管理运筹学课后习题解答

1、1 绪论1、运筹学的内涵答：本书将运筹学定义为：“通过构建、求解数学模型，规划、优化有限资源的合理利用，为科学决策提供量化依据的系统知识体系。”解释、修正求 解构 造 模 型现 实 系 统模 型现 实 结 论模 型 结 论图1-1运筹学的工作过程2、运筹学的工作过程答：（1）提出和形成问题。即要弄清问题的目标、可能的约束、可控变量、有关的参数以及搜索有关信息资料。（2）建立模型。即要把问题中的决策变量、参数和目标、约束之间的关系用一定的模型表示出来。（3）求解模型。根据模型的性质，选择相应的求解方法，求得最优或者满意解，解的精度要求可由决策者提出。（4）解的检验和转译。首先检查求解过程是否有误

2、，然后再检查解是否反映客观实际。如果所得之解不能较好地反映实际问题，必须返回第（1）步修改模型，重新求解；如果所得之解能较好地反映实际问题，也必须仔细将模型结论转译成现实结论。（5）解的实施。实施过程必须考虑解的应用范围及对各主要因素的敏感程度，向决策者讲清楚用法，以及在实施中可能产生的问题和修改的方法。3、数学模型及其三要素答：数学模型可以简单的描述为：用字母、数字和运算符来精确地反映变量之间相互关系的式子或式子组。数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个要素构成。决策变量即问题中所求的未知的量，约束条件是决策所面临的限制条件，目标函数则是衡量决策效益的数量指标。2 线性规划1、试述线性规

3、划数学模型的组成部分及其特性答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。线性规划数学模型特征：（1） 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量；（2） 存在一定数量（m）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性等式或者不等式来加以表示；（3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。2、一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为： 2：006：00 3人 6：0010：00 9人10：0014：00 12人 14：0018：00 5人18：0022：00 18人 22：00 2：00 4人设服务员在

4、各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。解：用决策变量,分别表示2：006：00， 6：0010：00 ，10：0014：00 ，14：0018：00，18：0022：00， 22：00 2：00 时间段的服务员人数。其数学模型可以表述为：3、现要截取2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。解：圆钢的截取有不同的方案，用表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示： 2.92.11.51'1110.92

5、'2000.13' 1200.34'10305'0130.86'0041.47'0220.28'0301.1 目标函数为求所剩余的材料最少，即4、某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划模型。表1甲乙丙原料成本限制用量A60%以上15%以上2.002000B1.502500C20%以下60%以下50%以下

6、1.001200加工费0.500.400.30售 价3.402.852.25解：以表示甲产品中的A成分，表示甲产品中的B成分，表示甲产品中的C成分，依此类推。据表2-16，有：，其中：，把逐个代入并整理得：，原材料的限制，有以下不等式成立：，在约束条件中共有9个变量，为方便计算，分别用,表示，即令=，=，=，=，=，=，=，=，=由此约束条件可以表示为：我们的目的是使利润最大，即产品售价减加工费再减去原材料的价格为最大。目标函数为5、某厂在今后4个月内需租用仓库存放物资，已知各个月所需的仓库面积如表2所示。租金与租借合同的长短有关，租用的时间越长，享受的优惠越大，具体数字见表3。租借仓库的合同

7、每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期限不同的合同，总的目标是使所付的租借费用最小。试根据上述要求，建立一个线性规划的数学模型。表2月 份1234所需面积（100m2）15102012表3合同租借期限1个月2个月3个月4个月单位（100m2）租金（元）2800450060007300解：设（i1,2,3,4;j=1,24-i+1）为第i个月初签订的租借期限为j个月的合同租借面积（单位：100）；表示第i个月所需的面积（j表示每100仓库面积租借期为j个月的租借费）；则线性规划模型为

