小学奥数之第25讲数论综合（二）

1、第25讲 数论综合（二）内容概述 进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题取整符号与取小数部分符号的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题各种数论证明题典型问题 1算式1534×25=43214是几进位制数的乘法? 【分析与解】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5=20，但是现在为4，说明进走204=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2因为原式中有数字5，所以不可能为4,2进位，而在十进制中有1534×25=3835043214，所

2、以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制 2求方程19x96x=0的解的个数 【分析与解】 有x为一个数的小数部分，显然小于1，则96x小于96，而19x=96x，所以19x小于96，即x小于，又x为整数，所以x可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解 进一步计算有0，1，为原方程的解 3一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数求原来的四位数 【分析与解】 设这个四位数为 每位数字均加3，并且没有进位，为 有得：3333=（nm）(n+m) 将3333分解质因数，有3333

3、=3×11×101，其有(1+1)(1+1)(1+1)=8个约数，但是有n+mnm，所以只有4种可能满足题意，一一考察，如下表：如上表，只有1156，4489满足，即原来这个四位数为11564将表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案【分析与解】 设有，化简有(a6)(b6)=6=2×2×3×3， 评注：形如 (t为己知常数)的解法及解的个数 (t为已知常数)类问题，可以通过计算，转化为(At)×(Bt)= ； 我们将分解质因数后，再令(At)其中一个为的一个约数(At)=a，那么A=a+t，则 (t为已知常数)， 所以，一般公式

4、为 (a为t的一个约数)； 设的约数有x个，则A、B有组(调换顺序算一种) 注意有一组解A、B相等，就是 5在给定的圆周上有2000个点任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点，在第3个点上标上数3；依此类推，直至在圆周上标出1993对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数问标有数1993的那个点上标的最小数是多少? 【分析与解】 记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号， 则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，标

5、有1993的是1+2+3+1993=1987021号 1987021除以2000的余数为1021，即圆周上的第1021个点标为1993 那么1021+2000n=1+2+3+k=，即2042+4000n=k(k+1). 当n=0时，k(k+1)=2042，无整数解； 当n=1时，k(k+1)=6042，无整数解； 当n=2时，k(k+1)=10042，无整数解； 当n=3时，k(k+1)=14042，有118×119=14042，此时标有118； 随着n的增大，k也增大所以，标有1993的那个点上标出的最小数为118 6.有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的求所有这样的三位数 【分析与解】 设这个三位数为，数字和为a+b+c，如果没有进位，那么，显然数字和增加了3，不满足，所以一定有进位， 则+3=，数字和为0+(b+1)+(c+310)= ，则a+b+c=9，而c+3必须有进位，所以c只能为7，8，9 一一验，如下表：验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足所以，原来的三位数为207，117或108 7将某个17位数各位数字的排列顺序颠倒，再将得到的新数与原来的数相加试说明，所得的和中至少有一个数字是偶数 【分析与解】 先假设和的各位数字全是奇数，设这个17位数为，则a+d为奇数，b+c的和小于10，于是十