第四章光的衍射

1、第一节第一节 衍射的基本理论衍射的基本理论 第二节第二节 衍射和傅立叶变换衍射和傅立叶变换第三节第三节 单孔的夫朗和费衍射单孔的夫朗和费衍射 第四节第四节 衍射光栅衍射光栅第五节第五节 菲涅尔衍射菲涅尔衍射第 四 章 光的衍射 第一节第一节 衍射的基本理论衍射的基本理论 一、衍射问题概述一、衍射问题概述 光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。所发生的偏离直线传播的现象。 光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物，传播到障碍物的几何阴影

2、区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。 通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。 第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 S SP PP 光的衍射现象与光的干涉现象，都是相干光波叠光的衍射现象与光的干涉现象，都是相干光波叠加引起的光强的重新分布。加引起的光强的重新分布。 不同之处在于：干涉是有限个相干光波的叠加，不同之处在于：干涉是有限个相干光波的叠加，衍射是无限多个相干光波叠加的结果。衍射是无限多个相干光波叠加的结果。 衍射需要用到积分，但在许多情况下，对衍射孔衍射需要用到积分，但在许多

3、情况下，对衍射孔径的积分无法求解，使衍射问题的求解遇到了很径的积分无法求解，使衍射问题的求解遇到了很大的困难。通常情况下，我们无法得到精确的解，大的困难。通常情况下，我们无法得到精确的解，而只能得到近似的解。而只能得到近似的解。第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 研究衍射现象及其规律的问题归结为已知光波在某研究衍射现象及其规律的问题归结为已知光波在某一衍射屏上的复振幅分布，或已知入射光波及衍射一衍射屏上的复振幅分布，或已知入射光波及衍射屏的形状和振幅透射函数，求光在衍射屏后的空间屏的形状和振幅透射函数，求光在衍射屏后的空间任一点或任一平面上的复振幅分布或光强分布。任一点或任一平面上的复

4、振幅分布或光强分布。 研究衍射问题的传统方法：首先，惠更斯研究衍射问题的传统方法：首先，惠更斯菲涅菲涅耳原理对衍射现象作了初步解释。其后，基尔霍夫耳原理对衍射现象作了初步解释。其后，基尔霍夫从波动方程出发，对衍射屏上的光场分布作了一些从波动方程出发，对衍射屏上的光场分布作了一些假设，推导了求衍射图样分布的公式，并为惠更假设，推导了求衍射图样分布的公式，并为惠更斯斯菲涅耳原理提供了理论基础。菲涅耳原理提供了理论基础。 在现代光学中，以线性系统理论为基础，把产生衍在现代光学中，以线性系统理论为基础，把产生衍射的系统看作是一个线性不变系统，以平面波理论射的系统看作是一个线性不变系统，以平面波理论(或

5、角谱理论或角谱理论)来讨论衍射问题，这就是傅里叶变换来讨论衍射问题，这就是傅里叶变换的方法。的方法。 研究光的衍射现象，严格来说，应该用光的矢量研究光的衍射现象，严格来说，应该用光的矢量衍射理论来求解，但求解过程很复杂。衍射理论来求解，但求解过程很复杂。 在许多情况下，我们只要知道近似结果就可以了，在许多情况下，我们只要知道近似结果就可以了，所以一般都用光的标量衍射理论来求解衍射过程。所以一般都用光的标量衍射理论来求解衍射过程。只有在一些特别需要精确结果的场合，才会使用只有在一些特别需要精确结果的场合，才会使用矢量衍射理论。矢量衍射理论。第 四 章 光的衍射 二、惠更斯二、惠更斯-菲涅耳原理菲

6、涅耳原理 1.惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理最早成功的用波动理论解释衍射现最早成功的用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳，他把惠更斯原理用象的是菲涅耳，他把惠更斯原理用干涉的理论加以补充。干涉的理论加以补充。惠更斯原理惠更斯原理1690年提出。惠更斯认年提出。惠更斯认为，为，面上每一点都可以看作是一个面上每一点都可以看作是一个次波源，发出球面次波；这些次波次波源，发出球面次波；这些次波在随后的某一时刻的包迹面，将形在随后的某一时刻的包迹面，将形成一个新的波阵面成一个新的波阵面 ，波面的法线，波面的法线方向就是波的传播方向。方向就是波的传播方向。 第 四 章 光的衍射 ?平面波平面波球面波球面波

