椭圆及其性质知识点题型总结

1、椭圆知识清单1椭圆的两种定义：平面内与两定点 Fi, F2的距离的和等于定长 2a 2a F1F2的动点P的轨迹，即点集M=P| |PF i|+|PF2|=2a, 2a>|FiF2| ； （ 2aF1F2 时为线段 RF?, 2aF1F2 无轨迹）。其中两定点Fi, F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=P|e, Ov ev 1的常数 。（e 1为抛物线；e 1为双曲线）d（利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）2标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点

2、：焦点 F1 （- c, 0）,F2 （c,（2）焦点在y轴上，中心在原点：焦点 F1 （0, c）, F2 （0, c22xy1 (a> b > 0);22ab0）。其中ca2 b2 （一个Rt三角形）2 2yx2 K2ab1 ( a> b> 0);。其中c .2 2a b注意：在两种标准方程中， 总有a> b> 0, c-a2b2并且椭圆的焦点总在长轴上;两种标准方程可用一般形式表示:B时，椭圆的焦点在x轴上,Ax2+By2=1A>B时焦点在(A > 0, B > 0, A 工 B),当 A v y轴上。参数方程:x焦点在x轴，ya c

3、osbsi n（为参数）般方程:2 2Ax By 1(A0,B0)5性质：对于焦点在x轴上，中心在原点:2 20工1 ( a> b > 0)有以下性质:2 . 2a b坐标系下的性质:范围：|x|w a, |y|w b;对称性：对称轴方程为x=0, y=0,顶点：A(-a , 0), A2(a , 0), B( 0 , -b), B( 0 , b),长轴 |A1A2|=2a ,短轴 |B1B2|=2b ; (a半长轴长，b半短轴长);对称中心为O （0, 0）;2 2椭圆的准线方程：对于 笃 葺 1 ,左准线l1 : xa b22aa；右准线l2 : xcc焦点到准线的距离2X21

4、,下准线ii: y2；上准线丨2: ycb2(焦参数)c椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短r下=a+eyo，|PF2|= r上=a_eyoPFmaxa c, PF min a c ，左加右减，上焦半径公式：P (X0, y0)为椭圆上任一点。|PF1|-r左-a+ex0, |PF2|_r右-a-ex。; |PF1|减下加通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,2b 2径最短=空_a平面几何性质:离心率:ce= a2b （焦距与长轴长之比）a0,1 ； e越大越扁，e 0是圆。焦准距pb2准线间距2a2两个最大角F1PF 2 maxF

5、1B2 F2 ,A1 PA2 maxAi B2 A2焦点在y轴上，中心在原点:2 2yx21 (a> b>0)ab的性质可类似的给出。6.(1)余弦定理：rj + r22 212COS=(2 c)2面积：S pf 1f2 = 1 r 1r 2 sin1 22(其中P(x0,y。)为椭圆上一点，7.共焦占八、的椭圆系设法：1 2=丄2c| y01= c | y01= b tan 2 2 |PF 1| = r 1, |PF2| =2,/F 1PFa= )2 2把椭圆£ y 1 ( a > b > 0 )的共焦点椭圆设为 a2 b。焦点三角形应注意以下关系:定义：r

6、 1 + r 2= 2a2产 1(b2)2x-2a8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e 与坐标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶点坐标，与坐标系有关因此确定椭圆方程需要三个条件：两个定形条件 a,b, 一个定位条件焦点坐标或 准线方程.9.弦长公式x1x2cX1X2a(a,b,c为方程的系数考点解析考点一椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例1 .椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一

7、次回到点A时，小球经过的路程是()A. 4a B . 2(a c)C. 2(a+c)D.以上答案均有可能Q2x例2.点P为为椭圆-2a2古1(a b 0)上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求:PFi PF2取得最值时的P点坐标。题型2求椭圆的标准方程 例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且考点二椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例4.在厶ABC中，A 30°,|AB| 2,Sabc 3 若以A, B为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e 题型2：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）2 2x y .I 22例5.已知实

8、数x，y满足42,求x y x的最大值与最小值考点三椭圆的最值问题题型1:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值2 2 L 1例6.椭圆16 9 上的点到直线I： x y 9 0的距离的最小值为题型2.1、召 的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离P-PF心率，求的最小值。C： +- = 1例7.已知椭圆石 16 内有一点A （2, 1）, F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求了的最小值。2、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点,F是C的一个焦点,的最值。例8已知椭圆16 内有一点 A (2, 1),F为椭圆的左焦点

9、,P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。3、“ 的最值若A为椭圆C外一定点，*为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到/的距离为d,求 禺+ M的最小值。f y2 .+ - = 1例9.已知椭圆二 16 外一点A(5，6)，为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点 P到F的距离为d，求5 的最小值。宕亠寻“3占弋上移4、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例10.定长为 的线段AB的两个端点分别在椭圆 动，求AB的中点M到椭圆右准线'的最短距离。考点四 直线与椭圆相交问题题型1直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2) 弦的中点，弦长等，利用

