微积分期中复习答案

1、微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量和，如果当某非空集合内任取一个数值时，变量按照一定的法则(对应规律)，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数。记作，其中变量称为自变量，它的取值范围称为函数的定义域；变量称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作，即。 函数的表示：函数的表示有三种。 公式法、表格法和图示法。3、函数的几种特性 函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。4、初等函数 (1) 基本初等函数 幂函数：(为任意实数)， ， 指数函数：(且) 对数函数：(且)。 恒等式： 换底公式： 运算的性质：，。 三角函数：。 反三角函数：。(2)

2、 反函数：(3) 复合函数：5、常见的经济函数 (1) 成本函数、收益函数和利润函数 ， ，。 (2) 需求函数与供给函数 二、极限的概念与性质1、数列的极限(1) 数列(2) 数列极限的定义(3) 数列极限的几何意义2、函数的极限(1) 当自变量时函数的极限(2) 当自变量时函数的极限(3) 左右极限3、函数极限的主要性质 极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。三、极限的运算1、极限的运算法则2、两个重要极限(1) 极限存在的准则 数列极限的夹挤定理、函数极限的夹挤定理和单调有界数列必有极限。(2) 两个重要极限 。3、无穷小量和无穷大量(1) 无穷小量的定义(2) 无穷小量的性质 有限个无

3、穷小量的和、差、积仍然为无穷小量； 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。(3) 无穷小量的比较 高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小无穷小量的替换四、函数的连续性1、函数连续的概念(1) 函数在一点处连续的定义设函数在点的某领域内有定义，如果，则称函数在点处连续。 函数在点处连续必须满足下列3个条件： 在点有定义，即有确定的函数值； 极限存在，即左右极限，存在且相等。 ()，即极限值等于函数值。(2) 函数在区间上连续的定义 函数在内每一点连续，称在闭区间内连续。 函数在内每一点连续，且在右连续，在点作连续，则称在闭区间上连续。2、连续函数的运算与初等函数的连续性 (1) 连续函数的和、差、积

4、、商(分母不为零)仍为连续函数；(2) 连续函数的复合函数仍是连续函数；(3) 基本初等函数在其定于内都是连续的。3、函数的间断点(1) 间断点的定义(2) 间断点的分类第一类间断点： 若函数当时，左右极限都存在但不相等， 跳跃间断点 若函数当时，左右极限都存在且相等，但是不等于函数值或函数值无定义， 可去间断点第二类间断点：除了第一类间断点外，其他间断点都称为第二类间断点。4、闭区间上连续函数的性质 最值性、介值性、零值定理。第二章 导数与微分一、导数的概念1、引例(1) 平面曲线上切线的斜率(2) 总产量对时间的变化率2、导数的定义 (函数在一点可导的定义)设函数在点的某领域有定义，当自变

5、量在点处取得该变量，即自变量从改变到(，点仍在该领域内)时，函数取得相应的该变量为 ，若当时，比值的极限存在，即 存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记为 ，即 。此时，称函数在点处可导。 (函数在区间可导的定义)若函数在区间内每一点处都可导，则称函数在区间内可导。这时对于任一个，都对应着函数的一个确定的到数值，这样就构成了一个新的函数，称此函数为的导函数，简称导数，记作 ，。即 。3、导数的几何意义 函数在点处的导数在几何上就表示了曲线在点处切线的斜率。4、左导数与右导数 如果极限存在，则称此极限值为在点处的左导数，记作，即 ， 如果极限存在，则称此极限值为在点处的右导数，记作，即 。显然

6、，在点处可导的充要条件是在点处的左右导数存在且相等，即 。 如果函数在开区间内可导，且与存在，则称在上可导。5、函数可导与连续的关系 若函数在点处可导，则函数在点处连续(即可导必连续)。二、导数的基本公式与运算法则1、函数和、差、积、商的求导法则 ()2、反函数的求导法则 设函数在某一区间内单调、可导，且，则它的反函数在对应区间内也单调可导，且有 。3、复合函数的求导法则 。4、导数的基本公式5、隐函数求导法则6、对数求导法则三、高阶导数 重点是二阶导数四、参数式函数的导数 参数方程的求导法则，难点是参数方程的二阶导数。应用是求曲线的切线和法线方程。五、函数的微分1、微分的定义 设函数在点的某

