合肥一中自主招生考试

1、合肥一中 2013 年自主招生考试本卷满分 150 分 考试时间120 分钟一、选择题（每小题6 分，共 30 分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得 0 分）23 111、下列图中阴影部分面积与算式 2的结果相同的是 【 】4 22、下列命题中正确的个数有 【 】实数不是有理数就是无理数； a aa；121 的平方根是 ±11；在实数范围内，非负数一定是正数；两个无理数之和一定是无理数A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 43、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游

2、。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么 【 】A、甲比乙更优惠 B 、乙比甲更优惠 C、甲与乙相同 D、与原标价有关 ，半径为2 的 O切 B C于点 C，若将 O在 CB上向右4、如图， ACB60滚动，则当滚动到 O与 C A也相切时，圆心 O移动的水平距离为【 】A、2 B 、 C、 2 3 D、45、平面内的 9 条直线任两条都相交，交点数最多有 m 个，最少有 n 个，则m n等于 【 】A、36 B 、37 C 、38 D 、39二、填空题（每小题6 分，共 48 分）1、甲、乙两人

3、骑自行车，同时从相距 65 千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为千米 /时，则经过 小时，两人相遇。2 x2、若化简1 8 16x x 的结果为2x 5 ，则x 的取值范围是 。3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按 50、20和 30的比例计入学期总评成绩， 90 分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。笔试实践能力 成长记录甲 90 83 95乙 88 90 95丙 90 88 904、已知点 A是一次函数 y x 的图像与反比例函数y2x的图像在第一象限内的交点，点 B 在 x轴的负半轴上，且 OA OB （O为坐标原点）

4、 ，则AOB 的面积为 。5、如果多项式2 12x px 可以分解成两个一次因式的积，那么整数 p 的值是 。6、如右图所示， P是边长为1 的正三角形 ABC的 BC边上一点，从 P向 AB作垂线PQ，Q为垂足。延长Q P与 A C的延长线交于 R，设BP= x（ 0 x 1），BPQ与CPR的面积之和为y ，把 y 表示为x 的函数是 。7、已知x，x为方程1 22 4 2 0x x 的两实根，3则x1 14 x2 55 。8、小明、小林和小颖共解出 100 道数学题，每人都解出了其中的 60 道，如果将其中只有 1 人解出的题叫做难题， 2 人解出的题叫做中档题， 3 人都解出的题叫做容

5、易题，那么难题比容易题多道。三、解答题（本大题6 小题，共 72 分）1、（10 分）在 ABC中， AB AC ， A 45 。 AC 的垂直平分线分别交 AB 、 AC 于 D 、 E 两点，连结CD ，如果 AD 1 ，求： tan BCD 的值。2、（12 分）某公司为了扩大经营，决定购买 6 台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34 万元。甲 乙价格（万元台） 7 5每台日产量（个） 100 60 按该公司的要求，可以有几种购买方案？ 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低

6、于 380 个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？3、（12 分）如图所示，已知边长为4 的正方形钢板有一个角锈蚀，其中 AF 2 ，BF 1。为了合理利用这块钢板将在五边形 EABCD内截取一个矩形块MDN，P 使点 P在 AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。4 、（ 12 分 ）如图所 示 等 腰梯 形 ABCD 中 ， AB CD ， AD CB ,对角线AC 与 BD 交于o , 点 S、P、Q 分别是 O D、O A、BC的中点。 O, ACD 60求证： PQS 是等边三角形。5、（12 分）如右图，直线O B是一次函数 y 2x 的图像，点 A的坐标是（ 0，2），点 C

7、在直线OB上且 ACO为等腰三角形，求 C点坐标。2 x2 m x6、（14 分）已知关于 x 的方程 ( 1) 3(3 1) 18 0m 有两个正整数根（ m 是整数）。2 a2m a2 b2 m b ABC的三边a、b、c满足 c 2 3 ， 8 0m ， m 8 0 。求： m的值； ABC的面积。数学试题参考答案一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B二、1、2 2 、1 x 4 3 、甲、乙 4 、 2 5 、 7, 8, 136、382(3 x 4x 2) 7 、7 8 、20三 1、有已知可得 ADE和 CDE 均为等腰直角三角形，计算得 BD 2 1，在直角三角形 BCD 中

8、，tanBDBCD 2 1。CD2、（1）设购买x 台甲机器，则7x 5(6 x) 34 ，所以 x 2。即 x 取 0、1、2 三个值，有三种购买方案：不购买甲机器，购6 台乙机器；购买1 台甲机器， 5 台乙机器；购买2 台甲机器，购4 台乙机器。（2）按方案，所需资金 6 5 30（万元） ，日产量为6 60 360（个） ；按方案，所需资金1 7 5 5 32（万元），日产量为1 100 5 60 400（个）；按方案， 所需资金为2 7 5 4 34（万元），日产量为2 100 4 60 440（个）。所以，选择方案。3、如图所示，为了表达矩形 MDNP的面积，设D Nx，PNy，则

9、面积Sxy， 因为点 P在 A B上，由 APQABF得24(y4 x)12，即 x 10 2y 2代入，得 S (10 2y)y 2y 10 y，即5 252S 2( y ) 2 2因为3 y 4，而 y52不在自变量的取值范围内，所以 y52不是最值点，当 y3时，S12；当 y4时，S8故面积的最大值是 S12此时，钢板的最大利用率是 80。4、连CS。ABCD是等腰梯形，且 AC与 BD相交于 O，AO=BO,CO=DO.ACD=60°， OCD与OAB均为等边三角形 .S 是 OD的中点， C SDO.1在 RtBSC中， Q为BC中点， SQ是斜边BC的中线， SQ=2B

10、C.同理 BPAC.1在 RtBPC中， PQ=2BC.12又 SP是OAD的中位线， SP=1AD=2BC.SP=PQ=SQ.故SPQ为等边三角形 .5、若此等腰三角形以 OA为一腰，且以 A为顶点，则AO=AC1 =2.设C1（ x,2x），则得2 (2 2)2 22x x ，解得8x ，得 C1（58 16 ,5 5）若此等腰三角形以 OA为一腰，且以 O为顶点，则O C2=OC3=OA=2.设C2（x x ），则得 ' ,2 '' ,2 ''2 (2 ' )2 22x x ，解得' 4x . 得 C2（52 45, 55 5）又由

11、点 C3 与点 C2 关于原点对称，得 C3（ 2 5, 4 55 5）1若此等腰三角形以 OA为底边，则C4 的纵坐标为1，从而其横坐标为2，得 C4（12,1）.所以，满足题意的点 C有 4 个，坐标分别为：（ 8 ,165 5），（ 2 5, 4 55 5），（ 2 5, 4 55 5），C4（12,1）26、（1）方程有两个实数根，则1 0 m ，解方程得6x ，1 m13x 由题意，得2 m1mm1 1,2,3,6,1 1,3,即mm0,1, 2,5,2,4.故 m 2 2 a 2 b（2）把 m 2代入两等式，化简得 4 2 0 a ，b 4 2 0 ，当 a b时， a b 2 2 2 x当 a b时， a 、b是方程 4 2 0x 的两根，而 0，由韦达定理得，a b 40，ab 2 0，则a 0、b0 a b， c 2 3时，由于a2 b (a b) 2 2ab 16 4 12