大学高数复习内容（课堂PPT）

1、.1复习主要内容1、基本初等函数、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、：幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数和反三角函数三角函数和反三角函数.2、分析复合函数的构成、分析复合函数的构成3、无穷小量、无穷小量0)(lim xfXx如果如果xX时，函数时，函数f(x)的极限为零的极限为零，即，即 , 则称则称f(x)为为 xX时的无穷小量时的无穷小量.)(,)(lim无无穷穷大大量量时时的的是是则则称称若若XxxfxfXx 4、无穷大量、无穷大量5、无穷小量的性质、无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的和仍为无穷小量有限个无穷小量的和仍为无穷小量.(3)有界量与无穷小量之积为无穷小量有界量

2、与无穷小量之积为无穷小量.(2)有限个无穷小量的积仍为无穷小量有限个无穷小量的积仍为无穷小量.26、无穷小量的比较、无穷小量的比较设设,是同一极限过程的无穷小量，且是同一极限过程的无穷小量，且 0(1)如果如果0lim , 则称则称是是的高阶无穷小的高阶无穷小,(2)如果如果c lim(c0), 则称则称与与是同阶的无穷小是同阶的无穷小例例 ( P17) 1 、3 x0时，时，sin7x2与与x2是是 阶的无穷小量阶的无穷小量.同同)0,( 1sinlim)1( uXxuuXx7、两个重要极限、两个重要极限)0,( )1(lim)2(1 uXxeuuXx.3 xxx87sinlim 0例例 x

3、xx71limxx7sinlim0 xx71lim8、连续的定义、连续的定义 如果函数当时的极限存在如果函数当时的极限存在,且等于它在点且等于它在点处的函数值处的函数值,即即 那么就称函数在点那么就称函数在点x0连续连续.)()(lim00 xfxfxx （1）函函数数)(xf在在点点 0 x处处有有定定义义； （3）)()(lim00 xfxfxx . . 例例 ( P26) 2 87 x787 7 e7x )7( .49、间断点及其分类、间断点及其分类 如果点如果点x0不是函数不是函数f(x)的连续点，则的连续点，则称点称点x0为的间断点为的间断点.(1) 可去间断点可去间断点( (一一)

4、 ) 第一类间断点第一类间断点)(lim)(lim-00 xfxfxxxx 、都存在的间断点称为第一类间断点都存在的间断点称为第一类间断点.)(lim)(lim-00 xfxfxxxx (2) 跳跃间断点跳跃间断点)(lim)(lim00 xfxfxxxx ( (二二) )第二类间断点第二类间断点称为第二类间断点。称为第二类间断点。常见的有常见的有无穷间断点无穷间断点和和振荡间断点振荡间断点.不不存存在在的的间间断断点点不不存存在在或或)(lim)(lim-00 xfxfxxxx )(lim0 xfxx .5.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()

5、(limlim000001、导数的定义、导数的定义例例 ( P36) 1 、 ( P55) 1 2、导数公式、导数公式 P42-433、导数的意义、导数的意义切线方程为切线方程为).)(000 xxxfyy 处处的的切切线线的的斜斜率率在在点点表表示示曲曲线线)(,()()( 000 xfxxfyxf (1)几何意义几何意义(2)物理意义物理意义 s=s(t)在点在点t0的导数是作变速直线运动的物体的导数是作变速直线运动的物体在时刻在时刻t0的瞬时速度，即的瞬时速度，即).()(00tstv 例例 求求y=sinx在点在点 处的切线方程处的切线方程.)21,6( 所求的切线方程为所求的切线方程

