振动理论-第二章-模拟题解答

1、第二章习题2 1一重块W =100N，支承在平台上，如题 2-1图所示。重块下联结两个弹簧，其刚度均为k =20N / cm。在图示位置时，每个弹簧已有初压力F0 =10N。设将平台突然撤去，则重块下落多少距离?解答：由题可知：弹簧在初始时的形变设重块将下落h m，L佳L0 -k则：%5cm20W.h =2k(h L)2 - L2h = 4cm2-3.求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为疋：d,剪切弹性摸量为 G,两端固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为解：以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程惯性力矩:恢复力矩:GIpI1旦l2由动静法得GIp l

2、i I2ji1i2jrGIpI1旦l2a =0因此Ip :d432co2-4 一均质等直杆 AB，重为 W，用两相 同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。由以上各式得 d4G l1 l2232JI1I2线长为丨，两线相距为2a。试推导AB杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。L惯性力矩:J d恢复力矩:2Fa其中:F =TLcos =T JL则：J 八 2Fa =0Wa：即：J0l又有:J=(2b ) =mb2123-0则：a-=b固有频率:2-5有一简支梁，抗弯刚度 EI=2E10 N c怦，跨度为L=4m，用题图(a),(b)的两种方式在梁 跨中连接一螺旋弹簧和重

3、块。弹簧刚度K=5kN/cm，重块质量 W=4kN,求两种弹簧的固有频率。解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度mg(-)3EImgl348EIkimg 48EI厂(a) 图可以看作弹簧和杆的并联ke厂 k ki48EIl3弹簧质量系统的固有频率fi已知 EI=2E10 N c m2, K=5kN/cm, W=4kN代入数据得f厂11.14Hz(b) 图可以看作弹簧和杆的串联ke2k*k1k K所以代入数据得 f厂 4.82Hz2 9 一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了 50%。试求系统的相对阻尼系数 。【解】 由（2-33）式得2二 e5(两端取对数，得ln

4、2=5( 6) = 10二 -2 2In 2 匚 ln 2” ” ，则：2 一10二1 - 2 一 100二2二 -0.0221210列出题2 10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动 频率。解：系统运动时的受力如上所示由动静法原理可得：A = 0 = mx2丄 c a m x l2a丄bl c x a k 一 x b = 0 llk b2-x 2 x = 0l22 cakb2令Ce l2，Ke_ l2则.二Ce，W2= Ke= W = bk2m wmlm振动频率:Wd = . 1 -2W2wml2；12%廿-九2211如题2 1图所示轴承，轴的直径d = 2cm,丨=40cm剪切弹性模量G

5、 = 8*106 N /cm2 。圆盘饶对称轴的转动惯量为J = 10kN cm s2 ,并在M =5二si n：2（kN cm）的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。2-11解：惯性力矩恢复力矩2呂l5:所以，振幅微分方程B =GI p22 p - J ( 2 2) l已知 d =2cm,l =40cm , G=8*106N/cm2 , J =10kN cm 代入数据得B=0.067r2ad2 12已知一弹簧系统，质量块重W =196N，弹簧刚度k =20N/Cm，作用在质量块上的力为F =16sin19t，而受阻力为R = 2.56v。F、R的单位均为N , t的单位为s, v的单位为cm/

6、s。求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2）考虑阻力时，质量块的位移和放大因子。解：系统运动方程为：仇.ex .kxFoSi系统的稳态响应：X2(t)J0泅 0k、(2)2 (2 J2其中:=1.9019豹：20x102 x9.8V 196尸eeQ 2m 400J*-=aretan( _ )1 - 忽略阻力时，即，e =，贝y =0，=0放大因子:1(1 K2)2 +(20)= 0.383x2(t)=旦 Esina0t = 0.306sin 19t则系统的响应为：k(2)考虑阻力时，则：e=：2.56N s/em.rad放大因子：即-0.751.(1 _ 2)2 (2 )2= 0.2

