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1、从力做的功到向量的数量积(学案) 姓名: 班级: 学号: 一、预习目标:(1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义。(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系;向量的夹角。qsF(3)掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用。二、回顾旧知 思考:请同学们回忆物理学中做功的含义,问如何计算力F发生一段位移S所做的功W= 。如图: 这个公式有什么特点?请完成下列填空: W(功)是 量, F(力)是 量, S(位移)是 量, q是 。0°q90°时,w 0,力做 功;q=90°,w 0,力不做功;90°q180
2、6;,w 0,力做 功。你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?如果我们将公式中的力与位移的运算推广到一般向量,其结果又该如何表述?还应该注意什么问题?三、新知探索1向量夹角的概念:范围 画出以下几组向量的夹角:在中已知A=45°,B=50°,C=85°求下列向量的夹角: (1) (2) (3)的夹角。2.射影的概念是如何定义的,举例(或画图)说明;并指出应注意哪些问题.BAOBAOBAOOABAOB给出如下六个图形,让学生指出在方向上的射影,并判断其正负。 注意:射影也是一个数量,不是向量。 当q为锐角时射影为 值;当q为钝角时射影为 值;当q为直角时射影为 ;当
3、q = 0°时射影为 ;当q = 180°时射影为 3.数量积定义:注意: 不能写成或的形式。 两个向量的数量积是一个数量。这个数量的大小与这两个向量的长度及夹角有关。其正负如何确定?当为锐角时, 0;当为钝角时, 0;当时, 0;当时,;当时, 。几何意义: 物理意义: 4.数量积的性质请完成下列练习,并通过观察,看看自己能否发现向量数量积的性质。(1)已知,为单位向量,当它们的夹角为时120°,求在方向上的投影及ea, a e 性质为: (2)已知,与的交角为,则 性质为: (3)若,、共线,则 ;·= 。性质为: (4)已知,且,则与的夹角为 性质
4、为: 性质: ea= ab Û 当a与b同向时,ab =;当a与b反向时,ab =。 特别的aa =或 cosq =(|a|b|0) |a×b|a|b|(当且仅当时等号成立)5.运算定律:1.交换律: 2.数乘结合律:3.分配律: 四:课后感悟 1、判断下列各题正确与否:若= ,则对任一向量,有·= 0. ( ) 若¹ ,则对任一非零向量,有· ¹ 0. ( )若¹ ,·= 0,则 = . ( )若· = 0,则、至少有一个为零. ( ) 若¹ ,·= ·,则= ( )若
5、183;= ·,则=,当且仅当¹ 时成立. ( )对任意向量,有(·) · ¹ ·(·) ( )对任意向量,有·= |2. ( )3、看例1完成 已知=5,=4, 与的夹角=120°,求·。例1、已知=6,=4, 与的夹角为60°,求(+2 )·(-3),|+2|;并思考此运算过程类似于哪种实数运算?例2、对任意向量 ,b是否有以下结论:(1) (+)2=2+2·+2 (2) (+)·(-)= 22随堂练习:1、课本第93页1、2. 2、已知,则= ,= . 3、已知:=2,=3, 与的夹角=120°,求(3+ )·(-2)作业:1、课本P95习题2-5,2、4、62、拓
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