中考数学复习专题讲座4探究型问题含详细参考答案

1、年中考数学复习专题讲座四：探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但

2、是可以从以下几个角度考虑： 利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用三、中考考点精讲考点一：动态探索型：此类问题结论明确

3、，而需探究发现使结论成立的条件例 （自贡）如图所示，在菱形中，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、重合（）证明不论、在、上如何滑动，总有；（）当点、在、上滑动时，分别探讨四边形和的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 分析：（）先求证，进而求证、为等边三角形，得，进而求证，即可求得；（）根据可得，故根据四边形即可解题；当正三角形的边与垂直时，边最短的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，又根据四边形，则的面积就会最大解答：（）证明：连接，如下图所示，

4、四边形为菱形，和为等边三角形，在和中，（）解：四边形的面积不变，的面积发生变化理由：由（）得，则，故四边形，是定值，作于点，则，四边形，由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短故的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，又四边形，则此时的面积就会最大四边形点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证是解题的关键，有一定难度考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目例 （盐城）如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，分别以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于

5、点（）如图，当点恰好在直线上时（此时与重合），试说明；（）在图中，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、之间的数量关系，并说明理由；（）如图，当点在直线的下方时，请直接写出三条线段、之间的数量关系（不需要证明）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：几何综合题。分析：（）由四边形、是正方形，可得，又由同角的余角相等，求得，然后利用证得，根据全等三角形的对应边相等，即可得；（）首先过点作于，由，可得，由四边形是正方形，可得，又由同角的余角相等，求得，然后利用证得，根据全等三角形的对应边相等，即可得，同理，则可得（）证明方法同（），易得解答：（）证明：四边形、是正方形，在和中，（）

6、解：证明：过点作于，四边形是正方形，在和中，同理：，（）解：证明：过点作于，四边形是正方形，在和中，同理：，点评：此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法例 （丽水）在直角坐标系中，点是抛物线在第二象限上的点，连接，过点作，交抛物线于点，以、为边构造矩形（）如图，当点的横坐标为 时，矩形是正方形；（）如图，当点的横坐标为时，求点的坐标；将抛物线作关于轴的轴对称变换得到抛物线，试判断抛物线经过平移交换后，能否经过，三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。分析：（）过点作轴于

7、点，根据正方形的对角线平分一组对角可得，所以，从而得到是等腰直角三角形，设点坐标为（，），然后利用点在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解；（）过点作轴于点，过点作轴于点，先利用抛物线解析式求出的长度，然后证明和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出与的关系，然后利用点在抛物线上，设出点的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；过点作于点，可以证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出点的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点、的抛物线解析式，把点的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点，如果经过点，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据

8、顶点坐标写出变换过程即可解答：解：（）如图，过点作轴于点，矩形是正方形，是等腰直角三角形，设点的坐标为（，）（），则（），解得，（舍去），点的坐标，故答案为：；（）过点作轴于点，过点作轴于点，当时，（），即，又，设，则，解得：（舍去），点（，）；过点作于点，在和中，点（，），设过（，）、（，）两点的抛物线解析式为，由题意得，解得，经过、两点的抛物线解析式为，当时，（），所以点也在此抛物线上，故经过、三点的抛物线解析式为（）平移方案：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线（）点评：本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数

9、法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例 （青海）如图（*），四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角平分线于点请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（）探究：小强看到图（*）后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形

10、全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，因此可以选取的中点，连接后尝试着去证就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图，取的中点，连接又点，分别为正方形的边和的中点又可知是等腰直角三角形又是正方形外角的平分线（）探究：小强继续探索，如图，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论（）探究：小强进一步还想试试，如图，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质

11、。 专题：阅读型。分析：（）在上截取，然后证明，再利用“角边角”证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；（）延长到，使，然后证明，从而得到，再利用两直线平行，内错角相等证明，然后得到，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证解答：（）探究，证明：在上截取，连接，由（）知，又，在和中，（）探究：成立，证明：延长到，使，连接，又，又，即，在和中，点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取，然后构造出与全等是解题的关键例 （永州）如图所示，已知二次函数（）的图象过点（，）和（，），为过点（，）且与轴平行的直线，（，）是该二次函数图

