生物数据统计分析方法——第四章2

1、04-08-01试验设计第八章1其它试验设计方法介绍其它试验设计方法介绍 均匀设计均匀设计混料设计混料设计全因子试验的数据分析全因子试验的数据分析04-08-01试验设计第八章2均匀设计均匀设计 一、概述一、概述 例为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属例为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察老鼠体内某对老鼠寿命的影响，考察老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个因子，每一因子种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个因子，每一因子取取17个水平。试验如何设计？个水平。试验如何设计？ 如果采用正交设计，那么至少要进行如果采

2、用正交设计，那么至少要进行172=289次试验。如次试验。如果采用二次回归正交设计那么也至少要进行果采用二次回归正交设计那么也至少要进行26-1+26+1=45次试验，试验次数都较多。能否减少试验次数？均匀设计便次试验，试验次数都较多。能否减少试验次数？均匀设计便是针对这种情况提出的一种设计方法。是针对这种情况提出的一种设计方法。04-08-01试验设计第八章3 均匀设计是用均匀设计表安排试验，而用回归均匀设计是用均匀设计表安排试验，而用回归分析进行数据分析的一种试验设计方法分析进行数据分析的一种试验设计方法。 基本想法是要使试验点在因子空间中具有较好基本想法是要使试验点在因子空间中具有较好的

3、均匀分散性。的均匀分散性。 适用范围：变量取值范围大、水平多（一般不适用范围：变量取值范围大、水平多（一般不少于少于5）的场合）的场合 。 04-08-01试验设计第八章4二、二、均匀设计表均匀设计表 均匀设计表是均匀设计的基本工具，它是用数论均匀设计表是均匀设计的基本工具，它是用数论方法编制的。方法编制的。 1.1. 均匀设计表均匀设计表U Un n( (q q m m) ) 均匀设计表用代号均匀设计表用代号U Un n( (q q m m) )表示，表示，U U表示均匀设表示均匀设计表，它有计表，它有n n行，行，m m列，每列的水平数为列，每列的水平数为q q。 04-08-01试验设计

4、第八章5均匀设计表均匀设计表U7(76)7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1该表的每一列都是该表的每一列都是 的一个特定排列。的一个特定排列。 04-08-01试验设计第八章6 该表的特点是：该表的特点是： （1）对任意的）对任意的n都可以构造均匀设计表，并且行数都可以构造均匀设计表，并且行数n与水与水平数平数q相同，因此试验次数少；相同，因此试验次数少； （2）列数可按下面规则给出：）列数可按下面规则给出： 当当n为素数时，列数最多等于为素数时，列数最多等于n-1； 譬如上面譬如上面n=7，所以列数最多为，所以列数最多为n-1=6列；列； 当当n是合数时，设是合数时，设 ，其中

5、，其中 为素为素数，数， 为正整数，那么列数为为正整数，那么列数为 譬如譬如n=9，由于，由于9=32，所以列数为，所以列数为 列。列。 klkllpppn2121kppp,21klll,21kpppn111111216311904-08-01试验设计第八章7 2.另一类均匀设计表另一类均匀设计表 对于对于n为合数的表，一般列数较少，不太适用。为合数的表，一般列数较少，不太适用。 譬如譬如n=6时，由于时，由于n=23，所以列数只有，所以列数只有 列。列。 因为均匀设计表因为均匀设计表U7(76)最后一行全是最后一行全是“7”组成的，故划去这组成的，故划去这一行，相当于减少一个水平。所以建议用

6、一行，相当于减少一个水平。所以建议用U7(76)划去最后一行划去最后一行的方法得到，为区别起见，记为的方法得到，为区别起见，记为23112116)(*mnqU)6(6*6U04-08-01试验设计第八章8三、三、 均匀设计的使用表均匀设计的使用表 1.在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均匀性是不同的，用哪些列是有讲究的。匀性是不同的，用哪些列是有讲究的。 譬如用譬如用 安排两个因子时，用安排两个因子时，用1 1，3 3列与用列与用1 1，6 6列的均匀性是不同的，试验点在平面上的分布见图。列的均匀性是不同的，试验点在平面上的分布见图。前者较均匀。

