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1、四边形-平行四边形专题培优训练一选择题(共6小题)1(2011孝感)如图,在ABC中,BD、CE是ABC的中线,BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的中点,连接AO若AO=6cm,BC=8cm,则四边形DEFG的周长是()A14cmB18cmC24cmD28cm2(2011黔西南州)如图,在平行四边形ABCD中,过对角线BD上一点P,作EFBC,HGAB,若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2,则S1与S2的大小关系为()AS1=S2BS1S2CS1S2D不能确定3已知四边形ABCD中,ABCD,AB=CD,周长为40cm,两邻边的比是3:2,则较大边的长度是()A8
2、cmB10cmC12cmD14cm4下列说法中错误的是()A平行四边形的对角线互相平分B有两对邻角互补的四边形为平行四边形C对角线互相平分的四边形是平行四边形D一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形5如图,ABC中,ABC=BAC,D是AB的中点,ECAB,DEBC,AC与DE交于点O下列结论中,不一定成立的是()AAC=DEBAB=ACCAD=ECDOA=OE6如图ABFD,GEAC,EFDG,GFBC,点O为DF与GE的交点,图中共有平行四边形()A3个B4个C5个D6个二填空题(共6小题)7如图,在平行四边形ABCD中,AB=2AD,A=60°,E,F分别是AB,CD的
3、中点,且EF=1cm,那么对角线BD=_cm8如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,PEF=18°,则PFE的度数是_度9如图所示,ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若FDE的周长为8,FCB的周长为22,则FC的长为_10(2011黔西南州)如图,小红作出了边长为1的第1个正三角形A1B1C1,算出了正A1B1C1的面积,然后分别取A1B1C1三边的中点A2B2C2,作出了第二个正三角形A2B2C2,算出第2个正A2B2C2的面积,用同样的方法作出了第3个正A3B3C3,算出第3
4、个正A3B3C3的面积,依此方法作下去,由此可得第n次作出的正AnBnCn的面积是_11在梯形ABCD中,ABCD,M,N分别为上底CD,下底AB的中点,则MN_(AD+BC)(填“”“”“=”)12(2011黑龙江)如图,四边形ABCD中,对角线ACBD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为A1、B1、C1、D1,顺次连接得到四边形A1B1C1D1,再取各边中点A2、B2、C2、D2,顺次连接得到四边形A2B2C2D2,依此类推,这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为_三解答题(共16小题)13如图所示D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中点分别是M,
5、N,直线MN分别交AB,AC于P,Q求证:AP=AQ14如图:AD是ABC的高,M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点(1)求证:ME=DN;(2)若BC=AD=12,AC=13,求四边形DEMN的面积15如图,已知:四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC、AB的中点,直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H求证:AHF=BGF16(2011厦门)如图,在四边形ABCD中,BAC=ACD=90°,B=D(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若AB=3cm,BC=5cm,AE=AB,点P从B点出发,以1cm/s的速度沿BCCDDA运动至A点停止,则从运动开始经过
6、多少时间,BEP为等腰三角形?17已知:如图,D,E,F分别是ABC各边上的点,且DEAC,DFAB延长FD至点G,使DG=FD,连接AG求证:ED和AG互相平分18如图1,已知在ABC中,AB=AC,点P为底边BC上(端点B、C除外)的任意一点,且PEAC,PFAB(1)试问线段PE、PF、AB之间有什么数量关系,并说明理由;(2)如图2,将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”,其它条件不变,上述结论还成立吗?如果不成立,你能得出什么结论?请说明你的理由19如图,ABC中,AD为中线,E为边BC上一点,过E作EFAB交AC于F,交AD于M,EGAC交AB于G(1