7、 第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 惠更斯原理能够很好的解释光的直线传播，光的惠更斯原理能够很好的解释光的直线传播，光的折射和反射方向，也能说明衍射现象可能发生，折射和反射方向，也能说明衍射现象可能发生，却不能详细解释各种衍射现象，也不能描述衍射却不能详细解释各种衍射现象，也不能描述衍射场的光强度分布。场的光强度分布。 菲涅耳认为，这些次波既然来自同一个光源，应菲涅耳认为，这些次波既然来自同一个光源，应该是相干的，因而衍射场某点该是相干的，因而衍射场某点P的光强度，应由的光强度，应由这些次波在该点的干涉结果叠加而成。这些次波在该点的干涉结果叠加而成。 惠更斯惠更斯-菲涅尔原理：在任意

8、给定的时刻，任意波菲涅尔原理：在任意给定的时刻，任意波面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即为没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相为没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结果。干叠加的结果。 2.惠更斯惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式菲涅耳原理的数学表达式 第 四 章 光的衍射 000exp jkrEAr上入射波的复振幅为上入射波的复振幅为： 对于衍射场中的对于衍射场中的P点，由点，由d传来的光波的复振幅传来的光波的复振幅就是：就是：其中：第 四 章 光

9、的衍射 0exp j krtdE PKDE drrMP D0, 1D/2, 0D为小面元的外法线与为小面元的外法线与MP之间的夹角，称为倾斜角。之间的夹角，称为倾斜角。叫做方向因子（倾斜因子）。菲涅耳的假设，当叫做方向因子（倾斜因子）。菲涅耳的假设，当，K为复系数。 这就是惠更斯菲涅耳原理的数学表达式，称为这就是惠更斯菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯惠更斯-菲涅尔公式。菲涅尔公式。 第 四 章 光的衍射 如果在波面处障碍物的开口面积就用如果在波面处障碍物的开口面积就用表示，则表示，则P P点的复振幅为：点的复振幅为： 00expexpAjkrjkrE PKDdrr设某一曲面或平面上的复振幅分

10、布为设某一曲面或平面上的复振幅分布为 特别地，当用平面波正入射照明时，则衍射孔径特别地，当用平面波正入射照明时，则衍射孔径上任一点的复振幅为一个常数，若用上任一点的复振幅为一个常数，若用A来表示，则菲来表示，则菲涅耳公式可简化为：涅耳公式可简化为：第 四 章 光的衍射 ,B exp,jkrE PKDBdr exp jkrE PKADdr则这一曲面或平面上的各点发出的次波在则这一曲面或平面上的各点发出的次波在P点产生的复振幅可以表示为：点产生的复振幅可以表示为：三、基尔霍夫衍射积分公式三、基尔霍夫衍射积分公式 基尔霍夫从波动微分方程出发，利用场论中的格基尔霍夫从波动微分方程出发，利用场论中的格林

11、理论，及电磁场的边界条件，给惠更斯林理论，及电磁场的边界条件，给惠更斯-菲涅尔菲涅尔原理找到了较完善的表达式。原理找到了较完善的表达式。 确定了倾斜因子和常数确定了倾斜因子和常数K的具体形式，建立了光的具体形式，建立了光的衍射理论，弥补了菲涅尔理论的不足。的衍射理论，弥补了菲涅尔理论的不足。 将光场当作标量来处理，只考虑电场或磁场的一将光场当作标量来处理，只考虑电场或磁场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法独立的处理。用同样的方法独立的处理。 完全忽略了电磁场矢量分量间的耦合特性，称为完全忽略了电磁场矢量分量间的耦合特性，称为标量

