罗默高级宏观经济学课后习题答案详解

1、罗默高级宏观经济学（第3版）课后习题答案详解第1章索洛増长模型5第2章无限期界与世代交叠模型26第3章新增长理论62第4章真实经济周期理论101第5章传统凯恩斯主义波动理论129第6章不完伞名.义调熬的微观经济#础149第7章消费175第8章投资198第9章失业219第10章通货膨胀与货币政策244第11章预算赤字与财政政策2766第1章索洛增长摸型1.1增长率的基本性质。利用一个变量的増长率等于其对数的时间导数的事实证明：(a) 两个变屋乘积的增长率等于英增长率的和，即若Z(r)-X(r)r(r),则Z(/)/Z(/) =.¥(/)/.¥(/) +%)"(&qu

2、ot;(b) 两变量的比率的增长率等于英増长率的差，即若z=x“)，则z(f)/z(f)=.Y(f)/.¥(f) -y(0/y(o (C)如果 Z(r) = X(/)“，Mz(r)/z (/) = « X (t)/X (r)证明：(a)因为一个变量的増长率等于对该变疑取对数后再对时间求导，那么可得下式:2(0 =dlnZ(/) dlnX(/)y(QZ(r) dr dr因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：Z(“ = d lnAQ) +lnY(f)_ = clhZ(f)十小0)Z(f)dfdfdt再简化为下面的结果：z(/) v(/)r(<)z(“

3、 ".¥(/) y(d则得到(a)的结果。(b) W为一个变最的増长率等于对该变量取对数后再对时间求寻，那么可得下式：7(/)二 dlnZ(f)二 dlnX(/)/yQ)Z(r) dt dt因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：Z (/) _ d"- liil (O _dlnA(f) dhil (/ )Z(/) dr ckdr再简化为下而的结果：Z(/) X(t) Y(t)Z(f) '.¥(/) " Y(t)则得到(b)的结果。(c) 因为一个变最的増长率等于对该变毘収对数后再对时间求录，那么可得下式：Z(f)

4、_dlnZa) dhJXO)。Z(f) dtdt又由于lnx”)“ = alnX(r),其中。是常数，有下|何的结果：7(f) da InX(r) dlnX(f) X(t)ZC0= dt =Q dt =axu)则得到(c)的结果。1.2假设某变量X的増长率为常数且在°人时刻等于。>0,在“时刻下降为0,在宀时刻逐渐由0上升 到“，在-时刻之后不变且等于。(a) 画出作为时间函数的X的增长率的图形。(b) 画出作为时间函数的In x的图形。答：(a)根据题目的规定，X的熠长率的图形如图1-1所示。从0时刻到“时刻X的増长率为常数且等于“(a>0),为图形中的第一段。X的増长

5、率从0上升到“，对 应于图中的第二段。从4时刻之后，X的增长率再次变为“。图卜1时间函数X的增长率(b)注意到InX关丁时间的导数(即InX的斜率)等于X的聃长率，即：dln.¥(r) _X(r)dt =XCO因此，EX关于时间的图形如图卜2所示：从0时刻到一时刻，InX的斜率为“ (a>0),在"时刻，X 的增长率出现不连续的变化，因此In X的斜率出现扭曲，在“时刻至-时刻，InX的斜率由0逐渐变为“：从 时刻之后,In X的斜率再次变为a ( a > 0 )。O图卜2 In X关于时间的图形13描述下闻的每一种变化(如果存在的话)怎样影响索洛模型的基本图中

6、的持平投资与实际投资线。(a) 折旧率下降。(b) 技术进步率上升。(C)生产函数是柯布一道格拉斯型，/(*) = r ,并且资本份额a上升。(d) 工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前更高。 答：(a)折旧率下降的影响由于持平投资线的斜率为(“+g+d),当折旧率6下降后，持平投资线的斜率下降，持平投资线向右转，而 实际投资线则不受影响。从图1 3可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从厂上升到&：诙。(b)技术进步率上升的彫响由于持平投资线的斜率为(” + R+d), Y技术进步率彳上升后，会使持平投资钱的斜率变人.持平投资统向左转，而实