7、)如图1,若E与D重合,写出图中所有与FG相等的线段,并选取一条给出证明(2)如图纸,若E与D不重合,在(1)中与FG相等的线段中找出一条仍然与FG相等的线段,并给出证明(3)如图3,若E在BC的延长线上,其它条件不变,作出图形(不写作法),FG=_20在ABC中,AB=AC,点P为ABC所在平面内的一点,过点P分别作PEAC交AB于点E,PFAB交BC于点D,交AC于点F(1)如图1,若点P在BC边上,此时PD=0,猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系,然后证明你的猜想;(2)如图2,当点P在ABC内,猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系,然后证明你的猜想;(3)如图3,
8、当点P在ABC外,猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系(不用说明理由)21平行四边形ABCD中,AB=2cm,BC=12cm,B=45°,点P在边BC上,由点B向点C运动,速度为每秒2cm,点Q在边AD上,由点D向点A运动,速度为每秒1cm,连接PQ,设运动时间为t秒(1)当t为何值时,四边形ABPQ为平行四边形;(2)设四边形ABPQ的面积为ycm2,请用含有t的代数式表示y的值;(3)当P运动至何处时,四边形ABPQ的面积是ABCD面积的四分之三?22如图a、b在平行四边形ABCD中,BAD,ABC的平分线AF,BG分别与线段CD两侧的延长线(或线段CD)相交于点F,G
9、,AF与BG相交于点E(1)在图a中,求证:AFBG,DF=CG;(2)在图b中,仍有(1)中的AFBG,DF=CG成立请解答下面问题:若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长;是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件,使得点E恰好落在CD边上且ABE为等腰三角形?若能,请写出所给条件;若不能,请说明理由23如图(1),BD、CE分别是ABC的外角平分线,过点A作AFBD,AGCE,垂足分别为F、G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N(1)试说明:FG=(AB+BC+AC);(2)如图(2),BD、CE分别是ABC的内角平分线;如图(3),BD为ABC的内角平分
10、线,CE为ABC的外角平分线则在图(2)、图(3)两种情况下,线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由24小杰遇到这样一个问题:如图1,在ABCD中,AEBC于点E,AFCD于点F,连接EF,AEF的三条高线交于点H,如果AC=4,EF=3,求AH的长小杰是这样思考的:要想解决这个问题,应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现可以通过将AEH平移至GCF的位置(如图2),可以解决这个问题请你参考小杰同学的思路回答:(1)图2中AH的长等于_(2)如果AC=a,EF=b,那么AH的长等于_25
11、已知在ABCD中,AEBC于E,DF平分ADC 交线段AE于F(1)如图1,若AE=AD,ADC=60°,请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足等量关系;(2)如图2,若AE=AD,你在(1)中得到的结论是否仍然成立,若成立,对你的结论加以证明,若不成立,请说明理由;(3)如图3,若AE:AD=a:b,试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系,请直接写出你的结论26(2011北京)在ABCD中,BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F(1)在图1中证明CE=CF;(2)若ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出BDG的度数;(3)若ABC=120&
12、#176;,FGCE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求BDG的度数27(2011北京)如图,在ABC中,ACB=90°,D是BC的中点,DEBC,CEAD,若AC=2,CE=4,求四边形ACEB的周长28已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动,到D点即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止,直线PQ截梯形为两个四边形问当P,Q同时出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形?参考答案与试题解析一选择题(共6小题)1(2011孝感)如图,在ABC中,BD、CE是ABC的中线,BD与CE相交于点O
