关于中考中“投影”类题目探究

1、泰州市初中数学论文评比关于中考中“投影”类题目探究江苏兴化林湖中心校 王仁山 摘 要：探究“投影”类题目其解题的对应方法有三种：第一利用同一时刻物高与影长成正比解；第二构建相似三角形利用相似三角形的对应边成比例解；第三构建直角三角形用三角函数解。关 键 词：中考、“投影”类题目 、探究 “投影”类题目在近几年数学中考中作为又一个亮点出现，它是现行初中数学教材新增的一个知识点，其解题要领是抓住某一时刻物高与影长的变化规律，应用所学的有关知识进行解答。为帮助同学把握“投影”的实质，笔者通过对近几年来数学中考题的分析，来探究“投影”类中考题的变化，并对其进行归类分析： 探究一：运用成比例求高“投影”

2、类题 题型1 （2008年绍兴市）兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）A11.5米B11.75米C11.8米D12.25米 分析 由题意画下图，可知树的影长有三部分BE、DE和CD.延长CD交AB于F后，就将树的这三部分影长转化为两部分高BF和影长CF。 因为由矩形的性质得：BE=DF=4.4m, BF=DE=0.3m 所以CF=4.4m+0.2m=4

3、.6m 再利用= 求出AF=11.5m 最后求出树高 AB=AF+BF=11.8m 因此选C. 题型2 （2007年宁波市）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为( )(A)24m (B)22m (C)20 m (D)18 m 分析 本题的关键是仔细观察图形，理解铁塔的影子是由坡面DE与平地BD两部分组成。由投影成比例经验得： = = 设塔影留

4、在坡面DE部分的塔高为h1 ,塔影留在平地BD部分高为h2 探究二：根据相似三角形求高“投影”类题题型1 （2008聊城市）如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点 ）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？分析 解此题的基本思路是在读懂题目的基础上，把复式的几何图形拆分成单一的几何图形，弄清小明站在A点的影长是AM,站在B点的影长是BN,两者的差即为问题的答案。运用相似形性质分别解出AM,BN.POBNAM解答：，即解得同样由可求得所以，小明的身影变短了3.5米题型2 （2009年江西省）问题背景 在某次活动

5、课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）.DDFE900cm图2BCA60cm80cm图1GHNE1

6、56cmMEOE200cm图3KE分析 此题先由相似形性质解出DE,GN的长。在解（2）时运用勾股定理解出HN的长，再连接OM,运用圆的切线性质可知OMNHGN用相似比解出圆的半径r 解答：（1）由题意可知：即DE=1200（cm）所以，学校旗杆的高度是12m （2）解：与类似得：即GN=208在中，根据勾股定理得：NH=260设的半径为rcm，连结OM，NH切于M，则又又解得：r=12所以，景灯灯罩的半径是12cmDDFE900cm图2BCA60cm80cm图1图3GHNE156cmMEOE200cmKE探究三： 利用三角函数求高“投影”类题题型一 （2007年南宁市）如图所示，点表示广场上

7、的一盏照明灯（1）请你在图中画出小敏在照明灯照射下的影子（用线段表示）；（2）若小丽到灯柱的距离为4.5米，照明灯到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯的仰角为，她的目高为1.6米，试求照明灯到地面的距离（结果精确到0.1米）（参考数据：，）小敏小丽4.5米AMP灯柱分析 此题目的解题思路是构造成直角三角形再利用三角函数求解。即以Q点作水平线，以P点作垂线构成RtPDQ用三角函数求出PD，则PD+QB就是照明灯到地面的距离。解答：（1）如下图线段是小敏的影子。4.5米小丽灯柱小敏（2）过点Q作QEMO于E，过点P作PFAB于F，交EQ于D，则PFEQ DQ=EQED=4.51.5=3（米） 在RtPDQ中，（米） DF=QB=1.6米 PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9（米）答：照明灯到地面的距离为5.9米 题型二 （2006苏州市）如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为当太阳光与水平线成时，测得该树在斜坡上的树影的长为，求树高（精确到）分析 此题目的解题思想是要避开斜坡构造直角三角后，利用三角函数求解。如下图过C作水平线交AB的延长线于D,分别构成RtCBD和 RtCDB。求出AD,BD长,则树高为AD-BD.解答：如下图，过点作水平线与的延长线交于点，则，在中，在中， 答：树高约为 由上述分析可知，“投影”类题目其