12、象上的任意一点，过作，为垂足（）求二次函数（）的解析式；（）请直接写出使的对应的的取值范围；（）对应当，和时，分别计算和的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数，此结论成立；（）试问是否存在实数可使为正三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。分析：（）根据二次函数（）的图象过点（，）和（，），待定系数法求出和的值，抛物线的解析式即可求出；（）令，解出的值，进而求出使的对应的的取值范围；（）分别求出当，和时，分别计算和的值然后观察其规律，再进行证明；（）由（）知，只要成立，为正三角形，求出、含有和的表达式，令两式相等，求出和的值解答：解：（

13、）二次函数（）的图象过点（，）和（，），解得，二次函数的解析式为，（）令，解得或，由图象可知当时，（）当时，；当时，点的坐标为（，），当时，点的坐标为（，），由此发现，设点坐标为（，），即故对于任意实数，；（）由（）知，只要成立，为正三角形，设点坐标为（，），即，解得，当时，不符合条件，故，时可使为正三角形点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征和性质，特别是（）问的解答很关键，是解答（）问的垫脚石，此题难度一般考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目例 （黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边、分别与轴、轴

14、重合，点的坐标为（，）（）求点的坐标；（）若直线交梯形对角线于点，交轴于点，且，求直线的解析式；（）若点是（）中直线上的一个动点，是否存在点，使以、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题。 分析：（）过点作轴于，在中，已知，解直角三角形求，确定点坐标；（）过点作轴于点，由平行线的性质得出，利用相似比求，确定点坐标，由已知得点坐标，利用“两点法”求直线的解析式；（）存在由已知的，分别以、为圆心，为半径画弧，与直线相交，或作线段的垂直平分线与直线相交，交点即为所求解答：解：（）过点作轴于，（分）在中，（分） 的坐标为（，），点的坐标为（，）

15、；（分）（）过点作轴于点，（分），（分）设直线解析式为（），（分）直线解析式为； （分）（）存在（，）、（，）、（，）、（，）（分）（写对一个点得分，写对两个点或三个点得分）点评：本题考查了一次函数的综合运用关键是通过作辅助线，解直角三角形，证明三角形相似，确定相关线段的长和点的坐标，得出直线解析式，再根据等腰三角形的性质，分类求点坐标例 （北海）如图，在平面直角坐标系中有，（，）、（，）、（，）（）求的值；（）将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图象上请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式；（）在（）的条件下，直线交轴于点问是否存在轴上的点和反比例函数图象上

16、的点，使得四边形是平行四边形？如果存在，请求出点和点的坐标；如果不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题。 专题：计算题。分析：（）过作垂直于轴，交轴于点，由、及的坐标得出，的长，由，根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形中，根据两锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得到三角形与三角形全等，根据全等三角形的对应边相等可得出，由求出的长，再由在第二象限，可得出的值；（）由第一问求出的与的横坐标之差为，根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出（，），则（，），再设出反比例函数解析式，将与的坐标代入得到关于与的两方程，消去得到关于的方程，求出方程的解得

17、到的值，即可确定出的值，得到反比例函数解析式，设直线的解析式为，将与的坐标代入，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出直线的解析式；（）存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得四边形是平行四边形，理由为：设为的中点，令第二问求出的直线的解析式中求出的值，确定出的坐标，再由的坐标，利用线段中点坐标公式求出的坐标，过点作直线与轴交于点，与的图象交于点，若四边形 是平行四边形，则有 ，易知点的横坐标大于，点的横坐标小于，作轴于点，轴于点，与交于点，作轴于点，由两直线平行得到一对同位角相等，再由一对直角相等及，利用可得出与全等，根据全等三角形的对应边相等，设，由的横坐标表示出

18、的横坐标，代入反比例函数解析式确定出的纵坐标，进而确定出的坐标，根据表示出的长，又，分别放在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，进而确定出与的坐标，此时点为所求的点，点为所求的点解答：解：（）作轴于点，即，又，在和中，又点在第二象限，（）设反比例函数为（），点和在该比例函数图象上，设（，），则（，），把点和的坐标分别代入，得；，解得：，则，反比例函数解析式为，点（，），（，），设直线的解析式为（），把、两点坐标代入得：解得：；直线的解析式为；（）存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得四边形是平行四边形，理由为：设是 的中点，令中，得到，（，），又（，），过点作直线

19、与轴交于点，与的图象交于点，若四边形 是平行四边形，则有 ，易知点的横坐标大于，点的横坐标小于，作轴于点，轴于点，与交于点，作轴于点，在和中，设，点的横坐标，点的纵坐标，点的坐标是（，），又，根据勾股定理得：，整理得：，解得：（经检验，它是分式方程的解），则点为所求的点，点为所求的点点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面四、中考真题演练（广东）如图，直线与反比例函数的图象交于点（，），与轴交于点（）求的值及点的坐标；（）在轴上是否存在点，使得？若存在，