12、衍射理论。尽管它也是一种近似处理，但在标量衍射理论。尽管它也是一种近似处理，但在一般情况下，它能与实验结果很好的符合。一般情况下，它能与实验结果很好的符合。 第 四 章 光的衍射 1.亥姆霍兹亥姆霍兹基尔霍夫定理基尔霍夫定理 光波电磁场的任一个分量的复振幅应满足如下光波电磁场的任一个分量的复振幅应满足如下的标量波的波动微分方程，即亥姆霍兹方程：的标量波的波动微分方程，即亥姆霍兹方程：第 四 章 光的衍射 220Ek E亥姆霍兹亥姆霍兹基尔霍夫定理的公式就表达如下：基尔霍夫定理的公式就表达如下：1( )4ikrikrSEeeE PEdnrnr 其中，其中，S为包围考察点为包围考察点P的任意封闭曲

13、面，的任意封闭曲面，d为为曲面上的有向面元，取外法向为正，曲面上的有向面元，取外法向为正，r表示曲面表示曲面上任意点处的面元上任意点处的面元d到到P的距离。在的距离。在S面上任一面上任一点处点处n表示沿向外法线的单位矢量。表示沿向外法线的单位矢量。 辅助函数辅助函数(格林函数格林函数)表示小面元处表示小面元处发射的球面子波。子波的振幅大小由发射的球面子波。子波的振幅大小由d处的电场处的电场E和它的法向偏导数和它的法向偏导数为格林函数。第 四 章 光的衍射 /En来决定。来决定。 exp jkrGr2.基尔霍夫衍射积分公式基尔霍夫衍射积分公式第 四 章 光的衍射 闭合曲面由三部分组成：开孔闭合曲

14、面由三部分组成：开孔，不透明屏的部分背照面不透明屏的部分背照面1，以，以P点为中心、点为中心、R为半径的大球的部为半径的大球的部分球面分球面2。 P点的光场复振幅为点的光场复振幅为12( )14ikrikrE PEeeEdnrnr 和和1面，基尔霍夫假定（基尔霍夫边界条件）面，基尔霍夫假定（基尔霍夫边界条件） ：在在上，上，E和和 对于对于2面，面，r=R，cos(n,R)=1（法线与半径同向，（法线与半径同向，所以它们的夹角为所以它们的夹角为0，方向余弦为，方向余弦为1），且有），且有 ：第 四 章 光的衍射 /0En 与不存在屏时的值完全相同。与不存在屏时的值完全相同。在不透明屏的背照面在

15、不透明屏的背照面1上，上，E=0，/En的值由入射波决定，的值由入射波决定，11ikRikRikReeeikikRnRRRR因此，在因此，在2上的积分为：上的积分为：式中，式中，是是2对对P点所张的立体角，点所张的立体角，d是立体角元。是立体角元。 第 四 章 光的衍射 221144ikRikReEeEikE dikE R dRnRn索末菲辐射条件：索末菲辐射条件： lim0REikE Rn 当当R时，时，(eikR/R)R是有界的，所以上面的积分是有界的，所以上面的积分在在R时时(球面半径球面半径R取得足够大取得足够大)为零。为零。 只需要考虑对孔径面只需要考虑对孔径面的积分，即：的积分，即

16、： 最终得到：最终得到： 第 四 章 光的衍射 1( )4jkrjkrEeeE PEdnrnr0120expexpcoscos1( )2jkrjkrE PAdjrr 这就是基尔霍夫衍射积分公式。它表示了单色点这就是基尔霍夫衍射积分公式。它表示了单色点光源光源S0发出的球面波经孔径发出的球面波经孔径，在，在后的某点后的某点P处产生处产生的光振动的复振幅分布。的光振动的复振幅分布。 式中，式中， r0是光源是光源S0到孔径到孔径上任一点的距离，上任一点的距离，r是是Q点点到到P点的距离。点的距离。 1和和 2分别为孔径面分别为孔径面的法线与的法线与r0和和r的夹角。的夹角。 第 四 章 光的衍射

17、表示表示S0发出的发出的球面波在球面波在面上的复振幅分布；面上的复振幅分布； 00exp/EAjkrr表示表示上任意一点上任意一点Q处的小处的小面元发出的球面子波对面元发出的球面子波对P点点的贡献量。的贡献量。 exp/Gjkr r用惠更斯用惠更斯-菲涅耳原理的基本思想来解释：菲涅耳原理的基本思想来解释： P点的光振动的复振幅是由这些次波源产生的，点的光振动的复振幅是由这些次波源产生的，并且它与入射波在孔径上的复振幅和倾斜因子有并且它与入射波在孔径上的复振幅和倾斜因子有关，与波长关，与波长成反比，而且次波源的振动相位超前成反比，而且次波源的振动相位超前入射波的相位入射波的相位90，这一点由，这