7、前者较均匀。 )6(6*6U04-08-01试验设计第八章92.什么是均匀设计中的什么是均匀设计中的“均匀性均匀性”？ 用用“偏差偏差”来度量，偏差愈小均匀性愈好。来度量，偏差愈小均匀性愈好。偏差的定义如下：偏差的定义如下： （1）把均匀设计表）把均匀设计表Un(n m)中每一行看成中每一行看成m维空间中的一个点，维空间中的一个点，其其m个坐标必是集合个坐标必是集合 中某个数。中某个数。 （2）用线性变换将）用线性变换将 均匀地变换到区间均匀地变换到区间0，1中的某中的某个数。个数。 此线性变换为：此线性变换为： Un(n m)中中n个试验点变换成个试验点变换成C m=0，1m中的中的n个点。

8、个点。 考虑考虑Un(n m)中中n个试验点的均匀性等价于考虑在个试验点的均匀性等价于考虑在 0，1m中的中的均匀性。均匀性。 n, 2 , 1ninii, 2 , 1212，n, 2 , 104-08-01试验设计第八章10 （3）设）设 是是0，1m中任一点，则中任一点，则 为多维矩形的体积，且为多维矩形的体积，且 。 （4）记）记 为为 n个点个点 落在多维矩形的个数，落在多维矩形的个数，则则 表示有多少比例的点落在矩形中。表示有多少比例的点落在矩形中。 若此若此n个点在个点在0，1m中均匀散布，则中均匀散布，则 与该多维矩形与该多维矩形的体积的体积 相差不大。相差不大。 （5）设）设

9、是是0，1m中的中的n个点，则称个点，则称 为点集为点集 在在0，1m中的偏差。中的偏差。xnnxxx,21nnx/nnx/nxxx,21nxxx,2104-08-01试验设计第八章11 3.3.使用表使用表 偏差偏差D可对任一均匀设计表可对任一均匀设计表 或或 中任意二列、任意三中任意二列、任意三列、列、进行计算，从中选出使进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使用列，从达到最小的列作为使用列，从而形成使用表。而形成使用表。 如下表就是如下表就是 的使用表，的使用表，s s表示因子数。表示因子数。均匀设计表均匀设计表 的使用表的使用表 若从中选出若从中选出5列使用，就会使偏差列使用，就会使偏

10、差D过大，故建议不使用，过大，故建议不使用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可得把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可得 及其及其使用表。使用表。 nU*nU)7(47U)7(67U)7(67U04-08-01试验设计第八章12 均匀设计表均匀设计表 及其使用表及其使用表 )7(47U 使用表说明：当安排两个因子时，第使用表说明：当安排两个因子时，第1、3列是最佳的选择，列是最佳的选择，若安排若安排4个因子，第个因子，第1、2、3、4是最佳选择。是最佳选择。 04-08-01试验设计第八章13 均匀设计表均匀设计表U7(74)与与 的使用表的使用表 )7(4*7U 由表上的由表上的D值

11、可知，在表上加值可知，在表上加“*”的比不加的比不加“*”的均匀，的均匀，因此在实际中我们首先使用加因此在实际中我们首先使用加“*”的均匀设计表。但是可安的均匀设计表。但是可安排的因子较少。排的因子较少。04-08-01试验设计第八章14四、试验设计与数据分析的步骤四、试验设计与数据分析的步骤 例例 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，为此考察对老鼠寿命的影响，为此考察老鼠体内某种细胞的死亡率，为了了解误差，每一水平组老鼠体内某种细胞的死亡率，为了了解误差，每一水平组合重复三次。合重复三次。