7、际投宏线则不受影响。从图卜1可以看出，平衡增长路暫的资木存埜水平从F下降到-割1-4技术进步4vr.fi-对稳态人均资木存绘的影响图卜4技术进步率上升对稳态人均资木存绘的影响(C)生产函数是柯布一道格拉斯型的/(t)= r，并且瓷木份额a上升的影响由于持平爭产线的斜率为(”+R4d)，因此“ I：升对持平投资线没有影响°由于实际投资线为珥(尢)，而/()=r ,因此 =.r Ini.沖资木份额a I.升时，实际投资线的变化需要分悄况讨论：对于()<«<!,如 Sa«lni>0,或者k>l,则即实际投资线*随“增加而上升，则新的实际投资线位干

8、旧的实际投 资线之上：反之，如果】"<0,或者02 沁< 0则斯的实际投资线位于旧的实际投资线之下：对于i=l ,则新的实际投资线与旧的实际投资线垂合。除此之外，“ I.升对于上的彫响还受到$和(” + £")的人小的影响，如果a的I：升会使TI：升，如图1一5所示。8图1-5资木份额a上升的影响(d)工人们发挥更人的努力使得对于肛位有效劳动的资木的既定值3位有效劳动的产出比以前有更囱 的影响：如杲修改巒集形式的生产函数形式为： <刃仏)，BX),则实际投资线为，町住)。工人们更加努力的劳动.则从位有效劳动的产出比以前提岛，即表现为8 I：升，的

9、I升会使实际投资线即上升；持平投资线(”*+<>'”并不受影响，此时，上也从丁上升到,如图1-6所示。1-4考虑一个具有技术进步但无人口増长的经济，其正处在平衡增长路径上。现在假设工人数发生了一次 跳跃，(a) 在跻跃时刻每虹位有效劳动的产出是上升、下降还是保持不变？为什么？(b) 在新工人出现时，每虹位有效劳动的产出发生初始变化(如果存在的话)之后，W位有效劳动的产出 是否存在任何进一步的变化？如果发生变化，其将上升还是下降？为什么？(c) 一旦经济再次达到平衡增长路径，此时的每讥位有效劳动的产出是高于、低于还是等于新工人出现之 前的每爪位有效劳动的产出？为什么？答;(G

10、假定在°时刻1：人数绘发生了一次离敬的I：升这使得每唯位有效劳动的投资数址从女下降到札“ °从kKIALji 一式子中可以看出，由于t上升，而K和A则没有变化，因此，衣会下降。因为厂(町>0,所以每爪位有效劳动的投资数筮的下降会降低每从位有效劳动的产岀，在图1-7中，y从y下降到儿小。(b) 在u 处，每T位有效劳动的投资超过了每臥位有效劳动的持平投资，即：叭八 在 耳“处，经济中储蓄和投资超过了折旧和技术进步所需要的投资数也 因此上开始I:升。随着每驻位有效劳动的 资木I：升，毎讥位有效劳动的产出也会I：升。因此，A从儿5返回到ho(c) 毎妝位有效劳动的资木会持续

11、不断的上升，直到返回到原先的资木水Tr.在丈处，每丫i位有效劳动 的投资恰好与持T投资相等，即：毎臥位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需雯的投资数址。一口经济返 回到平衡培长路径.衣便会返回到上处，从而每川位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。所以，一I经济再 次达到平衡增长賂径，每爪位有效劳动的产出等于新匚人出现之前的产岀.1.5设生产函数是柯布一道格拉斯型的.(G找出作为模型参数八”、几$和“的函数的上、与的表达式。(b) 女的黄金律值是什么？(c) 获得黄金律资木存量所需的储蓄是什么？解：(G下式描述了每小位有效劳动的资木的动态方程式：k = sf( k) - (72 + g + 3

