示：根据点与平面应用“三” ”连接排除A ;根据公理两个平面相交为一条直线，排除B;再跟据图形可排除D，因为A有可能在平面上.答案：（C）.3. 提示：熟悉点与线，点与平面的关系，正确

9、使用“三”、“二”等符号.答案：Ae&, B 弋偽 Ce AB Ce a4. 提示：根据异面直线定义“不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线”结合图形可排除（2 ）、（ 3 ）、（ 4 ）.（ 2）中可能有a /b， （ 3）中可能有a/b， （ 4） 可能有a与b相交或平行.）（5 ）是正确的，再由直线位置关系可得（1 ）也是正确的.答案：（D）.5. 提示：由公理可排除（A），再结合图形可利用平移方法验证.答案：（D）.6. 提示：重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为 2 : 3 .连结AM并延长交BC于E,连结AN并延长交CD于F,再连结 MN、EF,根据三角形重心性质得BE = EC, CF= F