12、04-08-01试验设计第八章15（一）试验设计（一）试验设计 1明确试验目的：了解六种重金属明确试验目的：了解六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响。对老鼠寿命的影响。 2明确试验指标：老鼠体内某种细胞的死亡率。明确试验指标：老鼠体内某种细胞的死亡率。 3确定因子与水平：这里因子都是定量的。水平可以是等确定因子与水平：这里因子都是定量的。水平可以是等间隔的，也可以是不等间隔的。间隔的，也可以是不等间隔的。 本例中有六种重金属可看作六个因子，每一因子取本例中有六种重金属可看作六个因子，每一因子取17个水平，个水平，其水平值均为：（单位：其水平值均为：（单位：ppm） 0.

13、01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12，14,16，18，20注意水平必须按顺序排列（也可以将水平从小到大按顺时钟方注意水平必须按顺序排列（也可以将水平从小到大按顺时钟方向排成一个圈，将任一值作为一水平，其它水平按顺时钟方向向排成一个圈，将任一值作为一水平，其它水平按顺时钟方向命名）。命名）。04-08-01试验设计第八章16 4选择均匀设计表，利用使用表进行表头设计选择均匀设计表，利用使用表进行表头设计 由于这里考察六个因子，每一因子取由于这里考察六个因子，每一因子取17个水平，可以用表个水平，可以用表U17（1716），六个因子按使用表的规定分别置于

14、），六个因子按使用表的规定分别置于1，2，3，5，7，8列上，得到如下试验计划（见表列上，得到如下试验计划（见表8.1.6），表中括号内的），表中括号内的数据是水平编号，括号外的数据是水平取值。数据是水平编号，括号外的数据是水平取值。（二）进行试验，获得试验结果（二）进行试验，获得试验结果 本例在每一水平组合下进行三次重复试验，试验结果列在本例在每一水平组合下进行三次重复试验，试验结果列在表表8.1.6的最后三列上。的最后三列上。 04-08-01试验设计第八章1704-08-01试验设计第八章18 （三）数据分析：（三）数据分析： 对均匀设计所得到的试验结果通常采用回归分析方法，建立对均匀设

15、计所得到的试验结果通常采用回归分析方法，建立回归方程。设在一个试验中有回归方程。设在一个试验中有p个因子个因子 。 若只考虑若只考虑y关于的线性关系，则可用多元线性回归方法建立关于的线性关系，则可用多元线性回归方法建立回归方程，并对每一系数作显著性检验，然后逐个删去不显著回归方程，并对每一系数作显著性检验，然后逐个删去不显著的变量，直到所有系数显著为止。的变量，直到所有系数显著为止。 若考虑若考虑y关于的二次回归，除每一变量的线性项外，还要考关于的二次回归，除每一变量的线性项外，还要考虑其二次项、变量间的乘积项，那么回归系数就有虑其二次项、变量间的乘积项，那么回归系数就有在本例中，在本例中，p

16、=6，回归系数有，回归系数有28个，超过试验次数个，超过试验次数n=17，这时，这时只能用逐步回归方法从中选出显著的项建立回归方程。只能用逐步回归方法从中选出显著的项建立回归方程。pxxx,212)2)(1(122pppp04-08-01试验设计第八章19 在本例中，根据实际问题，认为死亡率与含量的对数有关，在本例中，根据实际问题，认为死亡率与含量的对数有关，因此先将含量进行变换（这里将六个自变量分别取对数），因此先将含量进行变换（这里将六个自变量分别取对数），并考虑他们的二次项、交叉乘积项等，用逐步回归方法，在并考虑他们的二次项、交叉乘积项等，用逐步回归方法，在显著性水平显著性水平0.05上

17、挑选变量，所建立的方程如下上挑选变量，所建立的方程如下 ：PbZnCrZnNiZnZnCdNiCuCdNiCuCdylnln384. 0lnln401. 0 lnln393. 0lnln576. 0)(ln710. 0 )(ln367. 0)(ln670. 0ln29. 2ln27. 5ln83. 49 .2722204-08-01试验设计第八章20对方程作失拟检验与显著性检验的方差分析表如下：对方程作失拟检验与显著性检验的方差分析表如下：04-08-01试验设计第八章21 对每一回归系数的检验的对每一回归系数的检验的F值分别是值分别是159.52，225.00，40.45，19.18，4.2