10、根与系数的关系式，但>0这一制约条件不同意。bi Lx-ix2AB丁1 k2為x2J1占% y2 J1 ka ( a,b,c 为V kacXjX2一a方程的系数)例11.已知直线l过椭圆8x2 9y2 72的一个焦点，斜率为2, I与椭圆相交于M、N两点,求弦MN的长。题型2 “点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直 线方程，用“点差法”来求解。步骤：1设A(x i,yi) B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设p(Xo,y°)为AB的中点。两式相减，%y2XiX2b2(% X2) a2(yi y2)b2X

11、oa2yoY1y2X1X23.得出k2 2a2般的，对椭圆笃与 1上弦AB及中点，M，有Kab Koma b2例12.已知椭圆y2 1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程2考点五.轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1. 直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。2. 代入法：一个是动点Q(xo,yo)在已知曲线 F(x,y)=O,上运动，而动点 P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式X。f (x,y)y。 y(x, y)3. 定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义 求出方程

12、。,、一，、一 一 、X f (t)4. 参数法：在x，y间的方程F(x,y)=O难以直接求得时，往往用(t为参数)y y(t)来反映x，y之间的关系。常用的参数有斜率k与角等。例13: ABC的一边的的顶点是 B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是4，求顶点A的9轨迹方程：考点六 综合性问题，与平面向量结合(2011四川卷理)(本小题满分12分)椭圆有两顶点 A(-1，0)、B(1，0)，过其 焦点F(0, 1)的直线I与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交 于点Q(I) 当| CD | =3 2时，求直线I的方程；2uuu uur2解：由已知可得椭圆方程为工

13、2x2设I的方程为y 1 k(x0),k为I的斜率.则y2 y2kx 1X1X2x2(2 k2)x2 2kxX1 X22k21k7k2Y1Y1 Y24y2 k 2k222 k2X2)2(Y1y?)28k28(2 k2)28k29(2 k2)228k4k2.2l的方程为y、2x1 或 y 2x 1为所求.(II) 当点P异于A B两点时，求证：OP OQ 为定值。(n)当直线l与x轴垂直时与题意不符.设直线I的方程为y kx 1, (k 0且k1)，所以P点坐标为设 C(X1, yj , D(X2, y2)，由(i)知 x!X22k2 ，2 k2x1x2a12,2 k2直线AC的方程为y -BD

14、的方程为yyX21(X 1)将两直线方程联立，消去X 1y1(X2 1)因为 1Xl,X2x 11，所以x 1与上异号.y1(X1)2y2(X121)2y：(x21)2 2x|2 2x"(X11)2(X21)2(1 Xi)(1X2)(1Xi)(1X2)y1 y22k1 -k222k1 T1k2222k X1X2k(XX2)与ym异号,门2 .2(1k)(1k1 _2k)2(1 k)2 k 1k2 2，解得X k因此Q点坐标为(k,y0),uuu uuir1OPgOQ (,0)g( k,y°)1kUUU UULT故OPgDQ为定值.(2013四川卷理)(本小题满分12分)已知

15、椭圆C :2y_2 b1,(a b0)的两个焦点分别为F,(1,0), F2(1,0)，且椭圆C经过占 41点 pe<).3 3(1)求椭圆(n)设过点2|AQ I2解：C的离心率；A(0, 2)的直线l与椭圆C交于M、N两点，点11 ，求点Q的轨迹方程.| AM |2| AN |2由椭圆定义知，Q是线段MN上的点，且2a= | PF| + | PF2| =21 2.2 ,3所以a 2.又由已知，c = 1.所以椭圆C的离心率X2(2)由(1)知，椭圆C的方程为+ y = 1.设点Q的坐标为(x, y).(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1) , (0，- 1)两点，此

16、时点Q的坐标为0, 23.55当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为 因为M N在直线l上，可设点 M N的坐标分别为 则|AM2= (1 + k2)X12, |AN2= (1 + k2) X22.22又 I AQ = x 由2I AQ I21 k7y = kx + 2.(X1, kx1 + 2) , (X2, kx2 + 2),12X12 2 2+ (y 2) = (1 + k)x .J J，得 |AM | |AN |1r221 k X111 _k2 x22，12X2Xi2X22X1X22 2 'X1 X2将y = kx + 2代入+ y2 = 1中，得2(2 k2+ 1)x2+ 8kx+ 6= 0.23k >.26X1X2=2一 ,2k2118 -.322由 A = (8 k) 4X (2 k +1) x 6> 0,得8k由可知，X1+ X2=2k2代入中并化简，得 X2因为点所以k由及10k2Q在直线y= kx + 2上，丄二