8、：6、某农场有100公顷土地及25万元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季4500人日，春夏季6000人日，如劳动力本身过剩可外出打工，春夏季收入为20元人日，秋冬季12元人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米和小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资8000元，每只鸡投资2元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入3000元每头奶牛。养鸡不占土地，需人工为每只鸡秋冬季0.3人日，春夏季0.1人日，年净收入为每只8元。农场现有鸡舍允许最多养5000只鸡，牛栏允许最多养50头奶牛，三种作物每年需要的人工及收

9、入情况如表4所示。试决定该农场的经营方案，使年净收入最大。表4大豆玉米麦子每公顷秋冬季所需人日数203510每公顷春夏季所需人日数507540年净收入（元/公顷）11001500900解：设,分别代表大豆、玉米、麦子的种植数（公顷）；,分别代表奶牛和鸡的饲养数；,分别代表秋冬季和春夏季多余的劳动力（人日数）则有7、用图解法求解下列线性规划问题（1） （2）（3） （4）解：（1） （2）84 2 3 4此题有唯一最有解， 2 3 484此题有无穷多最有解，其中一个是（3） （4） 2 44此题为无界解 2 43找不到可行域，此题为无可行解8、考虑线性规划： + + + = 5 + + = 22

10、+ + + = 6（1） 通过观察写出初始的基可行解并构造初始单纯形表；（2） 在保持和为零的情况下，给出非基变量增加一个单位时的可行解，并指出目标函数的净增量是多少?（3） 在模型约束条件的限制下，的最大增量是多少？（4） 在有其最大增量时，给出一个新的基可行解。解：（1）因存在初始可行基，故可令,全为0,则可得初始可行解为，Z5。初始单纯行表为：cj2 -1 1 1 0 0CBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6100x4x5x6 -1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 2 1 1 0 0 1526sj 3 -2 0 0 0 0z=0(2)非基变量,仍然取零，由0变为1,即1,

11、0,=0,代入约束条件得一个可行解X=。其目标函数值为Z8因此，随着增加1个单位目标函数值的净增量为Z8-5=3.（3）因为决策变量全非负所以由约束条件知增加可以引起,增加，即条件对无约束；由约束条件知增加可引起,减少，由非负约束知最大增量为2；同理可得约束条件的最大增量为3，综合得的最大增量为2。（4）2，非基变量=0,0,代入约束条件得基可行解X=，目标函数值为Z11。9、将线性规划模型转化为标准形式，无约束解：（1）令并代入模型，这里>=0,>=0；（2）第二个约束条件方程两侧同乘“-1”；（3）第一个约束条件引入松弛变量，第三个约束条件引入作为松弛变量。（4）目标函数同乘“

12、-1”，即可实现最少化。10、用单纯形法求解下述线性规划问题（1） （2） + 2 + 18 + 4+ 5（1）解：构造初始单纯行表，并进行初等变换，得：cj3 1 1 1 CBXBx1 x2 x3 x411x3x4 -2 （2） 1 0 3 1 0 1 46sj 2 -2 0 0 w=1011x2x4 -1 1 1/2 0 4 0 -1/2 1 24sj 0 0 1 0 w=6最优解，由非基变量的检验数为0,知此问题有无穷多最有解，所以该解为无穷多最优解中的一个，最优值为w6。（2）解：此问题用大M法求解，先把问题标准化为：构造初始单纯行表，并进行初等变换，得：cj-4 -5 -1 0 0

13、M MCBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7M0 Mx6x5x7 3 2 1 -1 0 1 0(2) 1 0 0 1 0 01 1 -1 0 0 0 11845sj-4-4M -5-3M-1 M 0 0 0M-4Mx6x1x70 1/2 1 -1 -2/3 1 0 1 (1/2 ) 0 0 1/2 0 0 0 1/2 -1 0 -1/2 0 11223sj0 -5 -1 M2M+2 0 0M-5Mx6x2x7-1 0 (1) -1 -2 1 0 2 1 0 0 1 0 0 -1 0 -1 0 -1 0 11041sj2M-4 0 -1 M3M+5 0 0-1-5Mx3x2x7-1 0

