吴赣昌 第五版 经管类概率论与数理统计课后习题 完整版

1、随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.现习题91.2 随机事件的概率1.3 古典概型现习题3现习题4现习题5现习题6现习题7现习题8现习题9现习题101.4 条件概率习题3 空现习题41.5 事件的独立性现习题6现习题7现习题8总习题1习题3. 证明下列等式：习题4.现习题5习题6.习题7习题8习题9习题10习题11现习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20 习题21习题22现

2、习题23现习题24第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，

3、并写出该随机变量取每一个特定值的概率.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为的泊松分布，且PX=1=PX=2,求.习题2设随机变量X的分布律为 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P12<X<52;   (2)P1X3;   (3)PX>3.习题3一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.习题4 (空)习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加

4、油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布； (2)PX5;(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布

5、.习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.习题10 纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间内断头的概率为0.005,在这段时间内断头次数不大于2的概率.习题11设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.2.3 随机变量的分布函数习题1.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2习题3已知离散型随机变量X的概率分布为PX=1=0.3,PX=3=0.5,

6、PX=5=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.习题4习题5习题6在区间0,a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在0,a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1习题2习题3习题4习题5设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.习题6习题7 (空)习题8习题9习题10习题112.5 随机变量函数的分布习题1习题2习题3习题4习题5习题6总习题二1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、

7、 9、 10、 11、 12、13、 14、15、 16、 17、 18、 19、 20、 第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 3.2 条件分布与随机变量的独立性1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 3.3 二维随机变量函数的分布1、 2、 7、 4、复习总结与总习题解答1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、（空）15、16、17、 第四章 随机变量的数字特征4.1 数学期望 1、 2、 3、 4 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、4.2 方差1、 2、

8、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 4.3 协方差与相关系数1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 4.4 大数定理与中心极限定理1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 总习题四解答1、 2、 3、 4、 5、 6、X表示每件产品的利润，则X取-2,10, 求每件产品的平均利润，即X的数学期望.E(X)=-2×0.1+10×0.9=8.8.7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 故cov(X,Y)=0.16、 17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 第五章 数理统计的基础知识

9、5.1 数理统计的基本概念 习题1 已知总体X服从0,上的均匀分布(未知), X1,X2,Xn为X的样本，则(). (A)1/ni=1nXi-2是一个统计量； (B)1/ni=1nXi-E(X)是一个统计量； (C)X1+X2是一个统计量； (D)1/ni=1nXi2-D(X)是一个统计量. 解答： 应选(C). 由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数. 习题2 观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm), 得到如下表中所列的数据. 按区间70,80),80,90),150,160), 将100个数

10、据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率), 并画出频率累积的直方图. 解答： 分组数据统计表 组序号123456789组限组中值组频率组频率%累计频率%7080 75 3 3 38090 85991290100 95 13 13 25100110 105 16 16 41110120 115 26 26 67120130 125 20 20 87130140 1357794140150 1454498150160 15522100频率直方图见图(a),累积频率直方图见图(b). 习题3 测得20个毛坯重量(单位：g),列成如下简表：毛坯重量 185 187 192 195 200

11、202 205 206 频数 1 1 1 1 1 2 1 1 毛坯重量 207 208 210 214 215 216 218 227 频数 2 1 1 1 2 1 2 1将其按区间183.5,192.5),219.5,228.5)组，列出分组统计表，并画出频率直方图. 解答： 分组统计表见表组序号 1 2 3 4 5 组限 183.5,192.5 192.5,201.5 201.5,210.5 210.5,219.5 219.5,228.5组中值 188 197 206 215 224组频数 3 2 8 6 1组频率/% 15 10 40 30 5 频率直方图见下图 习题4 某地区抽样调查2

12、00个居民户的月人均收入，得如下统计资料： 月人均收入(百元) 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 合计 户数 18 35 76 24 19 14 14 200 求样本容量n,样本均值X¯，样本方差S2. 解答： 对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200. 这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料(频率分布), 我们首先计算各组的“组中值”，然后计算X¯和S2的近似值： 月人均收入(百元) 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 合计 组中值ak 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5

