微积分：2-4 极限运算法则

1、1极限运算法则极限运算法则求极限方法举例求极限方法举例小结小结 思考题思考题 作业作业2.4 极限运算法则极限运算法则第第2 2章章 极限与连续极限与连续无穷小运算法则无穷小运算法则2.4 极限运算法则极限运算法则2在同一过程中在同一过程中, 有限有限个无穷小的个无穷小的证证时时是当是当及及设设 x , 0 定理定理2.142.14代数和仍是无穷小代数和仍是无穷小. .,|1时时当当Nx ,|2时时当当Nx ,max21NNN ,|时时当当Nx | , 0 , 01 N;2| .2| | 取取恒有恒有恒有恒有恒有恒有的两个无穷小的两个无穷小,所以所以 22 , 02 N,|, 0, 0时时当当

2、XxX .)( xf恒有恒有0)(lim xfx一、无穷小运算法则一、无穷小运算法则).( x3,时时如如 n11之和为之和为个个但但nn注注,1是无穷小是无穷小n不是无穷小不是无穷小.无穷多个无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷小的代数和未必是无穷小. .2.4 极限运算法则极限运算法则4证证,),(10内有界内有界在在设函数设函数 xUu, 0, 01 M则则,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx , 0 定理定理2.152.15 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .,|010时时使得当使得当 xx.|Mu 恒有恒有, 02 ,|020时时使得当使得当

3、 xx.|M 恒有恒有,min21 取取 | uuMM 则当则当,|00时时 xx恒有恒有所以所以所以所以, .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大5,0,时时当当如如x都是无穷小都是无穷小.推论推论2.32.3的乘积是无穷小的乘积是无穷小;推论推论2.42.4推论推论2.52.5,1sinxxxx1arctan2在同一过程中在同一过程中, 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个有限个无穷小的乘积也是无穷小无穷小的乘积也是无穷小.有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大定理定理2.162.16 若若f

4、 (u)是极限过程是极限过程1中的无穷小中的无穷小,),(xgu 当当 x满足极限过程满足极限过程2时时, 相应的相应的)(xgu 满足极限过程满足极限过程1, 则则f (g(x)是极限过程是极限过程2中的无穷小中的无穷小.6定理定理2.17则则设设,)(lim,)(limBxgAxf 证证,)(limAxf ,)( Axf(1);)()(lim)1(BAxgxf ;)()(lim)2(BAxgxf .0,)()(lim)3( BBAxgxf其中其中泛指任一种极限泛指任一种极限)(limxf.)( Bxg. 0, 0 其中其中无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系.)(limBxg 二、

5、极限运算法则二、极限运算法则因为因为所以所以2.4 极限运算法则极限运算法则7即常数因子即常数因子C可以提到极限符号外面可以提到极限符号外面. nxf)(lim 0由无穷小运算法则由无穷小运算法则, 得得 )()(xgxf)(lim)(limxfCxCf nxf)(limBA )(lim)(limxgxf ;)()(lim)2(BAxgxf (2)的特例是的特例是:所以所以 BA BA )()(limxgxf2.4 极限运算法则极限运算法则推论推论2.72.7推论推论2.82.8(C是常数是常数)(n是正整数是正整数)8注注,limAxnn 那末那末 )(lim)1(nnnyx,limBynn

6、 如果如果 nnnyxlim)2( ,0, 2 , 10)3(时时且且当当 Bnyn nnnyxlim;BA ;BA .BA设有数列设有数列xn和和yn,2.4 极限运算法则极限运算法则对数列也有如对数列也有如定理定理2.17的极限运算法则的极限运算法则:9 注意注意应用四则运算法则时应用四则运算法则时, 参加运算的是参加运算的是有限有限个函数个函数, 商的极限要求分母的极限不为商的极限要求分母的极限不为0. 不要随便参加运算不要随便参加运算, 因为因为 不是数不是数,它是它是表示函数的一种性态表示函数的一种性态.要注意条件要注意条件:它们的极限都存在它们的极限都存在,2.4 极限运算法则极限