18、一点由1/j来说明来说明1/j=exp(-j/2)。 第 四 章 光的衍射 次波源次波源 00exp/EAjkrr表明在波面法线方向上的次波贡献最大；表明在波面法线方向上的次波贡献最大； 第 四 章 光的衍射 221cos/2D 01D/21/2D 0D 菲涅尔关于次波贡献的研究中假设菲涅尔关于次波贡献的研究中假设 /20D是不对的是不对的。 倾斜因子的具体表达式：倾斜因子的具体表达式： 当点光源距孔径较远，可以看作是平行光入射时，当点光源距孔径较远，可以看作是平行光入射时， 103.基尔霍夫衍射公式的化简和推广基尔霍夫衍射公式的化简和推广 傍轴近似：对于傍轴光线，衍射孔径的线度远傍轴近似：对

19、于傍轴光线，衍射孔径的线度远小于衍射孔径平面到观察屏的距离，光源和考察小于衍射孔径平面到观察屏的距离，光源和考察面上的有效范围对衍射孔径中心的张角很小，因面上的有效范围对衍射孔径中心的张角很小，因此，可近似认为：此，可近似认为：第 四 章 光的衍射 1D基尔霍夫衍射积分公式就简化为：基尔霍夫衍射积分公式就简化为： 00expexp( )jkrjkrE PKAdrr基尔霍夫衍射积分公式通用表达式：基尔霍夫衍射积分公式通用表达式： 衍射孔径的复振幅透射系数：衍射孔径的复振幅透射系数： 第 四 章 光的衍射 ,exp,( , )0TTjT ( , ) 其他 透过衍射物体的光波可以表示为：透过衍射物体

20、的光波可以表示为： ,( , )ABT 任意单色光源发出任意单色光源发出的光波到达衍射孔的光波到达衍射孔径平面时的复振幅径平面时的复振幅( , ):B 直角坐标系中可适用于任意照明条件和任意性质直角坐标系中可适用于任意照明条件和任意性质的衍射物体的基尔霍夫衍射积分公式：的衍射物体的基尔霍夫衍射积分公式： 四、菲涅耳衍射和夫琅和费衍射四、菲涅耳衍射和夫琅和费衍射第 四 章 光的衍射 exp( , ),jkrE x yAd dr 1.菲涅尔近似和菲涅尔衍射菲涅尔近似和菲涅尔衍射 观察平面距衍射孔径的距离不同，所得到观察平面距衍射孔径的距离不同，所得到的衍射图样不同。的衍射图样不同。 K2、K3及其

21、周围的范围内的衍射现象，称为近及其周围的范围内的衍射现象，称为近场衍射或菲涅尔衍射；较远处，如场衍射或菲涅尔衍射；较远处，如K4及及更远处的更远处的衍射现象称为远场衍射或夫朗和费衍射。衍射现象称为远场衍射或夫朗和费衍射。第 四 章 光的衍射 菲涅尔衍射菲涅尔衍射 SP光源和场点都为有限远光源和场点都为有限远P光源无限远，场点有限光源无限远，场点有限远远 衍射孔径上的任一点与考察面上的任一点之间的衍射孔径上的任一点与考察面上的任一点之间的距离为距离为r： 傍轴近似的条件：傍轴近似的条件： 第 四 章 光的衍射 x1/2222rxyd, , ,dx y 的最大值将将r展开成二项式：展开成二项式：

22、菲涅尔近似菲涅尔近似 ：当当d大到能够满足：大到能够满足：第 四 章 光的衍射 222222222222222223()()11 ()()1 ()()128()()()()28xyrdxydddxyxydddxyxyddd22 232()() 82xyd菲涅尔衍射区菲涅尔衍射区 基尔霍夫衍射积分公式就进一步化简为（菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式就进一步化简为（菲涅尔积分公式积分公式 ）：）： 第 四 章 光的衍射 22222221 ()()1222xyrddxyxydddd222222( , ),expexp2exp,exp22expKkE x yAjkdjxyd dddKxykjk dAjddd