20、求出点的坐标；若不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题。 专题：数形结合。分析：（）先把（，）代入反比例函数解析式，易求，再把代入一次函数解析式可求点坐标；（）假设存在，然后设点坐标是（，），然后利用两点之间的公式可得，借此无理方程，易得或，其中和点重合，舍去，故点坐标可求解答：解：（）把（，）代入反比例函数，得把代入中，可得故；点坐标是（，）；（）假设存在，设点坐标是（，），则即（），解得或（此点与重合，舍去）故点的坐标是（，）点评：本题考查了反比函数的知识，解题的关键是理解点与函数的关系，并能灵活使用两点之间的距离公式（乐山）如图，直线与轴交于点，与反比例函数（）的图象交于点，过作轴于点

21、，且（）求的值；（）点（，）是反比例函数（）图象上的点，在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题。 分析：（）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标从而可求的值；（）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置解答：解：（）由可知（，），即（分），（分）轴，点的横坐标为点在直线上，点的纵坐标为即（，）（分）点在上，（分）（）存在点（，）在反比例函数（）上，即点的坐标为（，）（分）过点作关于轴的对称点，连接，交轴于（如图所示）此时最小（分）

22、与关于轴的对称，点坐标为（，），的坐标为（，）（分）设直线的解析式为由解得，（分）直线的解析式为令，得点坐标为（，）（分）点评：此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等（莆田）如图，一次函数的图象过点（，），且与反比例函数（）的图象相交于、两点（）若（，），求的值；（）若，则的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。分析：（）分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式，然后代入进行计算即可得解；（）设出两函数解析式，联立方程组并整理成关于的一元二次方程，根据可知点的横坐标是点的纵坐标的倍，再利用根与系数的

23、关系整理得到关于、的关系式，整理即可得解解答：解：（）（，），（，）在一次函数的图象图象上，解得；（，）在反比例函数图象上，解得，所以，（）；（），是定值理由如下：一次函数的图象过点（，），设一次函数解析式为，反比例函数解析式为，整理得，点的横坐标是点的横坐标的倍，不防设，整理得，是定值点评：本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，根与系数的关系，（）中根据，得到点、的坐标的关系从而转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键（长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、的坐标分别为（，）、（，），反比例函数（）的图象经过点（）求的值（）将平行四边形沿轴翻折，点

24、落在点处，判断点是否在反比例函数（）的图象上，请通过计算说明理由考点：反比例函数综合题。 分析：（）根据平行四边形的性质可得，再根据、点坐标可以算出点坐标，再把点坐标代入反比例函数解析式中即可求出的值；（）根据翻折方法可知与点关于轴对称，故点坐标是（，），把点坐标（，）代入解析式发现能使解析式左右相等，故点是否在反比例函数的图象上解答：解：（）四边形是平行四边形，反比例函数（）的图象经过点，（）沿轴翻折，点落在点处，点坐标是（，），反比例函数解析式为，把点坐标（，）代入函数解析式能使解析式左右相等，故点在反比例函数的图象上点评：此题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系，以及平行

25、四边形的性质，关键是熟练把握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式（宜宾）如图，抛物线的顶点在直线：上（）求抛物线顶点的坐标；（）设抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），试判断的形状；（）在直线上是否存在一点，使以点、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。 专题：压轴题；分类讨论。分析：（）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点的横坐标，然后代入直线的解析式中即可求出点的坐标（）由点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点的坐标则、三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状（）若以点、为顶点的四边形是平行四边形，应分为对

26、角线、为对角线两种情况讨论，即、，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出点的坐标解答：解：（）顶点的横坐标为，且顶点在上，当时，（）是直角三角形将（，）代入，可得，当时，即是直角三角形（）存在由题意知：直线交轴于点（，），交轴于点（，），又与都是等腰直角三角形，即则构成平行四边形只能是或，如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线并交于点设（，），则（，）则，由勾股定理得：（）（），或存在点（，）或（，）使以点、为顶点的四边形是平行四边形点评：题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识，综合性较强；（）题应注意分类讨论，以免漏解（温州）如图，经过原点的抛物线（）与轴的