14、 1 -1 -2 1 0 2 1 0 0 1 0 0 -2 0 0 -1 -3 1 110411sj2M+5 0 0 M-1 3M+3 1 0因为所有检验数均为非负，但人工变量仍为基变量，故此问题无解。11、求解线性规划问题并给出其中三个最优解：解：构造初始单纯行表，并进行初等变换，得：cj3 1 1 1 CBXBx1 x2 x3 x411x3x4 -2 （2） 1 0 3 1 0 1 46sj 2 -2 0 0 w=1011x2x4 -1 1 1/2 0 (4 ) 0 -1/2 1 24sj 0 0 1 0 w=613x2x1 0 1 3/8 1/4 1 0 -1/8 1/4 31sj 0

15、0 1 0 w=6从单纯形表可以找到两个顶点，。可以找到变量之间存在以下关系：2；44；令1/2则有，从而找到了LP问题的三个最优解。12、（1）如为唯一最优解则要求非基变量的检验数全少于零，从而有<0，<0。并且要令表中的解为最优解，则要求原问题可行，这只要满足即可。（2）要令表中解为无穷多最优解中的一个，则有以下关系成立：<=0，<=0，且=0若=0，则。（3）要使表中的解为退化的基可行解，则必有；当>且>0时，。（4）若为无界解，则满足能找到入基变量，但找不到出基变量的条件。即满足：；>，且>0；。（5）以代替，即入基，出基，则有以下关系成

16、立：>，且>0；，且。3 线性规划的对偶问题1 试从经济角度解释对偶变量的含义。答：假设有一企业欲将另一个企业拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使此企业愿意放弃生产活动，出让资源。显然后者放弃自己组织生产活动的条件时，对同等数量资源出让的代价不低于该企业自己组织生产活动是的产值。2 判断下列说法是否正确（1） 任何线性规划问题都存在其对偶问题 （正确）（2） 如果原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；（错）（3） 当原问题为无界解时，对偶问题也为无界解；（错）（4） 当对偶问题无可行解时，原问题一定具有无界解；（错）（5） 若原问题有无穷多最优解，则对偶问题也一

17、定具有无穷多最优解 （错）3写出下列线性规划问题的对偶问题：（1） + 2 + 2 2 + +3 6 +4 +6 5解：（2） + 2 + 10 3 +215 +2 + 12无约束解：4. 用对偶单纯形法求解下述线性规划问题（1） （2） +3 3 +2 +2 +3302 +2 5 2 + +3 +220（1） 转换化成标准形式：cj4 12 18 0 0CBXBx1 x2 x3 x4 x500x4x5 -1 0 -3 1 0 0 -2 -2 0 1-3-5sj 4 12 18 0 01812x3x2 1/3 0 1 -11/3 0 -1/3 1 0 1/3 -1/212/3sj 2 0 10

18、 2 6W=36X=(0,2/3,1,0,0)(2)转化为标准形式cj1 2 3 4 0 0CBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6 00x5x6 -1 -2 -2 -3 1 0 -2 -1 -3 -2 0 1-30-20sj 1 2 3 4 0 010x1x6 1 2 2 3 -1 0 0 3 1 4 -2 112/3sj 0 0 1 1 1 0W=30X(30,0,0,0,0,40)minz=305 （1）由最终单纯形表可知，为保持原最优解不变应有：解不等式组得：C(2)将C1=2直接反映进单纯形表中：cj-2 -1 -5 0 0CBXBx1 x2 x3 x4 x5-2-5x1x3 1

19、-1/3 0 1/3 -1/3 0 1 1 -1/5 2/553sj 0 10/3 0 -1/3 4/30-5x4x3 3 -1 0 1 -1 3/5 4/5 1 0 1/5156sj 1 3 0 5 1-30X=(0,0,6,15,0) max z=30(3)因为原材料的市场价格0.8小于原材料的影子价格1，所以，可以买进原材料。假设买进原材料100单位，则此公司拥有原材料的总额为130。b´将b´反映进单纯形表中：cj-3 -1 -5 0 0CBXBx1 x2 x3 x4 x5-3-5x1x3 1 -1/3 0 1/3 -1/3 0 1 1 -1/5 2/585/311

