材料力学（路桥）第5章截面图形的几何性质

1、整理课件51 静矩和形心静矩和形心52 惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积53 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理54 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩截面图形截面图形的几何性质的几何性质5-1 静矩和形心静矩和形心一、静矩：一、静矩：(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。ddzAyASy ASz AdAyzzy二、形心：二、形心：(): iiiiy AyAz AzA正负面积法公式累加式ziiyiiSAyA ySAzAzdAyzzy等厚均质ddmmy mymz mzm质心：ddddAAzy

2、AAytAy ASt AAAztAz ASt AAA等于形心坐标yz(等厚均质板的质心与形心重合。)12121235 10 110 20.310 11080 10iiy Ay Ay AyAAA 60 10 11034.710 11080 10z例例1 试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。1. 用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)：801201010801201010yzC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2. 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)1212125 ( 70 110) 20.3120 8070 110iiy Ay Ay AyAAA 图(b)C1（

3、0,0）C2（5,5）C2负面积C1yz1212125 ( 70 110) 20.3120 8070 110iiz Az Az AzAAA 5-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：一、惯性矩：（与转动惯量类似）与转动惯量类似） 是面积与它到是面积与它到轴轴的距离的平方之积。的距离的平方之积。 22ddyAzAIzAIyAdAyzzy二、极惯性矩：二、极惯性矩： 是面积对是面积对极点极点的二次矩。的二次矩。2dpyzAIAIIdAyzzy三、惯性积：三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。dyzAIyz A如果如果 y 或或 z 是对称轴，则是对称轴，则Iyz =0整理课

4、件464zDI常见截面的惯性矩：（矩形，圆形，回形框，圆环形）zDzhbbBhHz312zbhI331212zBHbhIzDd446464zDdI5-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理一、平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）CCybyzaz以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图。0yCCSAy22222d () d (2)d 2CCyACACCAyyIzAzaAzazaAIaSa A2yyCIIa AdAyzzybaCyCzC注意注意: C点必须为形心点必须为形心2CyyIIa A2CzzIIb AC Cyzy zIIabA2()Cpp

5、IIabA平行移轴公式：平行移轴公式：例例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。B 建立形心坐标如图，求图形对形心轴的惯性矩。4264ccpyzIdII244452641664cAByddddIIAAdyczcO4232cccpyzydIIII圆5-4 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩11c o ssin-sinc o syyzzyz一、一、 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理dAyzzyy1z1y1z12112222222d (sincos

6、) d (sinsin2cos)d sinsin2cosyAAAzyzyIzAyzAyyzzAIII1cos2sin222yzyzzyzIIIIII1 1sin2cos22yzy zyzIIII11yzyzIIII1cos2sin222yzyzyyzIIIIII二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1. 主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到 = 0 时；恰好有0 000(sin 2cos2)02yzy zyzIIII 与 0 对应的旋转轴y0、z0 称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩称为主惯性矩。02tg2yzyzIII 0022 ()22yyzyzyzzIIII

7、III主惯性矩：2. 形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩。02tg2CCCCy zyzIII 0022()22CCCCCC CCyyzyzy zzIIIIIII形心主惯性矩：3.求截面形心主惯性矩的方法建立坐标系计算面积和静矩求形心位置建立形心坐标系；求：IyC ， IzC ， IyCyC求形心主轴方向 0 求形心主惯性矩iizyiiz ASyAASy AzAA0022 ()22CCCCCC CCyyzyzy zzIIIIIII02tg2CCCCy zyzIII 例例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(bd)解： 建立坐标系yoz如图。求形心位置（负面积法）。建立形心坐标系yCCzC；求：IyC ， IzC ， I yCzC 22200240.17734iiCiiCy AyAAddz AzddAd db2dyzOyCzCCCCCyyyIII圆矩34224221.5(2 )3( 0.177 )(0.50.177 ) 1260.68544ddddddddd344(1.5 )20.5131264CCCzzzdddIIId圆矩C 0 , CCCC