国家开放大学电大《常微分方程(本)》期末题库及答案

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2、 如果函数组乃。）疗2（乂）在区间I是线性相关，那么它们的朗斯基行列式W（x）在区间I上（）.有界是保证方程华=y）初值解惟一的（5）（）条件.dx二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6.方程的x + 2x + x = ef的任一解的图像是三维空间中的（）.A. 一个曲而 B. 一条曲线C. 一族曲面D. 一族曲线四=Vzivr + i（ ）7 .方程MV.A. 有奇解y一土 1 B.有奇解ylC.无奇解 D.有奇解y一一18. 方程y瑚 + JF的通解是（）.A-y = cx B.y = c4xC.y ex2 D y = cx-i-4c9. 相平面上的一条轨线对应平面自治系统的（）积分

3、曲线.A.无穷条 B. 一条C.二条 D.三条10. 方程-：寸卜的任一解的最大存在区间一定是（）.4（oo,0） 3.（00,+8）C. 09+oo） /）.!,+ oc）三、计算题（每小题8分，共40分）11. 虫dx12. (x + y)dx (x y)dy = 0，dx x y14.(x3 +xy2 +x2)dxl x2ydy= 01 u w 22 ,15-xy -y = y sinx四、计算题(本题共15分)五、证明题（本题共15分）17.设y（x）是。十一）上的连续可微函数，且满足瓯3",“）或、求证试题答案及评分标准一、填空题（每小题3分，本题共15分）1. （1）满足

4、|v|vl的条形区域2, （2）ex9xex：k （3）二知”=0 | ,±2,4. （4）恒等于零5.（5）充分二、单项选择题（每小题3分，木题共15分）6. B 7. C 8. D 9. A 10. B三、计算题（每小题8分，共40分）11. 解：当yl时，分离变量积分得2小+G= Cex1 + Cey 解得通解石12. 解：方程改写成dy _x + y dx x-y dydx令y=u,贝g=X1/ F ju代入得dux=dx1 + u u1 + w21-w udu B|J x=dx分离变量积分，得f= dxJ 1 + w2 J xarctan u ln(l + w2) = In

5、 | x | 2原方程通积分为arcian 乏=In 77 +Cx13. 解：方程两端乘y，得y = y2 +x2 dx x令y2=z,则2y. = 代人得 dx dx1 dz 12=z + x2 dx xdz 2=z + 2x dx x齐次诵解z = Cx2令非齐次解为z = C(x)x2,代入得C(x) = 2x + C即 z = Cx2 + 2x3,原方程通解为y= 士37 /14. 解：dM c dN=2xy =dydx方程是全微分方程，取(x。,) = (0,0)原方程的通积分为(./ + xy1 十 x5 )dx Cla即lx4+lx2 2+lx3=C42315. 解：方程改写成，

6、卫 $inx = 0即(+cosx) = 0y有座+ cosx = G积分，得通积分 y dxIn | j/1 +sinx = Cx + C2四、计算题(本题共15分)16. 解：特征方程为3 A 1IA 心)=04 1-A特征根 = 3,% = -1=3对应的特征向量为人 2 = 1对应的特征向量为一1 _-2原方程组的通解为，、(3t -/)x 八 e _ e=G + c2y)3 J -2°刁五、证明题(本题共15分)17. 证明 由已知条件y(z)满足方程y (x) + y(x) = a(x)这里 lim a(x) = 0X->+CO而该方程过(, y。)的任一解y(x)

7、为="e U r0. P,.传J%.n lhn»3)二 Ittn 。Inn _n x r_ a<.r'=01 Inn r十P ”=lim。3)=0常微分方程题库及答案二一、填空题(每小题3分。本题共15分)1. 方程卷="也+少满足解的存在惟一性定理条件的区域是-2. 方程冬 N/R7的奇解是维线性空间.3. 以阶线性齐次微分方程的所有解构成一个4. 方程的等价方程组是5. 方程组二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. 方程i十工=。的任一非零解在（t, x）平面上（）零点D.无A.有无穷多个B.只有两个C.只有一个7. 方程3过点（0, 0

8、）的解（）.A.只有一个 B.只有两个C.有无数个D.只有三个8. 方程四过点（1, 1）的解的存在区间是（）.匹（一8,2",十 8）D. （l,+oo>9. 方程的所有常数解是（）.A.。r _3uCupD.，=夸十如上=0.±1 M10. 平而自治系统在相平而上的一条轨线，对应（）积分曲线.A. 一条 B.两条C.无穷多条D.三条三、计算题（每小题8分.本题共40分）求下列方程的通解或通积分：11. （l+jr）ydx+】y）工曲=012. 学+ 1±克心*” or x13. Wdx（2y +工广'）（1=014. _y=£y'