13、,点F、G分别是BO、CO的中点,连接AO若AO=6cm,BC=8cm,则四边形DEFG的周长是()A14cmB18cmC24cmD28cm考点:平行四边形的判定与性质;三角形的重心;三角形中位线定理1637559专题:计算题分析:主要考查平行四边形的判定以及三角形中位线的运用,由中位线定理,可得EFAO,FGBC,且都等于边长BC的一半分析到此,此题便可解答解答:解:BD,CE是ABC的中线,EDBC且ED=BC,F是BO的中点,G是CO的中点,FGBC且FG=BC,ED=FG=BC=4cm,同理GD=EF=AO=3cm,四边形EFDG的周长为3+4+3+4=14(cm)故选A点评:本题考查
14、了平行四边形的判定和三角形的中位线定理,三角形的中位线的性质定理,为证明线段相等和平行提供了依据2(2011黔西南州)如图,在平行四边形ABCD中,过对角线BD上一点P,作EFBC,HGAB,若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2,则S1与S2的大小关系为()AS1=S2BS1S2CS1S2D不能确定考点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质1637559分析:根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、HPFD,证ABDCDB,得出ABD和CDB的面积相等;同理得出BEP和PGB的面积相等,HPD和FDP的面积相等,相减即可求出答案解答:解:四边形ABCD是平
15、行四边形,EFBC,HGAB,AD=BC,AB=CD,ABGHCD,ADEFBC,四边形GBEP、HPFD是平行四边形,在ABD和CDB中,ABDCDB,即ABD和CDB的面积相等;同理BEP和PGB的面积相等,HPD和FDP的面积相等,四边形AEPH和四边形CFPG的面积相等,即S1=S2故选A点评:本题考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出ABD和CDB的面积相等,BEP和PGB的面积相等,HPD和FDP的面积相等,注意:如果两三角形全等,那么这两个三角形的面积相等3已知四边形ABCD中,ABCD,AB=CD,周长为40cm,两邻边的比是3:2,则较
16、大边的长度是()A8cmB10cmC12cmD14cm考点:平行四边形的判定与性质;解一元一次方程1637559专题:计算题分析:由ABCD,AB=CD得到平行四边形ABCD,根据平行四边形的性质推出AD=BC,设平行四边形ABCD的两邻边是3x,2x,得到方程2(3x+2x)=40,解方程求出x,即可求出最大边解答:解:ABCD,AB=CD,四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,设平行四边形ABCD的两邻边是3x,2x,平行四边形ABCD的周长是40,2(3x+2x)=40,解得:x=4,较大边的长度是3×4=12故选C点评:本题主要考查了平行四边形的性质,解一元一次方程等知识点
17、,解此题的关键是根据题意列出方程4下列说法中错误的是()A平行四边形的对角线互相平分B有两对邻角互补的四边形为平行四边形C对角线互相平分的四边形是平行四边形D一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形考点:平行四边形的判定与性质;平行线的性质1637559专题:推理填空题分析:根据平行四边形的性质即可判断A;根据图形和已知不能推出另一组对边也平行,即可判断B;根据平行四边形的判定判断即可;根据平行线性质和已知推出ADBC,根据平行四边形的判定判断即可解答:解:A、根据平行四边形性质得出平行四边形的对角线互相平分,故本选项错误;B、A+D=180°,同时B+C=180°,
18、只能推出ABCD,不一定是平行四边形,故本选项正确;C、AC于BD交于O,OA=OC,OB=OD,四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误;D、ABCD,B+C=180°,B=D,C+D=180°,ADBC,四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误;故选B点评:本题考查了对平行线的性质和平行四边形的性质和判定的应用,能理解性质并应用性质进行说理是解此题的关键,题目较好,但是一道比较容易出错的题目5如图,ABC中,ABC=BAC,D是AB的中点,ECAB,DEBC,AC与DE交于点O下列结论中,不一定成立的是()AAC=DEBAB=ACCAD=ECDOA=OE考点:平行四边形