6、为).21(2321 xy.6 例例 从水平场地正在垂直上升的一个热气球被距离起从水平场地正在垂直上升的一个热气球被距离起飞点飞点500米远处的测距器所跟踪米远处的测距器所跟踪.在测距器的仰角为在测距器的仰角为/4的瞬间，仰角以的瞬间，仰角以0.14弧度弧度/分的速率增长分的速率增长.在该瞬间气球在该瞬间气球的上升有多快？的上升有多快？已知已知 解解 设气球高度为设气球高度为h，仰角为，仰角为，14. 0 dtd 求求 4 dtdh500tanh 2sec50014. 0)4(sec24 dtdh140 4、导数的应用问题、导数的应用问题 P49-50 两边对两边对t求导求导 dtd 5001

7、 dtdh 在该瞬间气球以速率在该瞬间气球以速率140米米/分上升分上升.75、导数的计算、导数的计算).0( ,)3( ;)(2( ;)(1( 2 vvvuvuvuvuvuvuvuvu),(),()4(xuufy 设设xuxuyy dxdududydxdy 或或例例 ( P43) 2 (4) (5)6、高阶导数、高阶导数)( ,)( yyyy,9 10 xyx 例例., yeyx 求求7、隐函数的求导、隐函数的求导., 0 2yexexyyxy 求求隐隐函函数数例例 直接对方程两边对直接对方程两边对x求导求导. 求导过程会用到复合函数求导法则求导过程会用到复合函数求导法则.80)()()()

8、( 2 xyxxxyxexexy解解yxy )( 22 yey0)(1 yxeyxyxy yyey 2 20)(1 yxeyxyeyeyexyxyxy 1)2(2yxyyxeyexyey 2218、对数求导法、对数求导法例例 (P49) 2xxxy xlnlnln 解解xxxxyy1ln21 )12ln( xxxxyx .99、微分、微分xxfxdfxydyxxxx )( )( 0000 或或(1)点微分点微分(2)函数微分函数微分dxxfxdfdxydy)()( 或或10、微分的应用、微分的应用 ( P51) 例例2 ( P54) 1、2.)(0 xxf 00 )1(xxxxdyy .)()

9、()()2(000 xxfxfxxf 例例 ( P56) 1202. 0)(102. 0102. 11 xx01. 1 .101、罗尔定理、罗尔定理 如果函数如果函数f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,且且f(a)= f(b),则在则在(a,b)内至少有一点内至少有一点,使得使得. 0)( f 如果函数如果函数f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,则在则在(a,b)内至少有一点内至少有一点,使得使得2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理.)()()(abafbff ( P59) 1、 ( P60) 3、 ( P79) 1 (1) (5)3、洛比达法

10、则、洛比达法则;00)1(型型、 存在；存在；、0)()()2( xgxf，或或 )()()(lim)3( Axgxfax).()()(lim)()(lim 或或则则Axgxfxgxfaxax.11型型 .求商的极限求商的极限转换转换 0101 .0000 通分通分型型 0,10 .0100 或或型型、001 0 ln01ln0ln0lnln0ln1ln00lnln0010eeeeeeaNNabeb.12,sinxx0 x时，常见的等价无穷小量：时，常见的等价无穷小量：,arcsinxx,tanxx,arctanxx,1xex ,)1ln(xx ,21cos12xx )( 1)1(为非零常数为

11、非零常数 xx 例例 (P17) 3(4)、 (P64) 1(1) (3) 、2(2)(3)4、函数极值及最值、函数极值及最值(1)极值极值: (第一充分条件第一充分条件) 设设f(x)在点在点x0的某邻域内可导的某邻域内可导,(a)当当x0 ,且当且当xx0时时,有有f(x)0， 则则f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值.(b)当当xx0时时,有有f(x)x0时时,有有f(x)0， 则则f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值.13(2)闭区间闭区间a,b上的最值上的最值:求极值的步骤求极值的步骤: :( (a) )写出函数写出函数f(x)的定义域的定义域( (b) )求求f (x)出驻

