数学数列笔记整理

1、等差数列的充要条件：an+1 - an =常数 an为等差数列2an+1=an+an+2 an为等差数列an=kn+b an为等差数列Sn=pn²+qn an为等差数列【nN+】等差数列的相关性质：等差数列an中，am=an+（m-n）d，变式d=（am-an）/（m-n） 等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2m -Sm，S3m -S2m，仍为等差数列等差数列an中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，若m+n=2p，则am+an=2ap等差数列an中，Sn=an²+bn （其中a=d/2，d0）两个等差数列an和bn的和差的数列an±bn仍

2、为等差数列 若an是公差为d的等差数列，则其子列ak，ak+m，ak+2m 也是等差数列，且公差为md；kan也是等差数列，且公差为kd求数列的通项an及数列求和求通项方法：1.公式法2.叠加法：例题：若数列an，a1=2，且an+1 -an=n（nN+），求an 解： a2-a1=1 a3-a2=2 a4-a3=3 a5-a4=4 an-an-1=n-1 将之相加，相加之后： an-a1=(n-1)(n-1+1)/2 an=2+n(n+1)/23.叠乘法：例题：若数列an，a1=2，且an+1/an =n/（n+1） （nN+），求an 解： a2/a1 * a3/a2 * a4/a3 *

3、······*an/an-1 =1/2 * 2/3 * 3/4 * ······* (n-1)/n an/a1=1/n an=2/n4.构造法：设t构造：例：若数列an，a1=2，且an+1=2an +1 （nN+） ，求an解：设 an+1 +t=2（an +t） an+1 +t=2an +2t an+1=2an +t(将上面得到的式子，跟题目中的式子对比) 得到：t=1将t代入： an+1 +1=2(an +1) 【此处，将an +1 看做一个整体】 an +1为等比数列

4、 an +1=（a1 +1）*2(n-1) an +1=3*2(n-1) an=3*2(n-1)-1 除种构造：例：若数列an，a1=2，且an+1=2an+2(n+1) （nN+），求an解： an+1/2(n+1) =2an/2(n+1) +1 an+1/2(n+1) - an/2n =1则： an/2n为等差数列 an/2n =a1/2 +(n-1)=n an=n*2n颠倒构造：例：若数列an，a1=2，且an+1=2an/(an+2) (nN+)，求an解： 1/an+1 =(an +2)/2an =1/2 +1/an 1/an+1 -1/an =1/2则： 1/an为等差数列 1/a

5、n =1/a1 +(n-1)*1/2=n/2 an=2/n5.利用an=Sn-Sn-1 （n>1） S1（n=1）例：若数列an前n项和Sn=2n2+3n+1，求an解略去6.利用周期求：例：若数列an，a1=2，且an+1=1-1/an （nN+），求a2011解法：手写，求前几项的值，直到出来与前面某项重复的数值此种方法应用于：an，n的数值很大 的题目求和方法1.公式法题目略去2.倒序相加法题目略去3.错位相减法题目略去4.裂项相消法题目略去5.分组求和法 ：把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和例：1+1，1/a+4，1/a2+7，··

6、83;，1/a(n-1)+3n-2，求各项之和解：Sn=1+1/a+1/a2+···+1/a(n-1)+1+4+7+···+(3n-2)可以看出，前一部分是等比数列，公比为1/a；后一部分是等差数列，公差为3Sn=1(1-1/an) /(1-1/a) +n*(1+3n-2)/2化简之即得6.一些结论: 12 +22 +···+n2 =1/6 *n(n+1)(2n+1) 13 +23 +33+···+n3=1/4n(n+1)2 Cn0+Cn1+Cn2+···+Cnn=2n 补充:无穷递缩等比数列：|q|<1, lim(n)Sn=a1/1-q例：a1 +a2=2,a2 +a3=1，求 lim(n)Sn解：一种简介的方法 an为等比数列 a1 +a2,a2 +a3,a3 +a4·