18、4，20.43，8.58，4.84，8.76，8.35，在显著性水平在显著性水平0.05时，时， ，故上述诸系数，故上述诸系数都是显著的。都是显著的。 所以上面所得到的方程是可信的。所以上面所得到的方程是可信的。 此方程对应的误差标准差的估计为此方程对应的误差标准差的估计为 ，复相关系，复相关系数的平方是数的平方是0.948。 此方程反映了该种细胞的死亡率与六种重金属的关系。从此方程反映了该种细胞的死亡率与六种重金属的关系。从方程可以看出方程可以看出Cd、Cu、Ni的含量增加会增加该种细胞的死亡的含量增加会增加该种细胞的死亡率，率，Zn与与Cd、Ni、Cr、Pb的结合对该种细胞的死亡率有较大的

19、结合对该种细胞的死亡率有较大影响。影响。 11. 4)40, 1 (95. 0F04-08-01试验设计第八章22混料设计混料设计 一、一、概念概念 1.混料试验混料试验 背景：有些产品是通过混合多种成分制造出来的，每种成背景：有些产品是通过混合多种成分制造出来的，每种成分的多少是用相对量表示的，这种相对量就是所用成分在总分的多少是用相对量表示的，这种相对量就是所用成分在总量中所占比例。通常需要通过试验来确定使性能达到最好的量中所占比例。通常需要通过试验来确定使性能达到最好的每种成分的比例。然而在这种试验中各成分的比例不能自由每种成分的比例。然而在这种试验中各成分的比例不能自由变动，它们受到一

20、个约束：所有成分比例的和为变动，它们受到一个约束：所有成分比例的和为1。 这种试验设计称为混料设计。这种试验设计称为混料设计。 04-08-01试验设计第八章23 定义：定义：设在一个试验中有设在一个试验中有p个因子，用个因子，用 表示，表示，若试验中每一因子的取值满足如下条件：若试验中每一因子的取值满足如下条件：那么称这一试验为混料试验。那么称这一试验为混料试验。 pxxx,2104-08-01试验设计第八章242.单形、单形的顶点、单形点的坐标单形、单形的顶点、单形点的坐标 由于在混料设计中，各因子的取值是有限制的，因此需要对由于在混料设计中，各因子的取值是有限制的，因此需要对其图形及其一

21、些点给出若干专有名词。其图形及其一些点给出若干专有名词。 （1）单形与单形的顶点）单形与单形的顶点 方程方程 的图形是一个的图形是一个p维平面，而（维平面，而（ ）为）为p维平维平面上点的坐标。在该面上点的坐标。在该p维平面上满足维平面上满足 的区域构成的区域构成的图形称为单形。的图形称为单形。 若单形上点的若单形上点的p个坐标中有一个为个坐标中有一个为1，其它都为，其它都为0，则称这种，则称这种点为单形的顶点，即点为单形的顶点，即p维单形的顶点的坐标为维单形的顶点的坐标为11piixpxxx,21) 1 , 0 , 0( ,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (04-08-01试

22、验设计第八章25 p=3时，其图形为三维空间中的一个平面上的等边三角形，时，其图形为三维空间中的一个平面上的等边三角形，其三个顶点的坐标分别为（其三个顶点的坐标分别为（1,0,0），），(0,1,0)，(0,0,1)，从而该，从而该等边三角形就是三维空间上的一个单形。等边三角形就是三维空间上的一个单形。 04-08-01试验设计第八章26 p=4时的单形是三维空间中的一个的正四面体。时的单形是三维空间中的一个的正四面体。 04-08-01试验设计第八章27（ 2）单形上点的坐标单形上点的坐标 我们可以在单形上建立坐标系。我们可以在单形上建立坐标系。 在在p p=3=3时，单形是平面上的一个正三

