场函数的三种基本微分运算

1、CQU1 1、场函数的三种基本微分运算、场函数的三种基本微分运算 标量场的梯度标量场的梯度f ，矢量场的散度，矢量场的散度F 和和F 旋度简称旋度简称 “三三度度” 运算。运算。 2 2、场函数的二阶运算、场函数的二阶运算 （5）矢量场旋度的旋度）矢量场旋度的旋度 (F)（1）标量场梯度的散度）标量场梯度的散度 f（2）标量场梯度的旋度）标量场梯度的旋度 f（3）矢量场散度的梯度）矢量场散度的梯度 (F)（4）矢量场旋度的散度）矢量场旋度的散度 (F)1.5 场函数的高阶微分运算场函数的高阶微分运算CQU两个重要的恒等式两个重要的恒等式 0f ()0 F3 3、场函数的拉普拉斯运算、场函数的拉

2、普拉斯运算ff2所以有所以有拉普拉斯算符拉普拉斯算符 在直角坐标系中在直角坐标系中 2222222zfyfxfff2222222zyx 标量场标量场1.5 场函数的高阶微分运算场函数的高阶微分运算 CQUFFFFF2)()()()()()(2FFF因为因为 所以所以 2 2作用于矢量场将得到作用于矢量场将得到一个新的矢量场一个新的矢量场 算符算符 2 2 作用于矢量场的结果将得到作用于矢量场的结果将得到一个新的矢量场一个新的矢量场。zzyyxxFFF2222eeeF在直角坐标系中在直角坐标系中 1.5 场函数的高阶微分运算场函数的高阶微分运算 CQU4、两个与算符、两个与算符 2 有关的恒等式

3、有关的恒等式 相对坐标标量函数相对坐标标量函数)(rrfff22 相对位置矢量相对位置矢量 R 及其模及其模 R20R012R2300 RRR233110RRRR RR因为因为 1.5 场函数的高阶微分运算场函数的高阶微分运算 CQU例例 3 计算计算 )1(3rr44454544443433433433433113333)1(rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr解解1.5 场函数的高阶微分运算场函数的高阶微分运算 CQU1.5 场函数的高阶微分运算场函数的高阶微分运算 作业：作业：1.13（1）CQU1 1、高斯散度定理（、高斯散度定理（GaussGauss）证明：证明：1d

4、diNiSSiFSFS1ddiNisiSiiVVFSFS上式可写成上式可写成SV12(a)(a)(b)(b)为证明高斯定理将区域细分为证明高斯定理将区域细分12en2en11.6 矢量场的积分定理矢量场的积分定理d()dSVVFSF在闭面在闭面S上及上及S所包围的区域所包围的区域V内，只要矢量场内，只要矢量场F(r)有有一阶连续偏导数一阶连续偏导数，则，则F(r)在在S上的闭合面积分等于它上的闭合面积分等于它的散度在的散度在V内的体积分内的体积分 CQU 该公式表明了区域该公式表明了区域V 中场中场F与边界与边界S上的场上的场F 之间的关系。之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。矢量函

5、数的面积分与体积分的互换。1.6 1.6 矢量场的积分定理矢量场的积分定理2 2、斯托克斯定理、斯托克斯定理(Stockes)(Stockes)ddlSFlFS斯托克斯定理斯托克斯定理：矢量：矢量F(r)沿任一闭合路径沿任一闭合路径l的环量，等于的环量，等于F(r)的的旋度在以该闭合路径界为边界的任一曲面旋度在以该闭合路径界为边界的任一曲面S上的通量上的通量 取取 的极限，可得的极限，可得0iVN,0110dddlimlimdiiiiNiiSSiiSNViiiiVVVVVVVFSFSFSFCQUii1iddiNlliSSFlFl证明：证明：i10iS01ddlimdlim()d() diiii

6、NlilNiiSliiinSSSSSSSFlFlFlFeFS取取 的极限，可得的极限，可得0i,SNSlFen sili上式可写成上式可写成1.6 1.6 矢量场的积分定理矢量场的积分定理CQU矢量函数的线积分与面积分的互换。矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域该公式表明了区域 S 中场中场F 与边界与边界 l 上的场上的场F 之间的关系之间的关系在电磁场理论中，在电磁场理论中，Gauss Gauss 定理和定理和 Stockes Stockes 定理定理是两个非常重要的公式。是两个非常重要的公式。1.6 1.6 矢量场的积分定理矢量场的积分定理ddlSFlFSCQU3 3、格林公式、格林公式)()()(rrrF设设() d()dSVVS应用高斯定理应用高斯定理nenn)(式中，式中，是是 在在S 面上的外法向导数。面上的外法向导数。2)()(格林第一公式格林第一公式2()()SSVddSdVnS（1）1.6 1.6 矢量场的积分定理矢量场的积分定理CQU 将将 和和 的位置交换，得的位置