20、1sj 0 3 0 0 1w=-30最终的单纯形表cj-3 -1 -5 0 0CBXBx1 x2 x3 x4 x5-50x3x5 6/5 3/5 1 1/5 0 -3 1 0 -1 1985sj 3 2 0 1 0w=-45(4)为非基变量，所以，最优解不变。（5）将原问题的最优解X=（5，0，3，0，0）代入不等式中，不等式仍然成立，故最优解不变。（6）将原问题的最优解X=（5，0，3，0，0）代入不等式中，不等式不成立，所以最优解将发生变化。将新的约束条件反映进单纯形表中：cj-3 -1 -5 0 0 0CBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6-3-50x1x3x6 1 -1/3 0 1

21、/3 -1/3 0 0 1 1 -1/5 2/5 0 3 1 2 0 0 15320-3-50x1x3x6 1 -1/3 0 1/3 -1/3 0 0 1 1 -1/5 2/5 0 0 0 0 -3/5 1/5 15320sj 0 3 0 0 1 0w=-30最终单纯形表为：cj-3 -1 -5 0 0 0CBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6-3-50x1x3x4 1 -1/3 0 0 -2/9 5/9 0 1 1 0 1/3 -1/3 0 0 0 0 -1/3 -5/340/98/35/3sj 0 3 0 0 1 0w=-80/3（40/9，0，8/3，5/3，0，0）Maxz=80/

22、34 运输问题1、运输问题表上作业法的基本步骤。答：表上作业法的基本步骤可参照单纯形法归纳如下：（1）找出初始基可行解：即要在阶产销平衡表上给出“”个数字格（基变量）；（2）求各非基变量（空格）的检验数，判断当前的基可行解是否是最优解，如已得到最优解，则停止计算，否则转到下一步；(3)确定入基变量，若，那么选取为入基变量；(4)确定出基变量，找出入基变量的闭合回路，在闭合回路上最大限度地增加入基变量的值，那么闭合回路上首先减少为“0”的基变量即为出基变量；（5）在表上用闭合回路法调整运输方案；（6）重复2、3、4、5步骤，直到得到最优解。2、“最小元素法”和“伏格尔”法的基本思想及基本操作。答

23、：最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此类推，一直到给出基本方案为止。伏格尔法把费用增量定义为给定行或列次小元素与最小元素的差（如果存在两个或两个以上的最小元素费用增量定义为零）。最大差对应的行或列中的最小元素确定了产品的供应关系，即优先避免最大的费用增量发生。当产地或销地中的一方在数量上供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列，再重复上述步骤，即可得到一个初始的基可行解。3、闭合回路的构成以及利用闭合回路法求检验数的基本操作。答：判断基可行解的最优性，需计算空格（非基变量）的检验数。闭合回路法即通过闭合回路求空格检验数的方法。从给定的初始方案的

24、任一空格出发寻找闭合回路，闭合回路顶点所在格括号内的数字是相应的单位运价，单位运价前的“+”、“-”号表示运量的调整方向。空格处单位运量调整所引起的运费增量就是空格的检验数。仿照此步骤可以计算初始方案中所有空格的检验数。4、利用位势法求检验数以及利用闭合回路进行方案调整的基本操作。答：位势法求解非基变量检验数的基本步骤：第一步：把方案表中基变量格填入其相应的运价并令；让每一个基变量都有，可求得所有的位势；第二步：利用计算各非基变量的检验数方案的优化基本步骤：在负检验数中找出最小的检验数，该检验数所对应的变量即为入基变量。在入基变量所处的闭合回路上，赋予入基变量最大的增量，即可完成方案的优化。在