23、角形，设其高为时，单形是平面上的一个正三角形，设其高为1 1，记其三个顶点分别为记其三个顶点分别为A A、B B、C C，它们的坐标分别是，它们的坐标分别是(1,0,0)(1,0,0)，(0,1,0)(0,1,0)，(0,0,1)(0,0,1)。又设。又设P P 是该三角形的一个内点，是该三角形的一个内点，定义定义P P到边到边BCBC的距离为的距离为 ，到边，到边ACAC的距离为的距离为 ，到边，到边ABAB的的距离为距离为 ，此时三个距离之和恰为该正三角形的高，即，此时三个距离之和恰为该正三角形的高，即有有 。 这种坐标系就是这种坐标系就是p p=3=3时单形上的坐标系，时单形上的坐标系，

24、 便是单便是单形上点在这个坐标系下的坐标。形上点在这个坐标系下的坐标。 ),(321xxx1x2x3x1321xxx),(321xxx04-08-01试验设计第八章2804-08-01试验设计第八章293. 混料试验的统计模型混料试验的统计模型 设试验中所考察的指标为y，那么y与p个因子 的关系可以表示为： 这里 是随机误差，通常假定它服从 。 称 为响应函数，其图形也称为响应曲面，当响应函数中的未知参数用估计值代替后便得到回归方程，也称响应曲面方程。 由于 形式往往是未知的，通常用 的一个d次多项式表示，此时一个混料试验由因子数p与响应多项式的次数d来确定，以后用p,d表示一个混料试验。),

25、(21pxxxfypxxx,21), 0(2N),(21pxxxfEy),(21pxxxfpxxx,2104-08-01试验设计第八章30 利用混料试验的特点，多项式中的参数可以得到简化，此时利用混料试验的特点，多项式中的参数可以得到简化，此时给出的多项式模型称为给出的多项式模型称为Scheffe正则多项式模型正则多项式模型 。 对对p因子一次混料试验因子一次混料试验p,1， Scheffe利用利用 把把p元元一次一次多项式模型化为多项式模型化为Scheffe一次一次正则多项式模型：正则多项式模型： p因子二次混料试验因子二次混料试验p,2的的Scheffe二次二次正则多项式模型为：正则多项式

26、模型为： p因子三次混料试验因子三次混料试验p,3的的Scheffe三次三次正则多项式模型为：正则多项式模型为： p因子四次混料试验因子四次混料试验p,4的的Scheffe四次四次正则多项式模型为：正则多项式模型为：11piixppxxxEy2211jijiijpiiixxxEy1kjikjiijkjijiijpiiixxxxxxEy1lkjilkjiijklkjikjiijkjijiijpiiixxxxxxxxxxEy104-08-01试验设计第八章31 对混料设计有一些特殊的设计方法，下面介绍两种设计对混料设计有一些特殊的设计方法，下面介绍两种设计方法及其相应的数据分析方法。方法及其相应的

27、数据分析方法。04-08-01试验设计第八章32二、单形格子设计二、单形格子设计 1.试验设计方法试验设计方法 （1）p,1 的设计的设计 在在 p,1 中仅含中仅含p个未知参数，这时的单形格子设计是由个未知参数，这时的单形格子设计是由p 个个单形顶点组成的设计。其设计方案如下：单形顶点组成的设计。其设计方案如下： 04-08-01试验设计第八章33（2） p,2 的设计的设计 在在p,2中含中含p+p(p-1)/2=p(p+1)/2个未知参数，这时的单个未知参数，这时的单形格子设计由两类点组成：一类点是形格子设计由两类点组成：一类点是p 个单形顶点，另一个单形顶点，另一类点是两个坐标为类点是