7、个领域内有定义，自变量自取得该变量(，点仍在该领域内)，若函数的相应该变量 ，克表示为 其中是只与有关而与无关的常数，是当时比高阶的无穷小量，则称函数在点处可微，并称为函数在点处的微分，记作 ， 即 当时，也称为的线性主部。 函数在点可微的充分必要条件是函数在点处可导，此时，。2、微分的几何意义3、微分的运算4、微分形式不变性5、微分在近似计算中的应用 ， ，或 。第一章练习题选择题1、设函数，则( )。DA.0； B. ； C.1； D.不存在。2、设函数，则是的( )。DA.连续点； B.可去间断点；C.第一类(非可去)间断点； D.第二类间断点。3、设函数在内有定义，且 则( )。DA.

8、必是的第一类间断点；B. 必是的第二类间断点；C. 必是的连续点； D.在点处的连续性与的取值有关。4、当时，是的( )。CA.高阶无穷小量； B.低阶无穷小量；C.同阶但非等价无穷小量； D.等价无穷大量。5、若( )，则当时，与为等价无穷小量。D A.2； B.3； C.5； D.6.6、若z在上有定义，且则( )。DA. 必是的地一类间断点； B. 必是的地二类间断点；C. 必是的连续点； D. 在点处的连续性与的取值有关。7、设函数在上连续，且，则常数满足( D )。A； B； C； D。8、设，则( )。AA. ； B. ； C. ； D.不存在。填空题1、 。12、 。 3、，则

9、。2 4、，则 ， 。2，-1 5、函数在 时为无穷大量。-1 6、函数在 或 时为无穷小量。0 7、若函数在上连续，则 。-2 8、 。9、若函数在处连续，则的取值范围是 。 10、设为正整数，则 。11、 。 12、 。 。13、 。14、 。 计算题1、； 2、 13、； 4、； 5、 6、 7、设，已知在处连续，试确定和的值。 8、当和正数为何值时，函数在点处连续？ 9、设函数问为何值时，在点连续。 证明题1、证明下列方程必有实根：(1) ； ，(2) 。 ，2、设函数与在点处连续，证明函数在点处也连续。解：3、4、第二章练习题填空题1、设，则 。提示：。2、的导数 。提示：。答案：。

10、3、设方程确定的隐函数，则 。，4、设，且，则 。提示：用替换，得， ，即。因此，。5、曲线在点处的切线和法线方程为 。 ， 切线方程为 法线方程为 6、设，则 。提示：7、设函数在连续，且，则 。提示：(因为在点连续)，所以 选择题1、函数在处( )。CA.不连续； B.连续但不可导；C.可导但导数不连续；D.可导且导数连续。提示：在处不连续。2、已知，则( )。AA.-1； B.2； C. ； D.-2.3、设函数在点可微，和为常数，则( )。BA. ； B. ； C. ； D. 。4、设，其中，则( )。BA.-6； B. ； C. ； D.6。 又因为，所以 5、设复合函数，其中函数都

11、可微，则( )。BA. ； B. ；C. ； D. 6、设，其中函数具有二阶导数，则( )。DA. ； B. ；C. ； D. 。7、曲线在点处的切线方程是( )。D A. ； B. ；C. ； D. 。8、设曲线由参数方程确定，则曲线在点处的切线与轴交点的横坐标是( )。AA. ； B. ； C. ； D. 。提示：时，得，所以。又因为，故，所以。9、设两曲线和在点处相切，其中和为常数，则( )。DA. ； B. ； C. ； D. 。10、设函数在点可微且，则是函数在点可微的( )。AA.充分必要条件； B.必要但非充分条件；C.充分但非必要条件； D.既非充分也非必要条件。提示：要使在点可微在点可导。因为 所以是函数在点可微的充分必要条件。11、设函数，其中在点处连续，则是函数在点处可导的( )。AA.充分必要条件； B.必要但非充分条件；C.充分但非必要条件； D.既非充分也非必要条件。提示：由题设可知，则 如果函数在处可导，即所以是函数在处可微的充分必要条件。计算题1、求的微分和导数。解： 2、函数由方程所确定，求。解：对等式两边同时对求导，得 ，所以，。3、设，求导数。解：，所以 。4、设由所确定，求。解：因为，且，故，所以 又因为，有。因此 。5、设