7、运算法则10解解)35(lim22 xxx3lim5limlim2222 xxxxx3limlim5)lim(2222 xxxxx32522 3 . 4 34223 例例3542lim232 xxxx求求4limlim2232 xxx)35(lim22 xxx 3542lim232xxxx三、求极限方法举例三、求极限方法举例因为因为, 0 2.4 极限运算法则极限运算法则11 小小 结结,)()1(110nnnaxaxaxf 设设nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf ,0)(,)()()()2(0 xQxQxPx

8、f且且设设)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 则有则有则有则有2.4 极限运算法则极限运算法则12解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用!)14(lim1 xx, 03 1432lim21 xxxx. 030 由由无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系,例例3214lim21 xxxx求求3214lim21 xxxx. 得得因为因为又因为又因为所以所以2.4 极限运算法则极限运算法则13解解例例332lim23 xxxx求求,3时时x)3()1)(3(lim3 xxxx)1(lim3 xx)00(

9、型型 消去零因子法消去零因子法再求极限再求极限.332lim23 xxxx 方方 法法, 3 x. 4 分子分子, 分母的极限都是零分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子先约去不为零的无穷小因子2.4 极限运算法则极限运算法则14例例53123lim32 xxxxx求求解解,时时 x)(型型 3x. 010 无穷小因子分出法无穷小因子分出法分子分子, 分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大. 方方 法法先用先用去除分子分母去除分子分母,分出无穷小分出无穷小,再求极限再求极限.3232531123limxxxxxx 53123lim32 xxxxx先将分子、分母同除以先将分子、分母同除以

10、x 的最高次幂的最高次幂,无穷小分出法无穷小分出法以分出无穷小以分出无穷小,再求极限再求极限. x求有理函数当求有理函数当的极限时的极限时,2.4 极限运算法则极限运算法则15), 0, 0(00为非负整数为非负整数nmba nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim 小小 结结 mn 00bamn 0mn )sin3cos2(32352lim53xxxxxxx 求求解解32352lim53 xxxxx|sin3cos2|xx )sin3cos2(32352lim53xxxxxxx. 06 , 0 所以所以因为因为2.4 极限运算法则极限运算法则16例例 )12)(12(15313

11、11limnnn求求解解.21 先作恒等变形先作恒等变形,和式的项数随着和式的项数随着n在变化在变化,再求极限再求极限.使和式的项数固定使和式的项数固定,原式原式 = 121121513131121limnnn 121121limnn不能用运算法则不能用运算法则. 方方 法法2.4 极限运算法则极限运算法则17例例)13(lim22 xxxx求求解解)(型型 原式原式.23 “根式转移根式转移”法法化为化为 型型 不满足每一项极限都存在的条件不满足每一项极限都存在的条件, 不能直接不能直接应用四则运算法则应用四则运算法则. 分子有理化分子有理化)(型型 1313lim22 xxxxx2.4 极

12、限运算法则极限运算法则18 1211lim)1(21xxx求求解解 原式原式 =121lim21 xxx)1)(1(1lim1 xxxx.21 503020)12()23()32(lim)2( xxxx求求解解 原式原式 =.2330 )(lim)3(xxxxx 求求)(型型 )(型型 )(型型 解解 原式原式 = xxxxxxxlim.212.4 极限运算法则极限运算法则19设函数设函数y = f g(x)是由函数是由函数y = f (u)与函数与函数 u = g(x)复合而成复合而成,)()(0 xUxgfy在在 ,),(00时时当当 xUx 有定义有定义,)(lim00uxgxx 若若,