19、的判定与性质;全等三角形的判定与性质1637559分析:由已知可得四边形BDEC是平行四边形,则BD=CE,B=E,又因为ABC=BAC,D是AB的中点可证AODEOC,还可证明BC=AC,OA=OD,OE=OC,AC=DE,AD=EC,OA=OE解答:解:ECAB,DEBC,四边形BDEC是平行四边形,BD=CE,B=E,又ABC=BAC,CEO=DAO,又D是AB的中点,AD=BD,AD=CE,AODEOC,AD=CE,OA=OE,BC=DE,BC=AC,AC=DE而AB=AC无法证得故选B点评:此题综合性比较强,考查了平行四边形的性质和判定,还综合利用了全等三角形的判定,等角对等边6如图
20、ABFD,GEAC,EFDG,GFBC,点O为DF与GE的交点,图中共有平行四边形()A3个B4个C5个D6个考点:平行四边形的判定1637559分析:此题意在考查平行四边形的判定,根据题中给出的条件,依据两条对边分别平行的四边形为平行四边形,则不难求解解答:解:因为ABFD,GEAC,EFDG,GFBC,所以GFBD,GFEC,EFDG,AGOF均为平行四边形,所以,共有四个平行四边形故选B点评:本题主要考查了平行四边形的判定,熟练掌握平行四边形的性质及判定定理是解题的关键二填空题(共6小题)7如图,在平行四边形ABCD中,AB=2AD,A=60°,E,F分别是AB,CD的中点,且
21、EF=1cm,那么对角线BD=cm考点:平行四边形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理1637559分析:过D作DMAB于M,得出平行四边形AEFD,求出AD=EF=1cm,求出ADM,求出AM,DM,求出AB,求出BM,根据勾股定理求出BD即可解答:解:过D作DMAB于M,则DMA=90°,A=60°,ADM=30°,AD=2AM,四边形ABCD是平行四边形,DC=AB,DCAB,F为DC中点,E为AB中点,DF=AE,DFAE,四边形AEFD是平行四边形,AD=EF=1cm,AM=cm,AB=2AD,AB=2cm,BM=2cmcm=cm,在RtADM
22、中,由勾股定理得:DM=cm,在RtBDM中,由勾股定理得:BD=(cm),故答案为:点评:本题考查了平行四边形的性质和判定,勾股定理,含30度角的直角三角形等知识点,关键是构造直角三角形,题目比较好,但是有一定的难度8如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,PEF=18°,则PFE的度数是18度考点:三角形中位线定理1637559分析:根据中位线定理和已知,易证明EPF是等腰三角形解答:解:在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,FP,PE分别是CDB与DAB的中位线,PF=BC,PE=AD,AD=B
23、C,PF=PE,故EPF是等腰三角形PEF=18°,PEF=PFE=18°故答案为18点评:本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质,解题时要善于根据已知信息,确定应用的知识9如图所示,ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若FDE的周长为8,FCB的周长为22,则FC的长为7考点:翻折变换(折叠问题)1637559分析:由平行四边形可得对边相等,由折叠,可得AE=EF,AB=BF,结合两个三角形的周长,通过列方程可求得FC的长,本题可解解答:解:设DF=x,FC=y,ABCD,AD=BC,CD=AB,BE为折痕,AE=E
24、F,AB=BF,FDE的周长为8,FCB的周长为22,BC=AD=8x,AB=CD=x+y,y+x+y+8x=22,解得y=7故答案为7点评:本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题;解决翻折问题的关键是找着相等的边,利用等量关系列出方程求得答案10(2011黔西南州)如图,小红作出了边长为1的第1个正三角形A1B1C1,算出了正A1B1C1的面积,然后分别取A1B1C1三边的中点A2B2C2,作出了第二个正三角形A2B2C2,算出第2个正A2B2C2的面积,用同样的方法作出了第3个正A3B3C3,算出第3个正A3B3C3的面积,依此方法作下去,由此可得第n次作出的正AnBnCn的面积是考点
25、:三角形中位线定理;等边三角形的性质;相似三角形的判定与性质1637559专题:计算题;规律型分析:过A1作A1DB1C1于D,求出高A1D,求出A1B1C1的面积,根据三角形的中位线求出B2C2=B1C1,A2B2=A1B1,A2C2=A1C1,推出A2B2C2A1B1C1,得出=同理A3B3C3A2B2C2,推出=得出规律=,代入求出即可解答:解:过A1作A1DB1C1于D,等边三角形A1B1C1,B1D=,由勾股定理得:A1D=,A1B1C1的面积是×1×=,C2、B2、A2分别是A1B1、A1C1、B1C1的中点,B2C2=B1C1,A2B2=A1B1,A2C2=A