13、- 户数fk 18 35 76 24 19 14 14 200 X¯=1nkakfk=1200(5.5×18+11.5×14)=7.945, S21n-1k(ak-X¯)2fk=1n-1kak2fk-X¯2 =1199(5.52×18+11.52×14)-7.94566.0402-63.123025=2.917175. 习题5设总体X服从二项分布B(10,3100),X1,X2,Xn为来自总体的简单随机样本， X¯=1ni=1nXi与Sn2=1ni=1n(Xi-X¯)2 分别表示样本均值和样本二阶中心矩，

14、试求E(X¯),E(S2). 解答： 由XB(10,3100), 得 E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000, 所以 E(X¯)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n. 习题6 设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料 日售出台数k 2 3 4 5 6 合计 天数fk 20 30 10 25 15 100 求样本容量n,经验分布函数Fn(x). 解答： (1)样本容量n=100; (2)经验分布函数 Fn(x)=0,x<20.20,2x<30

15、.50,3x<40.60,4x<50.85,5x<61,x6. 习题7 设总体X的分布函数为F(x), 概率密度为f(x),X1,X2,Xn为来自总体X的一个样本，记 X(1)=min1in(Xi),X(n)=max1in(Xi), 试求X(1)和X(n) 各自的分布函数和概率密度. 解答： 设X(1)的分布函数和概率密度分别为F1(x)和f1(x), X(n)的分布函数和概率密度分别为Fn(x)和fn(x), 则 Fn(X)=PX(n)x=PX1x,X(n)x =PX1xPX2xPXnx=F(x)n, fn(x)=Fn(x)=nF(x)n-1f(x), F1(x)=PX(1

16、)x=1-PX(1)>x=1-PX1>x,X2>x,Xn>x =1-PX1>xPX2>xPXn>x =1-1-PX1x1-PX2x1-PXnx =1-1-F(x)n, F1(x)=f1(x)=n1-F(x)n-1f(x). 习题8 设总体X服从指数分布e(),X1,X2是容量为2的样本，求X(1)，X(2)的概率密度. 解答： f(x)=e-x,x>00,其它, F(x)=1-e-x,x>00,x0, X(2)的概率密度为 f(2)(x)=2F(x)f(x)=2e-x(1-e-x),x>00,其它, 又X(1)的概率密度为 f(1)(

17、x)=21-F(x)f(x)=2e-2x,x>00,其它. 习题9 设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求： (1)没有元件在800h之前失效的概率； (2)没有元件最后超过3000h的概率. 解答： (1)总体X的概率密度f(x)=(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它, 分布函数F(x)=1-e-0.0015x,x>00,其它, 没有元件在800h前失效=最小顺序统计量X(1)>800, 有 PX(1)>800=PX>8006=1-F(800)6 =exp(-0.001

18、5×800×6)=exp(-7.2)0.000747. (2)没有元件最后超过3000h=最大顺序统计量X(6)<3000 PX(6)<3000=PX<30006=F(3000)6 =1-exp-0.0015×30006=1-exp-4.56 0.93517. 习题10 设总体X任意，期望为,方差为2, 若至少要以95%的概率保证X¯-<0.1, 问样本容量n应取多大？ 解答： 因当n很大时，X¯-N(,2n), 于是 PX¯-<0.1=P-0.1<X¯<+0.1 (0.1/n)-(

19、-0.1/n)=2(0.1n)-10.95, 则(0.1n)0.975, 查表得(1.96)=0.975, 因(x)非减，故0.1n1.96,n384.16, 故样本容量至少取385才能满足要求. 5.2 常用统计分布 习题1 对于给定的正数a(0<a<1), 设za,a2(n),ta(n),Fa(n1,n2)分别是标准正态分布，2(n),t(n), F(n1,n2)分布的上a分位点，则下面的结论中不正确的是(). (A)z1-a(n)=-za(n); (B)1-a2(n)=-a2(n); (C)t1-a(n)=-ta(n); (D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).解

20、答： 应选(B). 因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是对的.(B)是错的. 对于F分布，若FF(n1,n2), 则 1-a=PF>F1-a(n1,n2)=P1F<1F1-a(n1,n2)=1-P1F>1F1-a(n1,n2) 由于1FF(n2,n1), 所以 P1F>1F1-a(n1,n2)=P1F>Fa(n2,n1)=a, 即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的. 习题2(1) 2.设总体XN(0,1),X1,X2,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?

