注重数学的解题方法 提高解题技巧

1、注重数学的解题方法提高解题技巧曾雨亮（湖南省蓝山县所城中学425811）摘要：21世纪的数学教育要求我们的教学必须培养学生的独立工作能力；培养处理自然、社会的能力；培养具有创新意识的创造性人才。而数学的解题方法就是一种能较好地开发学生创造性思维，在培养学生灵活性、创造性方面具有积极作用的方法。因而教师注重数学的解题方法的教学，提高学生的解题技巧，这就显得尤为重要了，笔者在本文例谈了一些中学数学常用的解题方法的粗浅的看法。 关键词： 数学 解题 方法 技巧数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功

2、，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。 下面就结合例题介绍几种初中数学常用的解题方法，它们都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。 1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。例1. 化简分析：此题的突破口在于：（，后面方法可类似运用配方法构造成完全平方公式。解：原式 2、换元

3、法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。例3. 若为非负数，且，求的最小值。分析：此题是比值代换的问题，题目中有多个变量，根据已知条件，利用换元法将多个变量用一个变量来表示，以达到避繁就简的效果。解：设 则 于是 由于 解得 。 3、待定系数法待定系数法是一种最基本的数学方法，运用待定系数法解题的一般步骤是：先根据已知条件设出一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式的性质列出几个方程，组成方程组，通过解方程组而求出各待定系数的值，或

4、从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数间存在的关系.例3. 若+3是多项式2+m15的一个因式，求m的值，并将2+m15分解因式.分析：此题运用待定系数法分解因式，把多项式先设为含有待定系数的因式的积，再根据恒等的意义，运用比较系数法，求出待定系数，从而得出答案.解：设2+m15=(+3)(+n).2+m15 =(+3)(+n) =2+n+3+3n =2+(n+3)+3n， m=n+3, 解得:m=2, 15=3n. 解得:n=5.2+m15= 2215=(+3)(5).4、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组

5、)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。例6试证：对任何，都有，当有仅当时等号成立。分析:观察题目特点，从联想到余弦定理，可以构造三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。根据题意构造图形（如上图），其中AB=a，BC=c，BD=b，由余弦定理得：中，则：。但当A、D、C三点共线时等号成立，此时，即 ，即点评：本题若不构造一个三角形，而是运用三角知识解题，直接将两边平方，则无论是用综合法还是分析法，不仅计算过程

6、十分复杂，而且很不容易说明。 5、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。例5 求证：是无理数。分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得

7、能方便地将表示为一个分数。证明：假设是有理数，则存在互质，使，从而，为偶数，记为，则也是偶数。由,均为偶数与、互质矛盾，故是无理数。6、消元法消元法通常是在一些较为复杂的问题中，未知数量比较多或未知数次数比较高时，为了保证先求出其中的一种数量，通过对某些数量的比较，设法先消去一个或几个未知量，待求出这个数量后，再求其它数量关系。例解方程:x3+(1+)x-2=0仔细观察原方程，发现其中含有与2两个数字，由于，故可想到原方程化为关于“”的一元二次“方程”，而将x暂时看作常数，这样，只要求得该“方程”的解，即可望求得x的值。解：将原方程化为 解此关于“”的“方程”，得 或 由得 x由得 x x 7

8、、数学归纳法数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛以下通过试题来谈一谈数学归纳法的应用。用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。例7是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f（n）=（2n+7）3n+9，得f（1）=36， f（2）=3×36， f（3）=10×36， f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）3k+9能被36整除;当n=k+1时，2（k+1）+73k+1+9=3（2k+7）3k+9+18（3k-11），由于3k-11是2的倍数，故18（3k11）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）3n+9能被36整除，m的最大值为36.通过以