7、8x2 (t)=互sin(%t ) = 0.224sin(19t 0.75)黏性阻则系统的响应为：k213 一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为2s=，弹簧刚度为k=30N/cm ,尼系数e二N .s/cm。求在外力F =20cos3t( N)作用下的振幅和相位角。解答:由题可知:15*32m 2k2*30*1.5二 0.5由于F0 =20N0.342emk 一(1J )2 (2 )22二 arcta n( 2) =129481 九2-14试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件t =0 , x0 = X6=0和质量块上受有F = F0 sin t时的响应。解：阻尼较小时，即:1，系统响应为x =

8、e屯(Ceos 灼 dt +Ds in mdt) +Bsi n(灼 0t )x = Ecse 电(Ccosct + Dsi neodt) +e(Csi ncodt + D cosodt) + Bco0cos0t )其中,F/k.(1 - 2)2 (2 )2-arcta n2代入初始条件 X)= x0=0，解得BC = Bsin :, D (sin 丨：0cos )因此，系统响应为x= fFo/keYsincoscodt + 丄sin co0cos)sin codt +sin(国0t ).(1 -2)2(2)2d215 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg，弹簧

9、的总刚度k=700N/cm。电动机轴上有一偏心质量为1kg，偏心距离e=10cm，电机转速n=2000r/min，求平台的振幅。解：由公式 =2二n得c2兀汉2000200兀0 = 2 二 n =rad /srad /s603该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为：Mx ex kx = me sin st式中，M =100kg,m = 1kg, e =10cm, c = 0圆频率= J700 = ad /s ()频率比200= : 79.1613.7设稳态响应x =Bsin( t - )则,由公式B =m得，（ =0）M J（E页）B = 0.102cm2-17 写出题2-17图所示系统

10、的振动微分方程，并求出稳态振动的解。x2 (t)二 Bsin( otka题2-17图解：系统运动微分方程为：mxcxkx = kasi not方程的解可表示为：X（t） =x1（t） - x2（t）其中x2（t）为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为:(k - m 烏2 (C o)22 m% 令时0 /=丸，则k2C0 =2k，从而得、(1 - 2)2 (2 )2于是得系统的稳态响应为:相应地求得相位角:X2(t)二 arcta nasin( ot J ).(1 _ 2)2 (2 )22-20试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼 系数和稳态振动的振

11、幅。将x2 （t）及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得:” mx = _cx _ k(x _ xs) 解：兀=a sin(wot)得 mx cx kx 二 kasin wt、M =0; ml = m 21 ； x = kr ；则 方程转化为 4mx cx kx = 2kasin w0tk1，Wm = 一 Wcm2B =2B=1- 2)2 )2解：先将F t分解为各简谐激励，并计算傅立叶系数y2-21 一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。试求其稳定振动的响应。2 t a0 F t cosj 0tdt2_T2. j二sin -j 二 23T由图可知，激励的均值= 02

12、2 T224 cos j 0tdtt4 cosj 0tdt 二 3T cos j 0tdtT 4.3j二-sin22 t3Tbj =t 0 F t cosj 0tdt2T23T2t=一sin j%tdt -一 T4 sin j%tdt +(3t sin j%tdt TT4T42 j 二 3j二coscosj二.22=0QOF t 八 acosj 0tj4444cos 0tcos3 0tcos5 0t 11(TtJEJE= 1.27cos 0t-1.27cos3 0t 1.27cos5 0t |(.系统的响应为odX八j 4aj cosj 0tk 1 - ；1.27 cos3 ot 1.27 c

13、os5 ot 1 一32 1 -520.16门cos3 ot k0.05kcos5 ot 11 (2 22 一弹簧质量系统如题 2 22图所示的激振里作用下作强迫振动。试求其稳态振动的 响应。解：周期T=2 2 二2Foo tF( t)= 2Fo，o，t)-90(tTI 3 -r K-o由图知:齐02 tF t cos jw0tdt = 02 t=T 0 f t sin jwotdt=T o4 Fo2Wotsin jwotdtt4 Fajbj3T-2w0 兀T2w02 兀0(-t)sin jw0tdt + 3T F0(t 一)sin jw0tdt +4兀w0兀w02w02 二4二0j =2,4,6山川j 3,5|H川=系统响应：j -1x= f bj sin jwt=8F0