25、入基变量有最大增量的同时，一定存在原来的某一基变量减少为“0”，该变量即为出基变量。切记出基变量的“0”运量要用“空格”来表示，而不能留有“0”。5、某玩具公司生产A、B、C三种玩具，每月的生产能力分别为1000、2000和2000件。玩具被运至甲、乙、丙三个百货商店销售。已知各家百货商店每月对三种型号玩具的总销量都是1500件，由于经营环境的原因，各商店销售不同型号玩具的盈利不同，具体数据见表1。又已知丙商店要求至少供应1000件C型玩具且拒绝A型玩具。求能够满足上述条件而又使总盈利最大的供销分配方案。表1甲乙丙A540B1689C121011解：此题属于产大于销问题，可以增加假想的需求部门

26、丁，使供需平衡。由于部门丁不存在，故其盈利都为0。供需平衡表示如下所示：甲乙丙丁产量A54001000B168902000C12101102000销量150015001500500因为原问题为求最大值，故用类伏格尔法（求两最大元素之差，其他步骤相同）求解问题的初始可行基，得甲乙丙丁产量A500500100050015002000销量150015001500500用位势法进行检验得：甲乙丙丁A（-7） 4（-5）00B168（0）（-4）4C（-6）1011（-6）612450非基变量检验数全为非负，说明所得初始可行基已为最优解。表中将A调拨给丁500件，表明玩具A有5

27、00件销售不出去。6、已知某厂每月最多生产甲产品270吨，先运至A1、A2、A3三个仓库，然后再分别供应B1、B2、B3、B4、B5五个用户。已知三个仓库的容量分别为50、100和150吨，各用户的需要量分别为25、105、60、30和70吨。已知从该厂经由各仓库然后供应各用户的储存和运输费用如表2所示。试确定一个使总费用最低的调运方案。表2B1B2B3B4B5A11015202040A22040153030A33035405525解：此题属于产销不平衡问题，仓库的总存储能力为300t，用户总需求量为290t，但该厂的最大生产能力为270t。故仓库有30t剩余，用户有20t得不到满足，故可假设

28、存在仓库A4，它的存储量为20t，用户B6 的需求量为30t。这样就转化为产销平衡问题。与因A4与B6都是假设的，不需要运输，故运价都为0，但是由A4运到B6的运输无法发生，因两者皆为假设的，运价为无穷大，设为M。得到产销平衡表如下所示：B1B2B3B4B5B6产量A11015202040050A220401530300100A330354055250150A400000M20销量2510560307030 用伏格尔法求解初始基可行解得：B1B2B3B4B5B6产量A15050A2254530100A310605030150A42020销量2510560307030用位势法检验是否为最优解，得

29、：B1B2B3B4B5B6A1（15）15(0)(15)(35)(20)0A22040(-30)30(0)(-5)25A3(15)3540(30)25020A4(10)(-10)(-15)(0)0(M+25)-5-5152055-20因检验数存在负数，故用闭合回路法调整得：B1B2B3B4B5B6产量A15050A2256015100A350607030150A451520销量2510560307030用位势法检验得：B1B2B3B4B5B6A1（5）15(20)(5)(35)(20)0A220（10）1530(10)(5)15A3(5)35（20）(20)25020A4(10)0(15)0

30、(10)(M+35)-155150155-20因检验数全为正，所以已得最优方案。即A3差30t没有得到满足， B2缺5t，B4缺15t。7、已知某运输问题的单位运价及最优调运方案如表3所示（括号中的数据代表运输数量），由于产地A2至销地B2的道路关闭，故最优调运方案将发生变化，试在原最优调运方案的基础上，寻找新的最优调运方案。表3B1B2B3B4B5aiA110205（4）9（5）109A2210（4）103064A31（3）20（1）710（1）4（3）8bj35463解：由于A2 到B2道路关闭，则其运价为M，应令其出基，以实现最优调度。先将M反映进产销平衡表，然后用位势法作检验，有：B1

31、B2B3B4B5A1（10）（1）59(7)0A2（21-M）M (24-M)（40-M）(22-M)M-19 A3120（1）1041019593要令A2B2出基，即令其运输量为0，找出负检验数最小的来进行调整，得：B1B2B3B4B5产量A1459A2314A35128销量35463用位势法作检验，有：B1B2B3B4B5A1（11）（1）59(7)0A22（M-22） (2)（18）63 A3（1）20（1）1041-119593检验数已全为非负，故已得最优调度方案。8、已知某运输问题的单位运价及最优调运方案如表4所示，试回答下述问题：表4B1B2B3B4B5B6aiA12（20）1（3