26、1C1,即=,A2B2C2A1B1C1,且面积比是1:4,=同理A3B3C3A2B2C2,且面积比是1:4,=×=故答案为:点评:本题考查了相似三角形的判定和性质,等边三角形,三角形的中位线的应用,解此题的关键是根据求出结果得出规律=,题目比较典型,但有一定的难度11在梯形ABCD中,ABCD,M,N分别为上底CD,下底AB的中点,则MN(AD+BC)(填“”“”“=”)考点:三角形中位线定理;三角形三边关系;梯形1637559分析:由中点,联想到构建中位线,利用三角形的两边之和大于第三边即可得出结论解答:解:如图,连接BD,作BD的中点,连接ME、NE,则可以知道ME、NE分别为中
27、位线,ME=BC、NE=AD,ME+NE=(AD+BC),MNME+NE,MN(AD+BC)故答案为:点评:本题考查了梯形的性质比较线段的长度可以通过构造三角形,利用三角形的性质求解12(2011黑龙江)如图,四边形ABCD中,对角线ACBD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为A1、B1、C1、D1,顺次连接得到四边形A1B1C1D1,再取各边中点A2、B2、C2、D2,顺次连接得到四边形A2B2C2D2,依此类推,这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为(或或,只要答案正确即可)考点:三角形中位线定理;菱形的判定与性质;矩形的判定与性质1637559专题:规律型分析
28、:根据三角形的面积公式,可以求得四边形ABCD的面积是16;根据三角形的中位线定理,得A1B1AC,A1B1=AC,则BA1B1BAC,得BA1B1和BAC的面积比是相似比的平方,即 ,因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的 ,即a2;推而广之,则AC=8,BD=4,四边形AnBnCnDn的面积=解答:解:四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点,A1B1AC,A1B1=ACBA1B1BACBA1B1和BAC的面积比是相似比的平方,即 又四边形ABCD的对角线AC=8,BD=4,ACBD,四边形ABCD的面积是16推而广之,则A
29、C=8,BD=4,四边形AnBnCnDn的面积=故答案为(或或,只要答案正确即可)点评:此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质注意:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半三解答题(共16小题)13如图所示D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中点分别是M,N,直线MN分别交AB,AC于P,Q求证:AP=AQ考点:三角形中位线定理1637559专题:证明题分析:根据中位线定理证明MH=NH,进而证明HMN=HNM,HMN=PQA,所以APQ为等腰三角形,即AP=AQ解答:证明:找到BC的中点H,连接MH,NH如图:M,H为BE,BC的中点,MHEC,且MH
30、=ECN,H为CD,BC的中点,NHBD,且NH=BDBD=CE,MH=NHHMN=HNM;MHEC,HMN=PQA,同理HNM=QPAAPQ为等腰三角形,AP=AQ点评:考查中位线定理在三角形中的应用,考查平行线对角相等,考查等腰三角形的判定14如图:AD是ABC的高,M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点(1)求证:ME=DN;(2)若BC=AD=12,AC=13,求四边形DEMN的面积考点:三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线1637559分析:(1)根据中位线的性质得到四边形MNED是梯形又因为ADBC,所以MN=BC即ME=DN,那么推出四边形EMND为等腰梯形(2)利用四边
31、形MECN为平行四边形,可以得到EC=MN=6,利用勾股定理可以求得DC=5,即可得到ED=65=1,然后利用梯形的面积计算梯形的面积即可解答:解:(1)证明:M、E、N分别是AB、BC、AC的中点根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半,得ND=AC,根据三角形中位线定理,得 NM=BCMNBC,EMAC,四边形MECN为平行四边形,EM=NC又DEEC,EDMN四边形MEDN是梯形(3分)又ADBC,DG=ACEM=DN(2)AD=12,AC=13,CD=5,四边形MECN为平行四边形,EC=MN=6,ED=65=1,四边形DEMN的面积=21点评:此题主要考查了学生对等腰梯形的判定及中位线