13、)(lim0Aufuu 且存在且存在, 00 有有则则)(lim0ufuu )(lim0 xgfxx.A 定理定理2.18 (复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)证证 Aufuu )(lim0,0 ,0 ,00 uu当当 有有.)( Auf0)(lim0uxgxx ,0 ,01 .)(0 uxg对上述对上述,010 xx当当 有有 ,min10 取取,00时时当当 xx, 故故 ,min10 取取 Axgf)(证证及及同时成立同时成立, 即即Auf )(. ,)(0uxg 0)(uxg0)(0 uxg0)(uxg 02.4 极限运算法则极限运算法则20注注定理中定理中, )(lim0

14、 xgxx0u把把 或或 )(limxg 而把而把.)(limAuf 0uu 设函数设函数y = f g(x)是由函数是由函数y = f (u)与函数与函数 u = g(x)复合而成复合而成,)()(0 xUxgfy在在 ,),(00时时当当 xUx 有定义有定义,)(lim00uxgxx 若若,)(lim0Aufuu 且存在且存在, 00 则则)(lim0ufuu )(lim0 xgfxx.A 定理定理2.18 (复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则),)(0uxg 有有 x u2.4 极限运算法则极限运算法则2.4 极限运算法则极限运算法则21)(xgu )(lim0 xgfxx)

15、(lim00 xguxx 化为化为).(lim0ufuu求求如果函数如果函数f (u) 和和g(x)满足满足该定理的条件该定理的条件,那么作代换那么作代换可把求可把求)(lim0ufuu )(lim0 xgfxx.A u22例例解解,)1(61xu 令令, 1u11lim231 uuu原式原式 =11lim21 uuuu.23 这种用变量代换方法求极限这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法实质就是复合函数求极限法., 0 x则则故故1111lim0 xxx求求32.4 极限运算法则极限运算法则23推论推论, 0)(lim,)(lim BxgAxf若若例例xxxasin0lim例例

16、xxx0lim0sin xa 0 x .)(lim)(AxfBxg 则则 .0 a .00 x极限运算法则极限运算法则242. 极限求法极限求法: 对某些不能直接利用四则运算法则的极限对某些不能直接利用四则运算法则的极限,有时可采用下述方法有时可采用下述方法:(1) 利用利用无穷小与无穷大互为倒数的关系无穷小与无穷大互为倒数的关系;(2) 利用利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的(4) 无穷小因子分出法无穷小因子分出法;(3) 消去零因子法消去零因子法;四、小结四、小结1. 极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;小的性质小的性质;2.4 极限

17、运算法则极限运算法则25(6) 直接利用无穷大的概念判断直接利用无穷大的概念判断;(5) 根式转移法根式转移法;(7) 利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.为了对求极限的方法有全面的了解为了对求极限的方法有全面的了解, 指出还指出还(8) 利用夹逼定理利用夹逼定理;(11) 利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换;有下述方法有下述方法:(10) 利用两个重要极限公式利用两个重要极限公式;(9) 对递归数列先证明极限存在对递归数列先证明极限存在(常用到常用到“单调有单调有界数列有极限界数列有极限”的准则的准则), 再利用递归关系求出极限再利用递归关系求出极限;2.4 极限运算法则

18、极限运算法则26(12) 数列极限转化为函数极限数列极限转化为函数极限;(14) 利用导数的定义求极限利用导数的定义求极限;(13) 利用连续函数的性质利用连续函数的性质;(15) 利用洛比达法则利用洛比达法则;(16) 利用泰勒公式利用泰勒公式;(17) 化为定积分化为定积分.2.4 极限运算法则极限运算法则27思考题思考题 在某个过程中在某个过程中, )()(xgxf 解答解答没有极限没有极限.假设假设)()(xgxf 由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )(xg必有极限必有极限,与已知矛盾与已知矛盾, 故假设错误故假设错误.)()(xgxf )(xf 有极限有极限, 为什么？为什么？(1)若若f (x)有极限有极限, g (x)无极限无极限,那么那么是否有极限？是否有极限？2.4 极限运算法则极限运算法则28试确定常数试确定常数a,解解 令令,1xt 则则01 a使使即即. 1 a(2) tatt 3011lim03ta