27、另一个交点为过点（，）作直线轴于点，交抛物线于点记点关于抛物线对称轴的对称点为（、不重合）连接，（）当时，求点的坐标及的长；（）当时，连接，问为何值时？（）过点作且，问是否存在，使得点落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出相对应的点坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。 分析：（）把，代入抛物线的解析式，令解方程，得到的非解即为和轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出的长；（）过点作轴于点（如图）由已知得，利用已知条件证明，根据相似的性质得到：，再用含有的代数式表示出，代入比例式即可求出的值；（）存在，本题要分当时，（），和当时，（），两种情况分别讨论，再求

28、出满足题意的值和相对应的点坐标解答：解：（）当时，令得当时，抛物线的对称轴为直线又，关于对称轴对称（）过点作轴于点（如图）由已知得又抛物线的对称轴为直线，其中，又，关于对称轴对称，又（，），（，），（），不重合，（）当时，（），（）若点在轴上（如图），此时点的坐标是（，）；（）若点在轴上（如图），过点作轴于点，易证，此时点的坐标是（，）；（）当时，（），（）若点在轴上（如图），易证，此时点的坐标是（，）；（）若点在轴上（如图），过点作轴于点，易证，（舍去），综上所述，当时，点的坐标是（，）或（，），当时，点的坐标是（，）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和

29、相似三角形的性质以及全等三角形的性质和全等三角形的判定、需注意的是（）题在不确点的情况下需要分类讨论，以免漏解题目的综合性强，难度也很大，有利于提高学生的综合解题能力，是一道不错的题目（威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点为（，），且过点（，），直线与抛物线交于点，（点在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，轴，垂足为点，点在抛物线上，且位于对称轴的右侧，轴，垂足为点，为等边三角形（）求该抛物线的表达式；（）求点的坐标；（）试判断与是否相等，并说明理由；（）连接，在轴上点的右侧是否存在一点，使与全等？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。

30、分析：（）根据抛物线的顶点是（，），因而设抛物线的表达式为（），把的坐标代入即可求得函数的解析式；（）根据为等边三角形，则中，的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得，即等边的边长，则的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得的坐标；（）解方程组即可求得的坐标，则的长等于的纵坐标，的长度，利用勾股定理可以求得，同理，的长度可以求得，则的长度即可求解；（）可以利用反证法，假设轴上存在一点，使，可以证得，即与重合，与点为直线上的点，即点与点不重合相矛盾，故不存在解答：解：（）设抛物线的表达式为（），将点（，）代入，得（）分解这个方程，得抛物线的表达式为（）。（）将代入，得点的坐标为（，）即，为

31、等边三角形轴，将代入（），得（）解这个方程，得，（不合题意，舍去）点的坐标为（，）。（）相等。把代入，得解这个方程，得，（不合题意，舍去）点的坐标为（，）又，（）不存在假设轴上存在一点，使，则，又，又点为直线上的点，点与点不重合轴，这与“垂线段最短”矛盾，原假设错误，满足条件的点不存在。点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得的坐标是关键（泰安）如图，半径为的与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，点的坐标为（，）若抛物线过、两点（）求抛物线的解析式；（）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（）若点是抛物

32、线（在第一象限内的部分）上一点，的面积为，求的最大（小）值考点：二次函数综合题。 分析：（）利用待定系数法求抛物线的解析式因为已知（，），所以需要求得点坐标如答图，连接，利用勾股定理求解；（）由，可知符合条件的点在线段的垂直平分线上如答图，的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的点有两个，注意不要漏解；（）如答图，作轴于点，构造梯形与三角形，求得面积的表达式，这个表达式是关于点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得面积的最大值解答：解：（）如答图，连接将（，），（，）代入二次函数的表达式得，解得，（）存在如答图，作线段的垂直平分线，与抛物线的交点即为点直线的表达式为代入抛物线的表达式，得；

33、解得，（）如答图，作轴于点设（，），则梯形（）当时，取得最大值，最大值为点评：本题是二次函数综合题，重点考查二次函数相关性质、圆的性质、垂直平分线勾股定理、面积求法等知识点第（）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（）问中，重点关注图形面积的求法以及求极值的方法本题考查知识点较多，要求同学们对所学知识要做到理解深刻、融会贯通、灵活运用，如此方能立于不败之地（岳阳）（）操作发现：如图，是等边边上一动点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接你能发现线段与之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（）类比猜想：如图，当动点运动至等边边的延长线上时，其他作法与（）相同，猜想与在（）