32、的性质的掌握情况15如图,已知:四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC、AB的中点,直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H求证:AHF=BGF考点:三角形中位线定理;平移的性质1637559专题:常规题型分析:根据中位线定理证明MFBC,且MF=BC,根据AD=BC证明EM=MF,MEF=MFE,根据平行线同位角相等,证明MEF=AHF,MFE=BGF可以求证AHF=BGF解答:证明:连接AC,作EMAD交AC于M,连接MF如下图:E是CD的中点,且EMAD,EM=AD,M是AC的中点,又因为F是AB的中点MFBC,且MF=BCAD=BC,EM=MF,三角形MEF为等腰三角形,即
33、MEF=MFEEMAH,MEF=AHFFMBG,MFE=BGFAHF=BGF点评:考查平行线对角相等,同位角相等,中位线平行且等于对应边,等腰三角形底角相等16(2011厦门)如图,在四边形ABCD中,BAC=ACD=90°,B=D(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若AB=3cm,BC=5cm,AE=AB,点P从B点出发,以1cm/s的速度沿BCCDDA运动至A点停止,则从运动开始经过多少时间,BEP为等腰三角形?考点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质1637559专题:几何综合题分析:(1)根据全等三角形
34、判定证ABCCDA即可;(2)求出AC,当P在BC上时,BP=EB=2,BP=PE,作PMAB于M,根据cosB求出BP,BE=PE=2cm,作ENBC于N,根据cosB求出BN;当P在CD上不能得出等腰三角形;当P在AD上时,过P作PNBA于N,证QAPABC,推出PQ:AQ:AP=4:3:5,设PQ=4xcm,AQ=3xcm,在EPN中,由勾股定理得出方程(3x+1)2+(4x)2=22,求出方程的解即可解答:(1)证明:在ABC和CDA中ABCCDA,AD=BC,AB=CD,四边形ABCD是平行四边形(2)解:BAC=90°,BC=5cm,AB=3cm,由勾股定理得:AC=4c
35、m,即AB、CD间的最短距离是4cm,AB=3cm,AE=AB,AE=1cm,BE=2cm,设经过ts时,BEP是等腰三角形,当P在BC上时,BP=EB=2cm,t=2时,BEP是等腰三角形;BP=PE,作PMAB于M,BM=ME=BE=1cmcosABC=,BP=cm,t=时,BEP是等腰三角形;BE=PE=2cm,作ENBC于N,则BP=2BN,cosB=,=,BN=cm,BP=,t=时,BEP是等腰三角形;当P在CD上不能得出等腰三角形,AB、CD间的最短距离是4cm,CAAB,CA=4cm,当P在AD上时,只能BE=EP=2cm,过P作PQBA于Q,平行四边形ABCD,ADBC,QAD
36、=ABC,BAC=Q=90°,QAPABC,PQ:AQ:AP=4:3:5,设PQ=4xcm,AQ=3xcm,在EPQ中,由勾股定理得:(3x+1)2+(4x)2=22,x=,AP=5x=cm,t=5+5+3=,答:从运动开始经过2s或s或s或s时,BEP为等腰三角形点评:本题主要考查对平行四边形的性质和判定,相似三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定,勾股定理,等腰三角形的性质,勾股定理等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键17已知:如图,D,E,F分别是ABC各边上的点,且DEAC,DFAB延长FD至点G,使DG=FD,连接AG求证:ED和AG互相平分考点:
37、平行四边形的判定与性质;平行线的性质;全等三角形的判定与性质1637559专题:证明题分析:根据平行四边形的判定得出平行四边形AEDF,推出AE=DF=DG,根据平行线的性质推出G=EAO,AEO=GDO,根据ASA证AEOGDO即可解答:证明:DEAC,DFAB,四边形AEDF是平行四边形,AE=DF,DG=FD,AE=DG,DFAB,G=EAG,GDE=AED,在AEO和GDO中,AEOGDO,OE=0D,OA=OG,即ED和AG互相平分点评:本题考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,平行线的性质等知识点的运用,关键是求出OA=OG,OE=OD,题目较好,难度不大,证明方法