21、 (1)X1-X2X32+X42; 解答： 因为XiN(0,1),i=1,2,n, 所以： X1-X2N(0,2), X1-X22N(0,1), X32+X422(2), 故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422t(2). 习题2(2) 2.设总体XN(0,1),X1,X2,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (2)n-1X1X22+X32+Xn2; 解答： 因为XiN(0,1),i=2nXi22(n-1), 所以 n-1X1X22+X32+Xn2=X1i=2nXi2/(n-1)t(n-1). 习题2(3) 2.设总体XN(0,1),X1,X2,Xn为简单随

22、机样本，问下列各统计量服从什么分布? (3)(n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2. 解答： 因为i=13Xi22(3),i=4nXi22(n-3), 所以： (n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2=i=13Xi2/3i=4nXi2/(n-3)F(3,n-3). 习题3 设X1,X2,X3,X4是取自正态总体XN(0,22)的简单随机样本，且 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2, 则a=?,b=?时，统计量Y服从2分布，其自由度是多少？ 解答： 解法一 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2, 令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4), 则 Y=Y

23、12+Y22, 为使Y2(2), 必有Y1N(0,1),Y2N(0,1), 因而 E(Y1)=0,D(Y1)=1, E(Y2)=0,D(Y2)=1, 注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4, 由 D(Y1)=Da(X1-2X2)=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2) =a(4+4×4)=20a=1, D(Y2)=Db(3X3-4X4)=bD(3X3-4X4) =b(9D(X3)+16D(X4)=b(4×9+16×4)=100b=1, 分别得a=120,b=1100. 这时Y2(2), 自由度为n=2. 解法二 因XiN(0,22)且

24、相互独立，知 X1-2X2=X1+(-2)X2N(0,20), 3X3-4X4=3X3+(-4)X4N(0,100), 故X1-2X220N(0,1),3X3-4X4100N(0,1), 为使 Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)22(2), 必有X1-2X21/aN(0,1),3X3-4X41/bN(0,1), 与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是 1a=20,1b=100, 即a=120,b=1100. 习题4 设随机变量X和Y 相互独立且都服从正态分布N(0,32). X1,X2,X9和Y1,Y2,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量 T=X1+X

25、2+X9Y12+Y22+Y92 服从自由度为9的t分布. 解答： 首先将Xi,Yi分别除以3, 使之化为标准正态. 令Xi=Xi3,Yi=Yi3,i=1,2,9, 则 XiN(0,1),YiN(0,1); 再令X=X1+X2+X9, 则XN(0,9),X3N(0,1), Y2=Y12+Y22+Y92, Y22(9). 因此 T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=XY2=X/3Y2/9t(9), 注意到X,Y2相互独立. 习题5 设总体XN(0,4), 而X1,X2,X15为取自该总体的样本，问随机变量 Y=X12+X22+X1022(X112+X1

26、22+X152) 服从什么分布？参数为多少？ 解答： 因为Xi2N(0,1), 故Xi242(1),i=1,2,15, 而X1,X2,X15独立，故 X12+X22+X10242(10),X112+X122+X15242(5), 所以 X12+X22+X1024/10X112+X122+X1524/5=X12+X22+X1022(X112+X122+X152)=Y 习题6 证明：若随机变量X服从F(n1,n2)的分布，则 (1)Y=1X服从F(n2,n1)分布；(2)并由此证明F1-(n1,n2)=1F(n2,n1). 解答： (1)因随机变量X服从F(n1,n2), 故可设X=U/n1V/n

27、2, 其中U服从2(n1),V服从2(n2), 且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1, 由F分布之定义知 Y=1x=V/n2U/n1, 服从F(n2,n1). (2)由上侧分位数和定义知 PXF1-(n1,n2)=1-,P1X1F1-(n1,n2)=1-, 即PY1F1-(n1,n2)=1-,1-PY>1F1-(n1,n2)=1-, 故 PY>1F1-(n1,n2)=, 而PYF(n2,n1)=. 又Y为连续型随机变量，故PY1F1-(n1,n2)=, 从而 F(n2,n1)=1F1-(n1,n2), 即F1-(n1,n2)=1F(n2,n1). 习题7 查表求标准正态分布的