34、中的结论是否仍然成立？（）深入探究：如图，当动点在等边边上运动时（点与点不重合）连接，以为边在上方、下方分别作等边和等边，连接、，探究、与有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点在等边边的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题：几何综合题。分析：（）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理可以证得；然后由全等三角形的对应边相等知；（）通过证明，即可证明；（）；利用全等三角形（）的对应边；同理（），则，所以；中的结论不成立新的结论是；通过证明（），则（

35、全等三角形的对应边相等）；再结合（）中的结论即可证得解答：解：（）；证明如下：是等边三角形（已知），（等边三角形的性质）；同理知，；，即；在和中，（全等三角形的对应边相等）；（）证明过程同（），证得（），则（全等三角形的对应边相等），所以，当动点运动至等边边的延长线上时，其他作法与（）相同，仍然成立；证明如下：由（）知，（），则；同理（），则，中的结论不成立新的结论是；证明如下：在和中，（全等三角形的对应边相等）；又由（）知，；，即点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等，三个内角都是（烟台）（）问题探究如图，分别以的边与边为边，向外作正方形和正方形，过

36、点作直线交直线于点，使作，垂足分别为点，试探究线段与线段的数量关系，并加以证明（）拓展延伸如图，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点作直线，分别交直线于点，使作，垂足分别为点，是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由如图，若将中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变是否仍成立？（要求：在图中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形和圆。 专题：几何综合题。分析：（）根据正方形的每一个角都是可以证明，然后利用平角等于以及直角三角形的两锐角互余证明，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可

37、得，同理可证，从而得证；（）过点作，垂足为点，根据三角形的内角和等于和平角等于证明得到，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，同理可证，从而得证；结论仍然成立，与的证明方法相同解答：（）证明：，在和中，（分）同理可证，（）证明：1M成立过点作，垂足为点，在和中，同理可证，作图正确1M还成立点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，读懂题意，证明得到（或）是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点与突破口（湘潭）如图，是边长为的等边三角形，将沿直线向右平移，使点与点重合，得到，连接，交于（）猜想与的位置关系，并证明你的结论；（）

38、求线段的长考点：等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质。 专题：探究型。分析：（）由平移的性质可知，故可得出，由可知，故可得出结论；（）在中利用勾股定理即可得出的长解答：解：（）由平移而成，（）在中，点评：本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键（苏州）如图，已知抛物线（）（是实数且）与轴的正半轴分别交于点、（点位于点的左侧），与轴的正半轴交于点（）点的坐标为 ，点的坐标为 （用含的代数式表示）；（）请你探索在第一象限内是否存在点，使得四边形的面积等于，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（

39、）请你进一步探索在第一象限内是否存在点，使得，和中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。 分析：（）令，即（），解关于的一元二次方程即可求出，横坐标，令，求出的值即的纵坐标；（）存在，先假设存在这样的点，使得四边形的面积等于，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形设点的坐标为（，），连接，过作轴，轴，垂足分别为、，利用已知条件证明，进而求出和的值，从而求出的坐标；（）存在，假设存在这样的点，使得，和中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使与相似，只能，即轴；要使与相似，只能或；再分别讨论求出满足题意的坐标即可解答：解

40、：（）令，即（），解得：或，是实数且，点位于点的左侧，点的坐标为（，），令，解得：，点的坐标为（，），故答案为：（，），（，）；（）存在，假设存在这样的点，使得四边形的面积等于，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形设点的坐标为（，），连接则四边形，过作轴，轴，垂足分别为、，四边形是矩形，即由解得由得，即，解得符合题意的坐标为（，）；（）假设存在这样的点，使得，和中的任意两个三角形均相似要使与相似，只能，即轴只能此时，由轴知轴要使与相似，只能或（）当时，由得：（）解得：点的坐标是（，）（）当时，即又，即解得：，此时符合题意，点的坐标是（，）综上可知，存在点（，）或（，），使得，和中的任意两个三角形

41、均相似点评：此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想（泉州）如图，为坐标原点，直线绕着点（，）旋转，与经过点（，）的二次函数的图象交于不同的两点、（）求的值；（）通过操作、观察，算出的面积的最小值（不必说理）；（）过点、作直线，与轴交于点，试问：在直线的旋转过程中，四边形是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状考点：二次函数综合题。 专题：压轴题；动点型；数形结合。分析：（）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定