23、kjxyd dd 2.夫琅和费近似和夫琅和费衍射夫琅和费近似和夫琅和费衍射夫琅和费近似夫琅和费近似 ：d大到可以满足：大到可以满足：第 四 章 光的衍射 SP光源和场点都为无限远光源和场点都为无限远222()22d 222xyxyrddd基尔霍夫衍射公式可化简为（夫琅和费衍射积分公式）：基尔霍夫衍射公式可化简为（夫琅和费衍射积分公式）： 221( , )exp,exp2xykE x yjk dAjxyd dj ddd 夫琅和费衍射区夫琅和费衍射区 六、在有限距离观察夫琅和费衍射的方法六、在有限距离观察夫琅和费衍射的方法 夫朗和费衍射问题可以得到解析解，菲涅尔衍夫朗和费衍射问题可以得到解析解，菲

24、涅尔衍射只能得到近似解，无法得到解析解。射只能得到近似解，无法得到解析解。 第 四 章 光的衍射 使用透镜近距离的观使用透镜近距离的观察并使用夫琅和费衍射察并使用夫琅和费衍射 1.平面波照明的情形平面波照明的情形 薄透镜使入射光波的相位空间薄透镜使入射光波的相位空间分布发生改变，是相位变换分布发生改变，是相位变换(调制调制)器：器： 当光线通过薄透镜时，中心区当光线通过薄透镜时，中心区域厚，光程长，相位延迟大；边域厚，光程长，相位延迟大；边缘区域薄，光程短，相位延迟小，缘区域薄，光程短，相位延迟小，入射光波的等相位面形状改变。入射光波的等相位面形状改变。返回薄透镜的相位变换作用可以用它的透射函

25、数表示薄透镜的相位变换作用可以用它的透射函数表示 其中：其中：第 四 章 光的衍射 ( , )( , )( , )lllETE ( , )lE 出射平面的光波复振幅出射平面的光波复振幅 ( , )lE 到达透镜入射面的光波复振幅到达透镜入射面的光波复振幅 图图（a）正入射的平面波，复振幅为）正入射的平面波，复振幅为1： ( , )( , )llTE 凸透镜的作用就是将入射的平面波变更为出凸透镜的作用就是将入射的平面波变更为出射的球面波射的球面波 。简谐球面波在极坐标中可以表示为：简谐球面波在极坐标中可以表示为： 只能用菲涅尔近似，得到会聚球面波的表达式：只能用菲涅尔近似，得到会聚球面波的表达式

26、： 第 四 章 光的衍射 00( )exp ()EE rj krr1/2222rz220,expexp2lEkEjkfjff 220,exp2llkEEjf 合并常数项：合并常数项：透镜的位相变换因子：透镜的位相变换因子： 经过像差精心校正的任一实际透镜的相位变换经过像差精心校正的任一实际透镜的相位变换作用，都可以用上式表示。作用，都可以用上式表示。 经过透镜和衍射孔径后，出射光波的复振幅：经过透镜和衍射孔径后，出射光波的复振幅： 第 四 章 光的衍射 220,exp2lllkTEEjf 220,exp2llABTTkAEjf 其中，单位振幅的单色平其中，单位振幅的单色平面波正入射照明，复振幅

27、面波正入射照明，复振幅为为 ( , )1B 衍射物体的复振衍射物体的复振幅透射系数为幅透射系数为 ( , )T 代入到菲涅尔衍射公式中，得到：代入到菲涅尔衍射公式中，得到： z等于等于f时，时，上式可化简为：上式可化简为： 第 四 章 光的衍射 2222222201( , )exp,exp22exp11exp,exp22explxykE x yjk zAjj zzzkjxyd dzExykjk zAjj zzzfkjxyd dz 220( , )exp,exp2lExykE x yjkfAjxyd djfff 上式和夫琅和费衍射公式具有完全相同的形式，上式和夫琅和费衍射公式具有完全相同的形式，