9、;+>' +（）'15 .寸+ （y'V + l = O四、计算题（本题共15分）16. 求下列方程组的通解.dx瓦=工七倔一 2x+3y五、证明题（本题共15分）17. 设P（z） 一个多项式函数，证明：方程=P（jr）cosy所有解的存在区间必为（8,十 8）.试题答案及评分标准（供参考）一、填空题（每小题3分。本题共15分）1. 全平面 2. >=±13. n(y=y4 J , = _邛_石5. (0, 0), (0, 1)二、单项选择题(每小题3分。本题共15分)6. A 7. C 8. B 9. D 10. C三、计算题（每小题8分。本题

10、共40分）1. 解将方程改写为y 工积分得yln|y =x+ln| j +C即通积分为yln|x>| =C12. 解先解齐次方程，通解为clr + C令非齐次方程的特解为(4分)代入原方程，求出原方程的通解为尸*+ C）13. 解M(jr.y)=广，, N(iy) = (2y+jre r >3M _ BN因此，原方程是全微分方程.取Cx9 ？0）=（00）原方程的通积分为（c-,dx J 2ydy = C即xe，一y =C14. 解这是一个克莱洛方程，因此通解为y-Cx+C+C15. 解令一 K y = = =z代入方程，得等=-（1+/分离变量，积分，诰Jdx + C?=tan（

11、j： + C）于是单=tan（ jHC> dz积分，得通解为yln I co" 工+C） I +G四、计算题（本题共15分）16.解特征方程为If 1 1! AAE| =半一4人 + 5=0-2 3-人 <特征根为必=2tZ,（3分）A=2+f对应特征向量满足m加即况+6=02a 4-( 1 r )6 = 0解之得6=(1 + Oat令=1.则5=1 十 F（7分）于是，对应解为1 =/"1 = c:<(co$/4-：sinr) 11+， 1l+r stnrcosf + 5im分）<10所以，原方程组的通解为COSfy- sim十cos/4-sinz

12、（15 分）五、证明题（本题共15分）17.证明因为P（z）在(8,十 8>上连续,cosy及(cosy)'si ny（ 8,十8）（6分）上连续，所以该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.又显然号+如&=0.±1，士2 是方程的常数解.（9分）现设>=>（工）是方程的任一解，若其初值在常数解上，则由解的惟一性，y（z）=奇+ M的存在区间必为（ 8,+ 8）.若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一性和解的延展定理，可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数解，故其存在区间必为（一8,十 8）_U5分）常微分方程题

13、库及答案三一、填空题（每小题3分.本题共15分）1. 方程华=Oo）=Vo满足解的存在惟一性定理条件的区域是（1）ax2. 方程/ 一2y' + y=0的基本解组是.虫=f（x3. 初值问题一八'刃的解所满足的积分方程是4. 方程牛=必通过点(1, 1)的解的最大存在区间是(4)dx5平而系统<的奇点0(0, 0)的类型是 y二、单项选择题【每小题3分。本题共15分)6. 方程虫=占过点(0, o)的积分曲线().dxA. 有惟一一条B.有无穷多条C.只有二条D.不存在7. 用待定系数法求方程广一6>，'十5广一 "十 *的非齐次解乃的形式应设为(

14、)A. y =人。'+ 8： + Gr+1>B. 齐=Ajc/ + Bx: 4 Cr+DC. y产8. 已知方程ry"+ J f r的一个特解为检又对应齐次方程有一个特解为Inx,则原方程的通解 为().A >=G了十GIhjI J-=B. 尸GF + Glnr + KC, y=G - Glnx工'I). y=C|4-C：lrix-bxr9. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差()A.不是其对应齐次微分方程组的解B.是非齐次微分方程组的解C.是非齐次微分方程组的通解D.是其对应齐次微分方程组的解10. 一阶变量可分离微分方程Mx)Ny)dx- p(

15、x)Q(y)dy = 0的积分因子是()A"=1N(y)P(x)B 4 =?M(x)N(y)C.JLl = M（x）g（y）三、计算题（每小题8分，共40分）求下列方程的通解或通积分：11. 4-y12. ,=2*;/ +13.1 掣=y d.t *143 一二）妇上澎=0X2 X15. y y2 卜 y：cnxr = 0四、计算题（本题共15分）= 2x-3y=x-2y五、证明题（本题共15分）17.证明，当PZ0,q> 0时，方程E=°的一切解在0,+oo）±有界.试题答案及评分标准一、填空SS（每小18 3分，本题共15分）1. （1）除去轴的平面2.