42、系数法求得的值（）该小题应从三角形的面积公式入手分析，首先要选取合适的底和高；在中，的长是不变的，那么若以为底，、到轴的距离和为高，即可得到的面积先设点横坐标，然后根据抛物线、直线的解析式求出点横坐标，通过不等式的相关知识即可解出、到轴距离和的最小值（）判断四边形的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断首先设出、的坐标，然后根据点、求出直线的解析式，进而表示出点的坐标，然后再通过直线以及、三点坐标，求出、两点坐标之间的关联，进而判断该四边形是否符合梯形的特征（需要注意的是：判定梯形的条件：一组对边平行且另一组对边不平行）解答：解：（）抛物线经过点（，），解得（）依题意，设抛物线上的点，（，）、（

43、，）（）过点的直线：经过点、，得：（）（），化简得：；由上式知：当，即（、关于轴对称）时，的面积最小；即轴时，的面积最小，且的面积最小为（）连接，若与轴不平行（如图），即与轴不平行，依题意，设抛物线上的点，（，）、（，）（）直线：过点，得，即令得：，同理，由（）得：点与的横坐标相同，轴，即，又与不平行，四边形是梯形，据抛物线的对称性可得（）结论相同故在直线旋转的过程中：当与轴不平行时，四边形是梯形；当与轴平行时，四边形是正方形点评：题目考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、不等式的应用、三角形面积的解法、梯形的判定等知识，综合性强，难度较大注意在判定梯形时不要遗漏“一边不平行”的

44、条件（绍兴）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索【思考题】如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？（）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点将向外移动米，即，则，而，在1C中，由得方程 ，解方程得 ， ，点将向外移动 米（）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑米”改为“下滑米”，那么该题的答案会是米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题考点

45、：勾股定理的应用；一元二次方程的应用。 专题：探究型。分析：（）直接把、的值代入进行解答即可；（）把（）中的换成可知原方程不成立；设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米代入（）中方程，求出的值符合题意解答：解：（）（），故答案为；，（舍去），（）不会是米，若，则，该题的答案不会是米有可能设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，则有（）（），解得：或（舍）当梯子顶端从处下滑米时，点向外也移动米，即梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等点评：本题考查的是解直角三角形的应用及一元二次方程的应用，根据题意得出关于的一元二次方程是解答此题的关键（广州）如图，在平行四边形中，为的中点，于，设（

46、）（）当时，求的长；（）当时，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由连接，当取最大值时，求的值考点：平行四边形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。 专题：代数几何综合题。分析：（）利用角的正弦值列式计算即可得解；（）连接并延长交的延长线于点，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据、的长度可得，然后利用等边对等角的性质可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后推出，从而得解；设，在中，利用勾股定理表示出，表示出的长度，在中，利用勾股定理

47、表示出，从而得到，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答解答：解：（），即，解得；（）存在，使得理由如下：连接并延长交的延长线于点，为的中点，在平行四边形中，在和中，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点是的中点，在中，又（对顶角相等），因此，存在正整数，使得；设，在中，在中，（），（中已证），当，即点是的中点时，取最大值，此时，所以，点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，另外根据数据的计算求出相等的边长也很重要（厦门）已知：是的外接圆，为的直

48、径，弦交于，（）求证：；（）过点作直线，交的延长线于点，若，则结论“一定是的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例考点：切线的判定；垂径定理；圆周角定理。 专题：几何综合题。分析：（）连接根据，证出，可得，于是，故（）连接，不正确，可令，据此推出，从而证出时“不一定是的切线”解答：证明：（）连接，又，（）连接，令，则，于是，则（），于是，故此时不是的切线同理，当时，不一定是的切线点评：本题考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理，作出辅助线、是解题的关键（德州）如图所示，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，使点落在处，点落在处，交于，折

49、痕为，连接、（）求证：；（）当点在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论；（）设为，四边形的面积为，求出与的函数关系式，试问是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。 分析：（）根据翻折变换的性质得出，进而利用平行线的性质得出即可得出答案；（）首先证明，进而得出，即可得出；（）利用已知得出，进而利用在中，（），利用二次函数的最值求出即可解答：（）解：如图，又，即又，（）的周长不变为定值证明：如图，过作，垂足为由（）知，又，又，又，的周长为：（）如图，过作，垂足为，则又为折痕，又，在中，（）解得，又四边形与四边形全等，即：配方得，当时，有最小值点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键（北京）操作与探究：（）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点的对应点点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，如图，若点表示的数是，则点表示的