28、上侧分位数：u0.4,u0.2,u0.1与u0.05. 解答： u0.4=0.253, u0.2=0.8416, u0.1=1.28,u0.05=1.65.习题8 查表求2分布的上侧分位数：0.952(5), 0.052(5), 0.992(10)与0.012(10). 解答： 1.145, 11.071, 2.558, 23.209. 习题9 查表求F分布的上侧分位数：F0.95(4,6),F0.975(3,7)与F0.99(5,5). 解答： 0.1623,0.0684,0.0912. 习题10 查表求t分布的下侧分位数：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与t0.005(

29、10). 解答： 2.353,3.365,1.415,3.169. 5.3 抽样分布 习题1 已知离散型均匀总体X,其分布律为 X 2 4 6 Pi 1/3 1/3 1/3 取大小为n=54的样本，求： (1)样本平均数X¯落于4.1到4.4之间的概率； (2)样本均值X¯超过4.5的概率. 解答： =E(X)=13×(2+4+6)=4, 2=E(X2)-E(X)2=13×(22+42+66)-42=83, 所以 X¯=4, X¯2=2n=8/354=481, X¯=29. 令Z=X¯-42/9, 则n充分大时，Z

30、近似N(0,1). (1)P4.1<X¯<4.4=P4.1-42/9<Z<4.4-42/9 (1.8)-(0.45)=0.9641-0.6736=0.2905. (2)PX¯>4.5=PZ>4.5-42/9=1-PZ2.25 1-(2.25)=1-0.9878=0.0122. 习题2 设总体X服从正态分布N(10,32),X1,X2,X6是它的一组样本，设 X¯=16i=16Xi. (1)写出X¯所服从的分布；(2)求X¯>11的概率. 解答： (1)X¯N(10,326), 即X¯

31、N(10,32). (2)PX¯>11=1-PX¯11=1-(11-1032) 1-(0,8165)1-(0.82)=0.2061. 习题3 设X1,X2,Xn是总体X的样本，X¯=1ni=1nXi, 分别按总体服从下列指定分布求E(X¯),D(X¯). (1)X服从0-1分布b(1,p); (2)*X服从二项分布b(m,p); (3)X服从泊松分布P(); (4)X服从均匀分布Ua,b; (5)X服从指数分布e(). 解答： (1)由题意，X的分布律为： PX=k=Pk(1-P)1-k(k=0,1). E(X)=p,D(X)=p(1-p

32、). 所以 E(X¯)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=1nnp=p, D(X¯)=D(1ni=1nXi)=1n2i=1nD(X1)=1n2np(1-p)=1np(1-p). (2)由题意，X的分布律为： PX=k=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,m). 同(1)可得 E(X¯)=mp,D(X¯)=1nmp(1-p). (3)由题意，X的分布律为： PX=k=kk!e-(>0,k=0,1,2,). E(X)=,D(X)=. 同(1)可得 E(X¯)=,D(X¯)=1n. (4)由E(X)=a+b2,D

33、(X)=(b-a)212, 同(1)可得 E(X¯)=a+b2,D(X¯)=(b-a)212n. (5)由E(X)=1,D(X)=12, 同(1)可得 D(X¯)=1,D(X¯)=1n2. 习题4 某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求： （1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率； （2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。 解答： （1）由题意知X¯N(5,1n),n=9，则标准化变量 Z=X¯-51/9=X¯-51/3N(0,1). 而 P4.

34、4<X¯<5.2=P4.4-51/3<X¯-51/3<5.2-51/3 =P-1.8<Z<0.6(0.6)-(-1.8) =0.7257-0.0359=0.6898 （2）PX¯<6=PX¯-51/3<6-51/3=PZ<3(3)=0.9987. 习题5 设X1,X2,X16及Y1,Y2,Y25分别是两个独立总体N(0,16)和N(1,9)的样本，以X¯和Y¯分别表示两个样本均值，求PX¯-Y¯>1. 解答： X¯N(0,1616)，Y¯

35、;N(1,925)，X¯-Y¯N(-1,1+925)，即 X¯-Y¯N(-1,3425) 标准化变量X¯-Y¯，令Z=X¯-Y¯34/5N(0,1)，所以 PX¯-Y¯>1=1-PX¯-Y¯1=1-P-1X¯-Y¯1 =1-P0X¯-Y¯+134/5234/5 1-(1.715)+(0) =1-0.9569+0.5=0.5431 习题6 假设总体X服从正态分布N(20,32), 样本X1,X25来自总体X, 计算 Pi=116Xi

