中考数学思维方法讲义【第11讲】

1、状元廊数学思维方法讲义之十一 年级：九年级 §第11讲 圆的有关概念 “圆”是现实世界中常见的图形，是初中几何的最后一章，从整个初中几何的学习来看，它属于“提高阶段”。在知识方面，不仅需要学好本章的知识，而且还需要能综合运用前面学过的知识，在数学能力方面，不仅要掌握好以前学习过的折叠、平移、旋转、推理证明等方法，还要具备运用这些知识和方法来继续研究圆的有关性质，并解决一些实际问题。另外，圆的许多性质，在理论上和实践中都有广泛的应用，所以，“圆”这章在初中几何中占有非常重要的地位。【知识引导】§ 圆的有关概念1圆：平面上到_ 的距离等于_ 的所有点组成的图形叫做圆，其中，_

2、为圆心，_ 为半径_确定圆的位置，_确定圆的大小。2弧：圆上任意两点间的部分叫做_ ，简称弧，大于_ 的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧3弦：连接圆上任意两点的线段叫做_ ，经过圆心的弦叫做_ 。4能够重合的两个圆叫做_ ，同圆或等圆的_ ，在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做_ 。5点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d，（1）点在圆外，即d_r ；(2) 点在圆上，即d_r；(3) 点在圆内，即d_r.§圆的有关性质：1圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心2垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：

3、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 垂径定理和推论可以结合起来表述为：对于一个圆和一条直线说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具备其他三个：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧【精彩知识】考点1: 圆的有关概念【例1】1. 有下列四个命题：直径是弦；过圆心的线段是直径；等弧一定是同圆中的弧；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（ ） A4个 B3个 C 2个 D 1个2.若圆的半径是5cm，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，2），则点P与O的位置关系是（ ）A.点P在O外 B.点P在O内 C.点P在O上 D.点P在O外或O上3.O的半径

4、为5cm，一点P到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP长为 。变式训练: 1有4个命题: 直径相等的两个圆是等圆 长度相等的两条弧是等弧圆中最大的弦是通过圆心的弦 一条弦把圆分为两条弧,这两条弧不可能是等弧,其中真命题是 。2矩形ABCD中，AB8，点P在边AB上，且BP3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内考点2 垂径定理的理解【例2】下列命题正确的有 。（1）过弦的中点的直径平分弦所对弧； （2）过弦所对的两条弧的中点的

5、直线必过圆心； （3）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧； （4）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧；（5）经过弦的中点的直径一定垂直于弦； （6）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 考点3 垂径定理的基本运用(基本计算题型)【例3】如图，已知在O中，AB、CD两弦互相垂直于E，AB被分成4cm和10cm两段，求：（1）求圆心O到CD的距离；（2）若O的半径为8cm，求CD的长。【例4】如图，等腰ABC内接于半径为5cm的O，ABAC，tanB。求：（1）BC的长；（2）AB边上高的长。【例5】如图，O的直径AB和弦CD相交于E，若AE2cm，BE6cm，C

6、EA300，求：（1）CD的长；（2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。变式训练:1、如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则O的半径是 2、如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,则AED= . 第1题图 第2题图 第3题图3、如图，RtABC中，AC=，BC=1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP= 。4、如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD，BD，求O的直径。 考点4 垂径定理的运用(综合推理与计算题型)【例5】如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上， CD平行于AB，并与弧

7、AB相交于点M、N（1）求证：CM=DN；（2）若OA3，AC2，求弦MN的长【例6】如图, O的直径为MN=20cm, 弦AB=16cm, MCAB于C, NDAB于D.(1) 求证：AC=BD； (2) 求NDCM的值。变式训练:已知如图，AB为O的直径，CD是弦，BECD于E，AFCD于F交O于点N，且BE=FN，连结OE，OF.求证：OEOF； CEDF。【思维拓展】【例7】如图，AB是O的直径，P为AB上的一点，弦MN过点P, NPB=45°，（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；（2）当P在AB上运动时，保持NPB的度数不变，试问：的值是否改变？若不变，请求其值；若改变

8、，请求出其值的取值范围。 变式训练:如图，O1与O2相交于A、B两点，过A任作一直线与O1交于M，与O2交于N.(1) 问什么时候MN最长？为什么？(2) 再过A作直线EF与O1交于E，与O2交于F，O1的半径为5，O2的半径为，AE=6，AF=8，求MN的长。 【例8】如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（1，0），在直线上有一点P，使ABO与ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出

9、点E的坐标；如果不存在，请说明理由、【课后测试】1、把一小球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米2、如图所示，若O的半径为13cm，点P是弦上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦 的长为_cm3、如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 1题图 2题图 3题图 4、如图，O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，则OC的长为 5、如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为 。 4题图 5题图 6题图5、半径为4的O中有弦AB，如右图，以AB为折痕劣弧恰好经过圆心O，则弦AB的长为 。6、已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，ABCD于 M，且AB=8cm，则AC的长为 7、P是O内的一点，O的半径为15，P点到圆心的距离为9，通过P点、长度是整数的弦的条数共有 .8、一座桥的桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m，桥拱最高处离水面4m （1）求桥拱半径； （2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少9、如图，O直径为25，点P为弦AB的中点，弦C