32、0）333550A242（20）2（20）44440A33（10）542（39）41（11）60A44221（1）2（30）231bj305020403011（1） A1到B2、A3到B5、和A4到B1的单位运价，分别在什么范围内变化时上表中给出的最优方案不变；（2） 若A1到B2的单位运价由1变为3，最优方案将发生怎样的变化；（3） 若A3到B5的单位运价由4变为2，最优方案将发生怎样的变化；解：（1）设A1到B2的单位运价为x，因A1到B2是基变量，它的运价变化会引起非基变量检验系数的变化，此时，只需对其再进行位势法分析即可。B1B2B3B4B5B6A12x(3-x)(2)(1)(5)0A

33、2（x）22（20）(1+x)(2+x)2-xA33（4-x）（3-x）2（1）11A4(x)(2-x)(1)1 2(2)02 xx120要令最优方案不变，则非基变量的检验数非负；故有x>=0；3-x>=0；4-x>=0；2-x>=0；2+x>=0；1+x>=0解上述不等式得0<=x<=2。即A1到B2的单位运价在0，2内变化时，最有方案不变。A3到B5的单位运价属于非基变量，它的变化不会引起其它检验数变化，故只需保证其检验数非负即可。先用位势法算出原方案的检验数：B1B2B3B4B5B6A121(2)(2)(1)(5)0A2（1）22（3）(1

34、)(3)1A33（3）（2）2（1）11A4(2)(1)(1)1 2(2)02 11120设A3到B5的单位运价为x，则其检验数满足x-（1+2）>=0，即x>=3。也就是说A3到B5的单位运价大于等于3时，最有方案不变。同理可以算出A4到B1的单位运价变化范围是2，+)，此时最优方案不变。（2）把变化直接反映到表中可得下表：B1B2B3B4B5B6A123(0)(2)(1)(5)0A2（3）22（20）(4)(5)-1A33（1）（0）2（1）11A4(3)(-1)(1)1 2(2)0233120因存在检验数为负数，最优方案发生改变，用闭合回路法调整得：B1B2B3B4B5B6a

35、iA1212950A2202040A39401160A413031bj305020403011重新计算检验数，得：B1B2B3B4B5B6A123(0)(2)(0)(5)0A2（3）22（4）(2)(5)-1A33（1）（0）2（0）11A4(3)2(0)（1） 2(3)-1233130非基变量检验数均为非负，故为最优方案。（3）把A3到B5的单位运价改为2，然后求检验数得：B1B2B3B4B5B6A121(2)(2)(1)(5)0A2（1）22（3）(1)(3)1A33（3）（2）2（-1）11A4(2)(1)(1)1 2(2)02 11120由于存在负检验数，故最优方案发生变化，此时用闭合

36、回路法调整得：B1B2B3B4B5B6aiA1203050A2202040A3109301160A43131bj305020403011重新计算检验数，得：B1B2B3B4B5B6A121(0)(2)(0)(5)0A2（3）22（4）(2)(5)-1A33（1）（0）2411A4(1)(-1)(-1)1 （-1）(2)0233130检验数有负数，用闭合回路法调整得：B1B2B3B4B5B6aiA1203050A2202040A310391160A413031bj305020403011重新计算检验数，得：B1B2B3B4B5B6A121(2)(2)(1)(5)0A2（1）22（2）(1)(3)1A33（3）（2）2（1）11A4(2)(1)(1)1 2(2)0211120检验数全为非负，故已得最优方案。5 整数规划1、用分枝定界法求解下述整数规划问题（1） （2）且取整 且取整解：（1）用单纯型法求得相应星星规划问题,最终单纯型表：cj1 1 0 0 CBXBx1 x2 x3 x411x1x2 1 0 1/32 -3/32 0 1 1/1