12、点出驻点( (f (x)=0的点的点) )及不可导点；及不可导点；( (c) )列表列表, ,驻点及不可导点分割定义域，根据第一充分驻点及不可导点分割定义域，根据第一充分条件判断条件判断. .(i)求求(a,b)内的驻点和不可导点内的驻点和不可导点; ; (ii)求区间端点、驻点及不可导点处的函数值；求区间端点、驻点及不可导点处的函数值；比较大小比较大小, ,其中最大的和最小的就是所要求的最大值其中最大的和最小的就是所要求的最大值和最小值。和最小值。 ( P75) 例例4，( P76) 2、3，( P81) 5(3)实际应用题的最值实际应用题的最值: 建立目标函数建立目标函数;求驻点求驻点;下

13、结论下结论. (若若目标函数的最值不能在区间端点取得目标函数的最值不能在区间端点取得, 且只有唯一驻点，且只有唯一驻点，则该驻点处的函数值就是所求的最值则该驻点处的函数值就是所求的最值.).14rhrS 222 hrV2 rrSh 222 )0( rrrSr 2222 223rSr 06212 ）（rSV 6Sr ( P76) 2 解解 桶的底面半径为桶的底面半径为r，高为，高为h，体积为，体积为V 令令 得唯一驻点得唯一驻点 当底面直径为当底面直径为 , 高为高为 时，容积最大时，容积最大. 32S 32S.151、原函数、原函数CxFdxxf )()( ),(d)(xfxxf ,)()(d

14、xxfdxxfd 或或,)(d)( Cxfxxf.)()( Cxfxdf或或不定积分不定积分微分与积分的关系微分与积分的关系 (P85) 填空题填空题. 例例 (P98) 一一 、二、二2、不定积分的计算、不定积分的计算 积分公式积分公式P85、P91凑微分法凑微分法, 第二类换元法，分部积分法第二类换元法，分部积分法例例 (P94) 填空题填空题 dxxg)( dxuuf)(恒等变形恒等变形凑微分：凑微分：.16第二换元法：一般是用于去根号，令第二换元法：一般是用于去根号，令tn 分部积分法：分部积分法：dttdxtx)( ),( .duvuvudv . , ,cos,sin. 1dvxud

15、xexkxdxxkxdxxnkxnnn余余下下的的为为令令不不定定积积分分的的形形如如 . ),ln(arctan arcsin,arctan,ln. 2dvxxuxdxxxdxxxdxxnnn余下的为余下的为或或令令的不定积分，的不定积分，形如形如 (P99) 三三.171、定积分的几何意义、定积分的几何意义 , 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形是由曲边梯形是由x=a、x=b、y=f(x)及及x轴围成的轴围成的.(3)(3) (P111)若若f(x)在在-a,a上连续且为奇函数，则上连续且为奇函数，则. 0)( aadx

16、xf abbadxxfdxxf)()()2(0)( badxxf(1)当当a=b时，时，2、定积分的性质、定积分的性质 例例 (P129)15.183、积分上限函数及其导数、积分上限函数及其导数,)()( xadttfx)()()(xfdttfdxdxxa 例例(P109) 24、定积分的计算、定积分的计算换元法：换元必换限换元法：换元必换限; 分部积分法分部积分法)()()()(aFbFxFdxxfbaba 分部积分法分部积分法 bababauvuvvudd(P111) 1 (P113) 课堂练习课堂练习5、平面图形的面积、平面图形的面积)()()()( xgxfxgyxfybxax 其中其中所围成的平面图形面积所围成的平面图形面积及曲线及曲线，曲线，曲线，由直线由直线 baxxgxfSd)()(例例(P122) 1.191、边际成本、边际收益、边际利润、边际成本、边际收益、边际利润2、成本函数、收益函数、成本函数、收益函数，已已知知总总成成本本函函数数0)(CqCC pqqRR )(总总收收益益函函数数;dqdCMC 边际成本函数边际成本函数.dqdRMR 边边际际收收益益函函数数CqRq )()(L利利润润函函数数00d)()( CqMCqCq 总成本函数总成本函数;d)()(0 qqMRqR总总收收益益函函数数00d)()(CqMCMRqLq 总利