28、两个坐标为1/2，其它坐标为，其它坐标为0的点，这类点共有的点，这类点共有p(p-1)/2个，其设计方案如下：个，其设计方案如下： 04-08-01试验设计第八章34（3）一般来讲，单形格子设计具有如下两个特点：）一般来讲，单形格子设计具有如下两个特点： 1）每个）每个p，d设计的试验次数恰好等于响应函数中未知参设计的试验次数恰好等于响应函数中未知参数个数，即此为饱和设计。其试验点对称地排列在单形上，构数个数，即此为饱和设计。其试验点对称地排列在单形上，构成单形的一个格子，每一点的成单形的一个格子，每一点的p个坐标代表个坐标代表p个因子的成分比例，个因子的成分比例，其和为其和为1。 2）试验点

29、的分量与模型的次数）试验点的分量与模型的次数d有关，每一成分有关，每一成分xi的取值为的取值为 1/d的倍数，即只能取的倍数，即只能取0，1/d，2/d，(d - -1)/d，1，并且在，并且在设计中因子成分量的各种配合都要用到。设计中因子成分量的各种配合都要用到。 注意：这里各注意：这里各xi可以看成是类似于回归设计中一种编码值。可以看成是类似于回归设计中一种编码值。 04-08-01试验设计第八章35一种火箭推进剂由三种成分一种火箭推进剂由三种成分A、B、C混合制成，这里混合制成，这里A表示表示为固定剂，为固定剂，B为氧化剂，为氧化剂，C表示燃料。采用表示燃料。采用3，2单形格子设单形格子

30、设计，具体见表计，具体见表8.2.4。 在在A、B、C下的是编码值下的是编码值x1，x2，x3，右边面的实际成分用，右边面的实际成分用z1，z2，z3表示，他们是根据如下要求给出的：表示，他们是根据如下要求给出的： 首先找出各变量首先找出各变量xi的最小成分值的最小成分值ai，譬如在本例中，譬如在本例中a1=0.2，a2=0.4，a3=0.2，他们对应的编码值应该是，他们对应的编码值应该是0，那么编码公式，那么编码公式为：为： 也即给出了编码值后，实际成分值可以用下式获得：也即给出了编码值后，实际成分值可以用下式获得： 3 , 2 , 1131iaazxiiiii，3 , 2 , 1131ix

31、aaziiiii，04-08-01试验设计第八章3604-08-01试验设计第八章37 一般在一般在p个因子的场合，实际值与编码值的转换公式为：个因子的场合，实际值与编码值的转换公式为： 其中其中ai是变量是变量xi的最小成分值。的最小成分值。 pixaazipiiii, 2 , 111，04-08-01试验设计第八章382.数据分析方法数据分析方法 用最小二乘的方法可以求出参数的估计，但是由于是饱和用最小二乘的方法可以求出参数的估计，但是由于是饱和设计，所以残差平方和为设计，所以残差平方和为0，因此不能估计误差方差。，因此不能估计误差方差。 （1）p,1单形格子设计单形格子设计 记记p个试验

32、的结果分别为个试验的结果分别为 ，为使残差平方和为，为使残差平方和为0，所以每一点的残差都是所以每一点的残差都是0，从而由数据的结构式便可以方便地，从而由数据的结构式便可以方便地得到参数的最小二乘估计。得到参数的最小二乘估计。 对对p,1单形格子设计来讲，由于单形格子设计来讲，由于 ，为使，为使残差为残差为0，则得，则得 的估计（记为的估计（记为 ）为：）为： pyyy,21pjyjjj, 2 , 1,jjbpjybjj, 2 , 1，04-08-01试验设计第八章39 （2）p,2单形格子设计单形格子设计 例例8.2.2 3，2单形格子设计的参数估计 3，2单形格子设计的方案与试验结果可以具