38、不止一个:也可证四边形AEGD是平行四边形18如图1,已知在ABC中,AB=AC,点P为底边BC上(端点B、C除外)的任意一点,且PEAC,PFAB(1)试问线段PE、PF、AB之间有什么数量关系,并说明理由;(2)如图2,将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”,其它条件不变,上述结论还成立吗?如果不成立,你能得出什么结论?请说明你的理由考点:平行四边形的判定与性质;等腰三角形的性质1637559专题:证明题分析:(1)推出平行四边形PEAF,推出PF=AE,EPB=C,根据等腰三角形的判定和性质推出PE=BE即可;(2)推出平行四边形PEAF,推出PE=AF,F
39、PB=FCP,根据等腰三角形的判定和性质推出PF=FC即可,解答:(1)结论是PE+PF=AB,理由是:PEAC,PFAB,四边形PEAF是平行四边形,PF=AE,EPB=C,AC=AB,B=C,EPB=B,PE=BE,BE+AE=AB,PE+PF=AB(2)结论是PEPF=AB,理由是:PEAC,PFAB,四边形PEAF是平行四边形,PE=AF,FPC=ACB=FCP,PF=FC,PEPF=AC=AB,即PEPF=AB点评:本题考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定,证此题的关键是证PE=BE和PF=FC,两小题证明过程类似,题型较好,难度适中19如图,ABC中,AD为中线,E
40、为边BC上一点,过E作EFAB交AC于F,交AD于M,EGAC交AB于G(1)如图1,若E与D重合,写出图中所有与FG相等的线段,并选取一条给出证明(2)如图纸,若E与D不重合,在(1)中与FG相等的线段中找出一条仍然与FG相等的线段,并给出证明(3)如图3,若E在BC的延长线上,其它条件不变,作出图形(不写作法),FG=BM考点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;平行线分线段成比例1637559专题:证明题分析:(1)BD=DC=FG,根据平行线分线段成比例定理推出AF=CF,BG=AG,根据三角形的中位线求出即可;(2)延长AD至A,使DA=AD,连接CA,推出平行四边形GE
41、FA,得出FMAC,得出、比例式,求出BG=FM,BGFM,得出平行四边形BGFM即可;(3)延长AD至A,使DA=AD,连接CA,推出平行四边形GEFA,得出FMAC,得出、比例式,求出BG=FM,BGFM,得出平行四边形BGFM即可解答:解:(1)BD=DC=FG,证明:EFAB,BD=DC,AF=CF,同理BG=AG,FG=BC=BD=DC,即BD=FG(2)BM=FG,理由是:延长AD至A,使DA=AD,连接CA,则ABDACD,AC=AB,ACAB,FMAB,GEAC,四边形GEFA为平行四边形,FMAC,=,FM=BG,FMBG,BMFG是平行四边形,BM=FG(3)BM=FG,理
42、由是:延长AD至A,使DA=AD,连接CA,ABDACD,AC=AB,ACAB,FMAB,GEAC,四边形GEFA为平行四边形,FMAC,GE=AF,=,FM=BG,FMBG,BMFG是平行四边形,BM=FG故答案为:BM点评:本题综合考查了全等三角形的性质和判定,平行四边形的性质和判定,平行线分线段成比例定理等知识点,此题难度较大,对学生有较高要求,但出现了类比推理的思想20在ABC中,AB=AC,点P为ABC所在平面内的一点,过点P分别作PEAC交AB于点E,PFAB交BC于点D,交AC于点F(1)如图1,若点P在BC边上,此时PD=0,猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系,然后
43、证明你的猜想;(2)如图2,当点P在ABC内,猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系,然后证明你的猜想;(3)如图3,当点P在ABC外,猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系(不用说明理由)考点:平行四边形的判定与性质;等腰三角形的性质1637559专题:证明题分析:(1)证平行四边形PEAF,推出PE=AF,PF=AE,根据等腰三角形性质推出B=C=EPB,推出PE=BE即可;(2)过点P作MNBC分别交AB、AC于M、N两点,推出PE+PF=AM,再推出MB=PD即可;(3)过点P作MNBC分别交AB、AC于M、N两点,推出PE+PF=AM,再推出MB=PD即可解答:解:(
44、1)结论是PD+PE+PF=AB,证明:PEAC,PFAB,四边形PEAF是平行四边形,PF=AE,AB=AC,B=C,PEAC,EPB=C,B=EPB,PE=BE,AE+BE=AB,PE+PF=AB,PD=0,PD+PE+PF=AB(2)结论是PD+PE+PF=AB,证明:过点P作MNBC分别交AB、AC于M、N两点,由(1)得:PE+PF=AM,四边形BDPM是平行四边形,MB=PD,PD+PE+PF=AM+MB=AB(3)结论是PE+PFPD=AB点评:本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点,关键是熟练地运用性质进行推理和证明,题目含有一定的规律性,难度不大,但题