36、-i=1725Xi182. 解答： 令Y1=i=116Xi,Y2=i=1725Xi, 由于X1,X25相互独立同正态分布N(20,32), 因此有Y1与Y2相互独立，且Y1N(320,122), Y2N(180,92), Y1-Y2N(140,152), i=116Xi-i=1725Xi182=PY1-Y2182, =PY1-Y2-140152.8(2.8)=0.997. 习题7 从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01, 试求总体的标准差. 解答： 设总体XN(,2), 样本均值为X¯,则有 X¯-/n=X¯

37、;-/4N(0,1). 因为 PX¯->2=PX¯-/4>8=2PZ>8=21-(8)=0.01, 所以(8)=0.995. 查标准正态分布表，得8=2.575, 从而=82.575=3.11. 习题8 设在总体N(,2)中抽取一容量为16的样本，这里,2均为未知. (1)求PS2/22.041, 其中S2为样本方差； (2)求D(S2). 解答： (1)因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知 (n-1)S222(n-1). 这里n=16, 于是 PS2/22.041=P(15S2215×2.041) =1-P15S22>30.61

38、5(查2分布表可得) =1-0.01=0.99. (2)因为(n-1)S222(n-1), 又知 D(n-1)S22)=2(n-1), 所以 D(S2)=4(n-1)2D(n-1)S22)=4(n-1)22(n-1)=2n-14=2154 (因为n=16). 习题9 设总体XN(,16),X1,X2,X10为取自该总体的样本，已知PS2>a=0.1, 求常数a. 解答： 因为(n-1)S222(n-1),n=10,=4, 所以PS2>a=P9S216>916a=0.1. 查自由度为9的2分布表得，916a=14.684, 所以a26.105. 习题10 设X1,X2,Xn和Y

39、1,Y2,Yn分别取自正态总体 XN(1,2)和YN(2,2) 且相互独立，问以下统计量服从什么分布？ (1)(n-1)(S12+S22)2; (2)n(X¯-Y¯)-(2-2)2S12+S22. 解答： (1)由(n-1)S1222(n-1), (n-1)S2222(n-1), 由2(n)的可加性 (n-1)(S12+S22)2(2(n-1). (2)X¯-Y¯N(1-2,22n), 标准化后(X¯-Y¯)-(1-2)2nN(0,1), 故有 (X¯-Y¯)-(1-2)222n2(1), 又由(n-1)(S12+

40、S22)22(2n-2), 注意F分布定义 (X¯-Y¯)-(1-2)21n22/1(n-1)(S12+S22)2/2(n-1)=n(X¯-Y¯)-(1-2)2S1 习题11 分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率. 解答： 用S12和S22分别表示两个样本方差，由定理知 F=S12/12S22/22=S12/20S22/35=1.75S12S22F(8-1,10-1)=F(7,9). 又设事件A=S122S22, 下面求PS122S22, 因 PS122S22=PS12S222=

41、PS12/20S22/352×3520=PF3.5. 查F分布表得到自由度为n1=7,n2=9的F分布上分布点F(n1=7,n2=9)有如下数值： F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20, 因而F0.05(7,9)=3.29<3.5<F0.025(7,9)=4.20, 即事件A的概率介于0.025和0.05之间，故 0.025PS122S220.05. 总习题解答 习题1 设总体X服从泊松分布.一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8, 计算样本均值，样本方差和经验分布函数.解答： 样本的频率分布为x¯=4,s2=

42、3.6. 经验分布函数为 F10(x)=0,x<11/10,1x<22/10,2x<34/10,3x<47/10,4x<58/10,5x<69/10,6x<71,x8. 习题2 A厂生产的某产种电器的使用寿命服从指数分布，参数未知. 为此，抽查了n件电器，测量其使用寿命，试确定本问题的总体、样本及样本的分布. 解答： 总体是这种电器的使用寿命，其概率密度为 f(x)=e-x,x>00,x0(未知), 样本X1,X2,Xn是n件某种电器的使用寿命，抽到的n件电器的使用寿命是样本的一组观察值.样本X1,X2,Xn相互独立，来自同一总体X, 所以样本的