28、也就是说，用图（也就是说，用图（a）的衍射装置，可以在透镜的）的衍射装置，可以在透镜的后焦面上观察到衍射孔径的夫琅和费衍射，衍射图后焦面上观察到衍射孔径的夫琅和费衍射，衍射图形的空间扩展与透镜的焦距有关。形的空间扩展与透镜的焦距有关。 如采用图（如采用图（b）的装置，可以证明，仍然可以在透）的装置，可以证明，仍然可以在透镜的后焦面上观察到衍射物体的夫琅和费衍射。镜的后焦面上观察到衍射物体的夫琅和费衍射。 第 四 章 光的衍射 斜入射平面波照明，设入射平面波的方向角为斜入射平面波照明，设入射平面波的方向角为，则照明光波的复振幅可以表示为：则照明光波的复振幅可以表示为： sin( , )exp2B

29、j 图b 透镜后焦面上的复振幅仍然可以用上面的透镜后焦面上的复振幅仍然可以用上面的式子来表示，现在有：式子来表示，现在有： 第 四 章 光的衍射 ,sinexp2,ABTjT 2.球面波照明的情形球面波照明的情形 应用菲涅尔衍射积分公式可以证明，当用球面波照应用菲涅尔衍射积分公式可以证明，当用球面波照明时，只要满足一定的条件，仍然可以在近距离观明时，只要满足一定的条件，仍然可以在近距离观察到物体的夫琅和费衍射。察到物体的夫琅和费衍射。 应用菲涅尔近似，应用菲涅尔近似，s发出的球面波在衍射孔径平面发出的球面波在衍射孔径平面上的复振幅分布为：上的复振幅分布为： 第 四 章 光的衍射 220( ,

30、)exp2kBBjp B0是球面波在中是球面波在中心点的复振幅。心点的复振幅。 透镜出射平面的复振幅分布为：透镜出射平面的复振幅分布为：带入菲涅尔公式可得到：带入菲涅尔公式可得到： 第 四 章 光的衍射 222200( , )( , ) ( , ) ( , )expexp( , )22llABTTkkB EjjTpf 22222222001( , )exp,exp22exp111exp,exp22explxykE x yjk qAjj qqqkjxyd dqB Exykjk qTjj qqpqfkjxyd dq 令令 即观察面位于点光源的共轭像面上时，衍射公即观察面位于点光源的共轭像面上时，衍

31、射公式可化简为：式可化简为： 第 四 章 光的衍射 000lB EEj q当当 111pqf220( , )exp,exp2xykE x yEjk qTjxyd dqq 上式与夫琅和费衍射公式相同。所以，用单色球面上式与夫琅和费衍射公式相同。所以，用单色球面波照明时，在点光源的共轭像面上可以得到夫琅和费波照明时，在点光源的共轭像面上可以得到夫琅和费衍射。由此我们可以得到，无论用什么样的光源照明，衍射。由此我们可以得到，无论用什么样的光源照明，只要满足一定的条件，我们都可以观察到夫琅和费衍只要满足一定的条件，我们都可以观察到夫琅和费衍射。射。 第二节第二节 衍射和傅立叶变换衍射和傅立叶变换 一、

32、计算衍射问题的傅立叶变换方法一、计算衍射问题的傅立叶变换方法 不论是在菲涅尔衍射公式还是在夫琅和费衍射不论是在菲涅尔衍射公式还是在夫琅和费衍射公式中，都有一个线性复指数因子：公式中，都有一个线性复指数因子： 第 四 章 光的衍射 expexp2kxyjxyjddd令：令： /fxd/fyd 就可以将复指数因子表示为：就可以将复指数因子表示为： exp2exp2xyjjffdd三维简谐平面波的复振幅为：三维简谐平面波的复振幅为： 如果用直角坐标系的三个分量表示，则：如果用直角坐标系的三个分量表示，则： 第 四 章 光的衍射 00expE rEj kr 0exp2xyzE rjf xf yf z

33、衍射公式中的复指数因子就相当于一个三维简谐衍射公式中的复指数因子就相当于一个三维简谐平面波，其空间频率为：平面波，其空间频率为： (,)ff实际上它也是一个二维傅立叶变换核实际上它也是一个二维傅立叶变换核 。对于夫琅和费衍射：对于夫琅和费衍射：d=f，衍射公式可写为：衍射公式可写为：第 四 章 光的衍射 221( , )exp,exp22xyE x yjkfAjffd djff /fxf/fyf其中， 设：,exp2a ffAjffd d 衍射孔径,A 的夫琅和费衍射就可以用它的二的夫琅和费衍射就可以用它的二维傅立叶变换和一个复常数的乘维傅立叶变换和一个复常数的乘积来表示，即可以表示为：积来表

