自动控制原理-控制系统的微分方程

1、整理ppt1 所谓的数学模型，所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控控制系统定量分析的基础。制系统定量分析的基础。 1) 1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。 2) 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之简化性和准确性：忽略次要因素，简化之；准确体现了系统性质。；准确体现了系统性质。 3) 3) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。 4) 4) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。动态模型：变量各阶导数

2、之间关系的微分方程。 1) 1)微分方程：时域微分方程：时域 其它模型的基础其它模型的基础 直观直观 求解繁琐求解繁琐 2) 2)传递函数：复频域传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果微分方程拉氏变换后的结果 3) 3)频率特性：频域频率特性：频域 分析方法不同，各有所长分析方法不同，各有所长整理ppt2 1) 1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的分析系统运动的因果关系，确定系统的、及内部及内部，搞清各变量之间的关系。搞清各变量之间的关系。 2) 2) 忽略一些次要因素，忽略一些次要因素，。 3) 3) 根据相关基本定律，列出各部分的根据相关基本定律，列出各部分的。 4) 4) 列写中

3、间变量的列写中间变量的。 ！ 5) 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。 6) 6) 将方程式化成标准形。将方程式化成标准形。 整理ppt3 三个基本的无源元件：质量三个基本的无源元件：质量m,m,弹簧弹簧k,k,阻尼器阻尼器f f对应三种阻碍运动的力对应三种阻碍运动的力: :惯性力惯性力ma;ma;弹性力弹性力ky;ky;阻尼力阻尼力fvfv 例例1 1 弹簧弹簧- -质量质量- -阻尼器串联系统。阻尼器串联系统。 试列出以外力试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移为输入量，以质量的位移y(t)为为输出量的

4、运动方程式。输出量的运动方程式。 解：遵照列写微分方程的一般步骤有：解：遵照列写微分方程的一般步骤有： （1 1）确定）确定输入量输入量为为F(t)，输出量输出量为为y(t)，作用于质，作用于质量量m的力还有弹性阻力的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力和粘滞阻力Ff(t)，均作为，均作为中间变量。中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，且无外力作用时，系统处于平衡状态。系统处于平衡状态。 KmfF(t)y(t)整理ppt4 （3 3）按牛顿第二定律列写原始方程，即）按牛顿第二定律列写原始方程，即 kytFk )( )(dtdyffvtFf （5 5

5、）将以上辅助方程式代入原始方程）将以上辅助方程式代入原始方程, ,消去中消去中间变量间变量, ,得得)(22tFdtdyfkydtydm （6 6）整理方程得标准形）整理方程得标准形)(122tFkydtdykfdtydkm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk （4 4）写中间变量与输出量的关系式）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t)整理ppt5 例例2 2 电阻电感电容串联系统。电阻电感电容串联系统。R-L-CR-L-C串联电路，试列出以串联电路，试列出以u ur r( (t t) )为输入量，为输入量，u uc c( (t t) )为输出量的网络微分方程式。为输出量

6、的网络微分方程式。 R C ur(t) uc(t) L 解：（解：（1 1）确定输入量为）确定输入量为ur(t)，输出量为，输出量为uc(t)，中间变量为，中间变量为i(t)。 （2 2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。整理ppt6 rcuuRidtdiL （4 4）列写中间变量）列写中间变量i与输出变量与输出变量uc c 的关系式的关系式: : dtduCic （5 5）将上式代入原始方程，消去中间变量得）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R Cur(t)uc(t) L（3 3）由）由KVLKVL写原始方程：写原始方程：i(t)rc

7、ccuudtduRCdtudLC22（6 6）整理成标准形，令）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为则方程化为rcccuudtduTdtudTT 22221整理ppt7 线性微分方程的一般特征线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：有以下形式：cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm11110式中，式中，c(t)是系统的输出变量，是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束： （3 3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。 整理ppt8：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。占据相同位置的量，相似量。 上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例例1例例2令令uc=q/CrcccuudtduRCdtudLC 22当分