12、) A定义柯布一道格拉斯生产两数为：/(4)=r将其代入上式，有下犬：k = ska - ( n + g + 6) k在平衡増长路径处，毎肛位有效劳动的投资恰好乍每讥位有效劳动持平投瓷相等，从而衣保持不变，则有下 而结果：sk (w + g + <!> )4 *从I:式可以解出：宀$/(“*5)”卜“)(1)下而求解平衡潛长路径处的每讥位有效劳动的产出水T :将方程(1)代入/(t)=r ,则可以解出平衡增长路径处的每小位有效劳动的产出水平:=£/(” +g +/)"')下而求解平筒増长路径处的每讥位有效劳动的消费水Tc'.将方程(2)代入C*

13、= (!-,)/ ,则可以求得平術增长路径处的毎爪位有效劳动的消费水平为：11C* = (1)" "i，(3)综合上述方程(1)、(2)和(3)可以解出£、>与C关于模型参数八 八5、f和a的函数表达式，(b)黄金净的资木存塑水平是抬毎凤位有效劳动的消费水平达到最人化时的资木存量水平。考察这一描标 的总义在于考察社会的福利水平，这也是经济学一切分析的核心所在，比考察资木、产出等经济变址更有息义V 由方程(1)可以解出$,即：f = (”+ J? +d)女 4"(4)将上式代入方程(3),有下式：</ = l_(” + g +<3i)K

14、(n + /f )Ar*，',/(n+ J? +S)"°)上式可以简化为：C = k*' -(M 4> 4- d)k'(5)即毎肛位有效劳动的消费筹于毎妝位有效劳动的产出减去毎臥位有效劳动的实际投资，而均衡状态时，每巾 位有效劳动的实际投资等于每爪位有效劳动的持平投资。下面求C关于，的最优化，可以由(5)得出：de /8k9 =u -(« + x +<)= 0再简化为：ak*' =(m+ j? +<!)(6方程(6)的定义暗含了黄金规则的资木水平其中，方程(6)左边，因为ak-'=厂(门，则，厂(F) =

15、(“r“) 表明生产函数的斜率等干持平投资的斜率。可以由方程(6)解出黄金规则要求的赧佳资木水平，即上的黄金律值：k<iJr =«/(« + X + )，(1_)(C)将方程(7)代入方程(4)即可以得到黄金规则所要求的资木水平：进一步简化为：U=a由方程(8)可以得出：对于柯布一道格拉斯生产函数.黄金规则所宴求的储蓄率等于产岀的资木孙性.也 即资木的产出份额。1.6考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济。为了简化分析，假设不存在技术进步并且现在人口增长 率下降。(G每个工人平均资木、每个匚人平均产出与每个工人平均消费等的均衡增长路径的值发生了什么变化？ 描述这些经济

16、变址移向其新平衡增长路径的路径.(b)描述人口增长的下降对产出(即总产出而非每个工人平均产出的)路径的影响。答:(G由于不存在技术进步，这里可以不考世技术因素，将每爪位有效劳动简化为T均劳动，定义：)，=y “ k K/L »由于持平投资级的斜净为(” + d),因此，人口增长率”的下降会使持平投资线的斜率变小，持平投资线更加平坦每个I人平均资木的动态方程为:k 二艸)一(5+“)&由于仃下降，这会导致女变为IT数(在平衡増长路径上，上为0.即资木”绘处干帚佳水平)°在女处，毎个工人平均实际投资"(”)超过了每个工人平均持平投资因而，k会增加，移向心，如图

17、1-8所/Ja#图1-8人口增长率下降对毎个I人平均稳态资木、平均稳态产出的影响随着毎个工人平均资木的増加，由> = /(*)可以知道每工人平均产出会上升。又因为c = (l-，)v由于，不变，而y上升.因此每个匸人平均消费会上升。如图1-9所示。其中，图1 -9 (1)为每个匚人平均资木的变化图，图1-9 (2)为每个工人平均产出的变化图，图1-9 (3) 为每个工人平均消廿的变化图。(1)每丁人平均资丰他变牝毎丄人平氏消栽的变化 消费的变化(2)每丄人平购产山的变化 图1-9毎个匸人平均资木、产出.#> / 3* = 0 因此/(b)由定义y =则F的增长率为r/r = L/L