16、 2#g3. （3）y=yo+j /（x»）d.vt. （4X-OQ.2）5. （5）检定焦点二、单项选择建（每小IB 3分，本H共15分）；6. B7.B8.C9.D10. A三、计算禽（每小题8分，共4。分）11. 解：将方程改写为令“=乎.则y'=_rt/ 4- N.代人上式碍«r * = U I 护分离变Ji枳分得arcsinw = lnl j | +C取方程的通段分为arrsiri In I -r I H- C 12.解，克莱洛方程.通解为13. 斜：方程改写成dx 1*齐次通解为y = O 令非齐次解为y=C（x）j代人田原方程通解为y=CxyX1 1A

17、 s 3M 1 3N14-解'石=_亍=耘原方程是全微分方程.取（&.为）=（1.0>,原方程的通枳分为（tr* 工）dr + f dy «= C 即 "+之=（x15. 解，方程改写成,或（兰+ sinx）'=Oy即 J_单+或口 =仁枳分得原方程通枳分为Ini yl cojlt = C|X 卜C；16. 解，特征方程2- A 一3I AAEI =3 1兀和船对应的特征向量分别是 和11原,方程组的通解是=G y "五、证明fiS（本题共15分）17. 岫明原方程的特征方程为r + pl+g=O特征根为土/正一叶S 2H然.当P&g

18、t;0.q>0时,特征根只有3神情况：两个相异实根A.A：且AVO.AVOs（2）二重实根A,且人V0,（3一对共貌复根a±阳俘=和一斯挪=一#<0.此时,通解分别为>（x） = o4 4y（i=（G，C:x）eay（4） = L（"cos供 4 C: sin/lr）于是lim y（ r） =0.因此yd）在。+8）上有界 当/lO</><）时.特征根= 士，命对应通机为v（jr>j=C（ros/7X 十 CiUn JJ/.r显燃也在9+s）r有界.常微分方程题库及答案四一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 微分方程rd

19、+./>*= yU+Ddy的通解为y =AH+r “】一y睥UB. (I-K1+/> = CC.(In H + r'X I+/ = (2. A<V=y: il点H.l)的铺的4企区间姓().nxA. (- <>?)MQ.+8>c( i +：,、>rx( 一， +<»)IT了 * y 卜 sin/Al ',1厅理的任 解的图厚足空间中的(A. 一条曲线K两个曲而c 一个曲而rx两条曲蟆4. 二阶我性齐次博分方密的所再解构成一个（）线性空间.A. 1 «11 2 维C 3雄n 4雄5. 如果平而n治系统的解憎一.那

20、么它在相平面上的轨浅以（>.A.不唯一的B.唯一的C奇点D.闭轨二、填空题（每小题3分，本题共15分）6. 做分方梓丁（/尸一2乂/+】=。是 阶微分方程.7. 方程£+”g=b的任一解的存在3间必是.&如果函数ffl>i（x）.y：（x）在区间/是税性桁关.那么它们的阴斯基行列式W（t）在区同1上.9. 二阶 L y" + jr>r：»=（J的等价方程坦是.10. 点是方程期，奇点的充分条件是*=Q5y>三、计算题（每小题8分，本题共40分）11. 未可分禹变SI方程tanycLr-courdy = 0的通枳分.dyv1 X12.

21、 求一阶线忤齐次方程| =二+ $ 一的通枳分.（Lr j2 y13. 求全推分方程2（£r + （H-：；）dy=0的通枳分.H.求克菜洛万程=巧'+ 2（：/）的通解.0求恰当导散万程y/+（y）'u0的通积分.四、计算题（木题共15分）16. 求下列常系数线性做分方程<0的通#hAr瓦-3工+勺Idy石"+2、五、证明题（木题共15分）17. 匝明，一阶湫分方程dv *>nydx jt： +/ + 1的任一"的洋在区间必是（一x. + s）.试题答案一单项选择知（倍小88 3分.本JS共M分）LD2- A3. 二、顼空通（岛小盹.1分，卒担共r分）6. R.恒等于穹，=一"一了 y10. P（./.y.t） Q（八.火）=0三.计算跑（每小题卜分.本魄共I。分）分也重昭估希电枳”再iiuy即 InCiny) =