43、联合密度为 f(x1,x2,xn)=ne-(x1+x2+xn),x1,x2,xn>00,其它. 习题3 设总体X在区间a,b上服从均匀分布，求： (1)来自X的简单随机样本X1,X2,Xn的密度f(x1,x2,xn); (2)Y=maxX1,X2,Xn的密度fY(x); Z=minX1,X2,Xn的密度fZ(x). 解答： (1)X的密度为f(x)=1b-a,x(a,b)0,其它, 由于X1,X2,Xn独立且与X同分布，所以有 f(x1,x2,xn)=i=1nf(xi)=1(b-a)n,ax1xnb0,其它. (2)由题设X在a,b上服从均匀分布，其分布函数为 F(x)=0,x<a

44、x-ab-a,xa,b1,x>b, 由Y=maxX1,X2,Xn及Z=minX1,X2,Xn分布函数的定义 FY(x)=F(x)n, FZ(x)=1-1-F(x)n, 于是有 fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,xa,b, fZ(x)=n1-Fn-1(x)n-1f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,xa,b. 习题4 在天平上重复称一重量为a的物品，假设各次称量的结果相互独立，且服从正态分布N(a,0.2). 若以X¯表示n次称量结果的算术平均值，求使PX¯-a<0.10.95成立的称量次数n的最小值. 解答： 因为X

45、75;=1ni=1nXiN(a,(0.2)2n), 所以 X¯-a0.2/nN(0,1), 故 PX¯-a<0.1=PX¯-a0.2/n<0.10.2/n=2(n2)-10.95, 即(n2)0.975, 查正态分布表得n21.96, 所以n15.37, 即n=16.习题5 设总体XN(20,3), 从X中抽取两个样本X1,X2,X10和Y1,Y2,X15, 求概率PX¯-Y¯>0.3. 解答： 因为X1,X2,X10和Y1,Y2,Y15独立同分布，所以 X¯N(20,310), Y¯N(20,0.2),

46、于是X¯-Y¯N(0,0.5). PX¯-Y¯>0.3=PX¯-Y¯/0.5>0.3/0.5 =1-PX¯-Y¯/0.50.3/0.5 =21-(0.3/0.5)=21-0.6628 =0.6744(查正态分布表). 习题6 设总体XN(,2), 假如要以0.9606的概率保证偏差X¯-<0.1, 试问：当2=0.25时，样本容量n应取多大？ 解答： PX¯-<0.1=0.9606, 即 PX¯-<0.1=PX¯-0.25/n<0.10.2

47、5/n=2(0.1n0.25)-1=0.9606, (0.1n0.25)=0.9803n5=2.06n106. PX¯-<0.1=0.9606, 即 PX¯-<0.1=PX¯-0.25/n<0.10.25/n. 习题7 设X1¯和X2¯分别为来自正态总体N(,2)的容量为n的两个简单随机样本X11,X12,X1n和X21,X22,X2n的均值，试确定n,使两个子样的均值之差超过的概率小于0.05. 解答： Xi¯N(,2n)(i=1,2), 且X1¯和X2¯相互独立，故有 X1¯-X2&

48、#175;N(0,22n), 从而X1¯-X2¯/2/nN(0,1), P(X1¯-X2¯>)=PX1¯-X2¯2/n>n2=2(-n2) =21-(n2)<0.05, 故(n2)>0.975, 查正态分布表n21.96, 所以n>7.68, 即取n=8. 习题8 设总体Xf(x)=x,x<10,其它，X1,X2,X50为取自X的一个样本，试求： (1) X¯的数学期望与方差； (2) S2的数学期望； (3) PX¯>0.02. 解答： =E(X)=-11xxdx=0,

49、2=D(X)=E(X2)-E(X)2=E(X2)=-11x2xdx=12. (1) X¯=1ni=1nXi(n=50) E(X¯)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=0,D(X¯)=2n=12n=1100; (2) E(S2)=1n-1i=1n(Xi-X¯)2=1n-1Ei=1n(Xi-X¯)2 =1n-1E(i=1nXi2-nX¯2)=1n-1(i=1nD(X1)-nD(X¯) =1n-1(n12-n12n)=12; (3) PX¯>0.02=1-PX¯0.02 =1-PX¯-D(X¯)0.02-D(X¯) =1-PX1/100.2=21-(0.2)=0.8414. 习题9 从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02, 求总体的标准差. 解答： 由于X¯N(,2n), 故有 0.02=PX¯-4=PX¯-/n4/n 2(1-(4/n)2(1-(12.65), (12.65)=0.99, 即有12.65=u0.01=2.33, 解得5.