18、4y/y .在开始的平衡用长路径匕和八 w,在兹终的平衡增长路径上，r/r = ijL = Mw <»o因此.人口増长的下降会导致总产出的增长率 下降.如图1-10所示。图1-10总产出増长率的下降准龙魏公,見经肃芋毀吋丈一，足徵紅涪填元砌江轻生尖牟浮书，也如幵門靜会烦丈Z杖幻比匕刃力总硏芋峙畫寺主H ,力了卅叱学H史好约芋耳罗欢W鬲圾M现盘庐学c弐立经典我吋盛们琦心端弟了吃铃此臭诂夺用书1 歹疗命锻宏4?婭济学 C男3魁）就总习网讦解2.罗秋幺寄级*岌蛉济塔彳【材站诀一妙典式題串讲1讦为观处诜左【2?小时禹汁須勿】工歹&高駁玄观粉济亍配自怨迪I课竝习冷十聿节理庠彳舍者

19、劭考城实筑4金拟试赵】木侠后习題详解艾300页有然姜的朋友请加扫一扫公众平台联系QQ: 2642209393网址：http/xbw. lOOxucxi. com121317找出平衡増长路径上每爪位有效劳动的产出关于人口增长率的张性。如果叫（门=心、2化以及仆由2%下降至1 %将会y使提岛多少?解：由TZ = /（r）.所以对该犬两边对力求导数p有下式的结恥dy9/on = 厂(i)(冰 町(1)而Sk9/on值可以从资木的动态方程式七=叭女）-（"*+6）女中寻找。在平衡增长路径上，4=0, k =*： , W此有：叭上）=（“町厂 对两边关于创求导，得到下式求解可得:凤.二k飞紀n

20、 一（十*）将方程（2）代入（1）式，得：汁心）由"C （zt+ £4 5）厂求解f ,可得:x = (nf(d)kff(k9(D将方程（4）代入（3）式，可得:丹”_ dn(ZZ + g +0)f (人)A-x/f(Aw ) * 一(zz + g + 5)求）关于仃的孙性形犬n 时二f (&”"/)y- dn "(n +g+5) y(A*)A Vf(A*) -1(5)产岀的资木张性为ac（jt-）= /（r）r/（r）,代入（5）式:W）n ayr，On (n +g +5) 11 ak(A* )(6)将ar（f）=l/3> jf =2%以

21、及6 = 3% n由2%下降至1%代入.其中仆取中值，为0.015,有下式的结果： f _M5（ 1/3 .*.八丽-（0.015 v 0. 02 t 0.03）11 - 1/3丿*因此."由2%下降至1%,下降了 50%,则产出会上升6% （1215（炼=6% ）可以发现，人口増长率的大 幅度下降并不会导致产出的人棉度増长.I:述结论有若极其車要的价值.在索洛模型中，在解释经济增长的脈因时索洛从瓷木的允度加以解释，但 他发现，资木的差杲貶不能解释人类历史上长期的培匕也不能解释跨国之间的差距e在索洛模型看来，导致经 济增长晟主妾的原因在干有效劳动。木题则从劳动数筮的角度解释増长，发现效果并不明駄。141.8设在茨国，投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18,并设资木份额为1/3。(a) 相对于投资不上升的情形，产出垠终人约上升多少？(b) 相对于投资不上升的情形，消费大约上升多少？(c) 投资增加对消费的直接影响是什么？消费要恢复到不存在投资增长时的水平，需要花费多长时间？解：(S投资所占产出的份额永久性地由0.15 I：升至0.18, I：升20%,表明储蓄率I：升(20%。由教材(1. 27) 可以知道产岀关于储蓄的弹性公式为：s dy g(QF 抵 1 一5(")为产出的资木弹性，这里假设市场是