45、型较好21平行四边形ABCD中,AB=2cm,BC=12cm,B=45°,点P在边BC上,由点B向点C运动,速度为每秒2cm,点Q在边AD上,由点D向点A运动,速度为每秒1cm,连接PQ,设运动时间为t秒(1)当t为何值时,四边形ABPQ为平行四边形;(2)设四边形ABPQ的面积为ycm2,请用含有t的代数式表示y的值;(3)当P运动至何处时,四边形ABPQ的面积是ABCD面积的四分之三?考点:平行四边形的性质1637559专题:动点型分析:(1)因为在平行四边形ABCD中,AQBP,只要再证明AQ=BP即可,即点P所走的路程等于Q点在边AD上未走的路程(2)因为四边形ABPQ是梯形
46、,梯形的面积公式(上底+下底)×高÷2,AQ和BP都能用含有t的字母表示出来,缺少高,过A点作BC边上的高,再利用等腰直角三角形的性质和已知条件求出高线即可(3)因为平行四边形ABCD的面积可求,利用(2)中的关系式列方程即可解答:解:(1)由已知可得:BP=2t,DQ=t,AQ=12t四边形ABPQ为平行四边形,12t=2t,t=4,t=4秒时,四边形ABPQ为平行四边形; (2)过A作AEBC于E,在RtABE中,AEB=90°,AB=2,B=45°AE=AB=SABPQ=(BP+AQ)×AE=(12+t),即y=(12+t);(3)有(2
47、)得SABCD=12,×12=(12+t),t=6,BP=2t=12=BC,当P与C重合时,四边形ABPQ的面积是ABCD面积的四分之三点评:本题考查了平行四边形的判断方法:有一对对边平行且相等的四边形是平行四边形,梯形的面积公式;等腰直角三角形的性质;和用代数方法(列方程)解决几何问题;动点问题,综合性很强22如图a、b在平行四边形ABCD中,BAD,ABC的平分线AF,BG分别与线段CD两侧的延长线(或线段CD)相交于点F,G,AF与BG相交于点E(1)在图a中,求证:AFBG,DF=CG;(2)在图b中,仍有(1)中的AFBG,DF=CG成立请解答下面问题:若AB=10,AD=
48、6,BG=4,求FG和AF的长;是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件,使得点E恰好落在CD边上且ABE为等腰三角形?若能,请写出所给条件;若不能,请说明理由考点:平行四边形的性质;等腰三角形的性质;勾股定理1637559分析:(1)由平行线的性质及角平分线的性质即可证明结论;(2)由平行线的性质可得相似三角形,得出各边的长,进而再求解直角三角形即可;根据(1)、(2)的条件,满足点E恰好落在CD边上且ABE为等腰三角形即可解答:(1)证明:如图:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,BAD+ABC=180°,又AF、BG是BAD与ABC的角平分线,BAE+ABE=90
49、176;,AFBGADBC,AMB=CBG,又BG是ABC的角平分线,ABG=CBG,AB=AM,又ABDC,ABM=G,又AMB=GMD,G=GMD,DM=DG,即GDM为等腰三角形,同理可得NCF为等腰三角形;DFCD=CGCD,即DF=CG(2)解:由已知可得,AF、BG仍是BAD与ABC的角平分线,且CF=GD,FD=AD=6,CF=106=4=GD,FG=FDGD=64=2可得,RtEFGRtEAB,=,BG=4,GE=,BE=,则在直角三角形EFG中,根据勾股定理得:EF=,在直角三角形ABE中,根据勾股定理得:AE=,勾股定理可得AF=EF+AE=8;AB=2AD,A=90
50、76;若使点E恰好落在CD边上且ABE为等腰三角形,AF、BG是BAD与ABC的角平分线,只能使其角为直角,即A=90°,而由(1)、(2)可得,边长则需满足1:2的关系,即AB=2AD点评:本题主要考查平行四边形的性质,等腰三角形及勾股定理和相似三角形的运用,应熟练掌握23如图(1),BD、CE分别是ABC的外角平分线,过点A作AFBD,AGCE,垂足分别为F、G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N(1)试说明:FG=(AB+BC+AC);(2)如图(2),BD、CE分别是ABC的内角平分线;如图(3),BD为ABC的内角平分线,CE为ABC的外角平分线则在图(2)、图(3)两种情况下,线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由考点:三角形中位线定理;角平分线的定义;线段垂直平分线的性质1637559专题:综合题分析:(1)由AFBD,ABF=MBF,得到B
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