33、体表示如下： 04-08-01试验设计第八章40数据的结构式：数据的结构式： 6233265133154122144121214121214121213 , 2 , 1 yyyiyiii，为使每一点残差为为使每一点残差为0，从上述第一个表达式可以得知：，从上述第一个表达式可以得知： 3 , 2 , 1,iybiii从第二个表达式可以得到：从第二个表达式可以得到： 2142141212224)2121(4yyyyb同理有：同理有：32623233151313224224yyybyyyb04-08-01试验设计第八章41三、单形重心设计三、单形重心设计 在p，d单形格子设计中，当d2时某些混料设计

34、中格子点的非零坐标并不相等，这种非对称性会使某些点对回归系数的估计产生较大的影响，为改进这一点，Scheffe提出了一种只考虑有相等非零坐标的单形重心设计。 Scheffe考虑的模型为 ppkjikjiijkjijiijpiiixxxxxxxxxEy2112104-08-01试验设计第八章421.试验设计方法试验设计方法04-08-01试验设计第八章43 这些试验点的坐标不依赖于这些试验点的坐标不依赖于d，通常我们选用饱和设计。在，通常我们选用饱和设计。在d=1或或2时，单形重心设计与单形格子是设计一致的，但是时，单形重心设计与单形格子是设计一致的，但是d2后就不相同了。后就不相同了。 譬如譬

35、如p p=3=3时，时，33，33单形重心设计共做单形重心设计共做2p-1=7=7次试验，试验次试验，试验点如下：点如下： 若要建立若要建立3，2单形重心设计，那么可以省略第七号试验（从单形重心设计，那么可以省略第七号试验（从下面的数据分析可以知道，这一试验是为估计下面的数据分析可以知道，这一试验是为估计 的系数而的系数而设立的），只进行六次试验，这时与单形格子设计就相同了。设立的），只进行六次试验，这时与单形格子设计就相同了。 321xxx04-08-01试验设计第八章44 2.数据分析方法数据分析方法 由于现在仍是饱和设计，所以我们只能求得每一个残差为由于现在仍是饱和设计，所以我们只能求得

36、每一个残差为0的参数估计。的参数估计。 例：例：3，3单形重心设计单形重心设计 其模型为其模型为 3211231xxxxxxEyjijiijpiii04-08-01试验设计第八章4504-08-01试验设计第八章46全因子试验的数据分析全因子试验的数据分析 设一个试验中有设一个试验中有k 个因子，第个因子，第i个因子有个因子有 个水平，个水平， 。记一切可能的水平组合为记一切可能的水平组合为n个，那么个，那么如果每一水平组合都进行了试验，那么就是全因子试验。如果每一水平组合都进行了试验，那么就是全因子试验。 在在k k22的情况下，我们即使在每一水平组合下进行了一次试的情况下，我们即使在每一水

37、平组合下进行了一次试验，在不考察三级交互作用场合，还有足够的自由度用于对每验，在不考察三级交互作用场合，还有足够的自由度用于对每一因子是否显著、任意两个因子的交互作用是否显著进行分析。一因子是否显著、任意两个因子的交互作用是否显著进行分析。 本节仅用一个例子来说明全因子试验的数据分析方法。本节仅用一个例子来说明全因子试验的数据分析方法。 irki, 2 , 1kiirn104-08-01试验设计第八章47 例例 某合金的一种物理性能指标某合金的一种物理性能指标y受三种因子受三种因子A、B、C的影的影响，为了寻找其规律进行试验。在试验中，因子响，为了寻找其规律进行试验。在试验中，因子A、B均取三均取三水平，因子水平，因子C取四水平，共有取四水平，共有334=36种不同的水平组合，种不同的水平组合，在每一水平组合下进行一次试验，试验结果（物理性能指标）在每一水平组合下进行一次试验，试验结果（物理性能指标）如下：如下： 表表8.3.1 试验结果表试验结果表 要研究三个因子及两两因子间的交互作用对物理性能指标要研究三个因子及两两因子间的交互作用对物理性能指标有无显著影响。有无显著影响。 04-08-01试验设计第八章48其中其中 是一般