34、示，即可以表示为： 其中，复常数可以表示为：其中，复常数可以表示为： 第 四 章 光的衍射 ,(,)E x yg x y a ff221( , )exp2xyg x yjkfjff一般衍射图形的分布都可用辐照度表示：一般衍射图形的分布都可用辐照度表示： 2,L x yE x yE x yEx y则夫琅和费衍射图形的辐照度为：则夫琅和费衍射图形的辐照度为：2221,(,)L x ya fff它的傅立叶变换可以表示为：它的傅立叶变换可以表示为： 第 四 章 光的衍射 22,expkSAjd 22,expexp2ffSkAjjffd dd F于是，菲涅尔变换也可以表示为：于是，菲涅尔变换也可以表示为

35、：,(,)E x yg x yff221( , )exp2xyg x yjk dj dd/fxd/fyd 对于菲涅尔衍射，把积分项中的因子归到衍射孔对于菲涅尔衍射，把积分项中的因子归到衍射孔径的表达式中，就有：径的表达式中，就有： 第三节第三节 单孔的夫朗和费衍射单孔的夫朗和费衍射 一、单缝的夫朗和费衍射一、单缝的夫朗和费衍射第 四 章 光的衍射 单缝的复振幅透过系数可表示为：单缝的复振幅透过系数可表示为： 1,0T 0,2a其他 或或 0Trecta透过衍射物体的光波的复振幅为：透过衍射物体的光波的复振幅为： 0ABTrecta傅立叶变换的缩放定理傅立叶变换的缩放定理 设函数设函数第 四 章

36、 光的衍射 ( )F1exp2f axjx dxFaa( )f x的傅立叶变换为的傅立叶变换为a为不等于零的任意实常数，则有：为不等于零的任意实常数，则有：矩形函数的傅立叶变换矩形函数的傅立叶变换 ： 000exp2exp2sina fAjfdrectjfdac a fa衍射图形的辐照度为：衍射图形的辐照度为：第 四 章 光的衍射 2200( , )expsin2aa xxyyE x yjkfcjffff22200022( , )sin0,0 sinaa xa xyyL x ycLcfffffyf表示衍射图样只存在于表示衍射图样只存在于y=0处，即处，即x轴上，轴上，可省略。可省略。 若用倾斜

37、平面波照明，衍射图形的分布形式不改若用倾斜平面波照明，衍射图形的分布形式不改变，中央亮斑的中心位置平移到了照明光源的共变，中央亮斑的中心位置平移到了照明光源的共轭像点的位置。轭像点的位置。 代入夫琅和费衍射公式，得到单缝的夫琅和费衍代入夫琅和费衍射公式，得到单缝的夫琅和费衍射的复振幅分布为：射的复振幅分布为： 单缝衍射图形的特点单缝衍射图形的特点我们采用菲涅尔子波叠加的原理来介绍。我们采用菲涅尔子波叠加的原理来介绍。 第 四 章 光的衍射 子波元的面积为子波元的面积为dsbd 设设ds为距单缝中心为为距单缝中心为的面元，的面元，到到P点的光程为点的光程为r，中心处的面元，中心处的面元到到P点的

38、光程为点的光程为r0，则这两支光，则这两支光的光程之差为：的光程之差为： 0sin,rrr 代入到基尔霍夫衍射公式中：代入到基尔霍夫衍射公式中：其中，其中，第 四 章 光的衍射 exp( , ),jkrE x yAd dr 00111.rrrr00().ik rrikrikrik reeee 可以得到：可以得到：000sinsin,.sinaE x yCaa其中，其中，C为复常数为复常数 221exp2xyCjkfjff衍射角不是很大的情况下衍射角不是很大的情况下，sintan/x f 单缝衍射图形的分布由单缝衍射图形的分布由sinc函数决定。函数决定。 称为单缝衍射因子。称为单缝衍射因子。

39、第 四 章 光的衍射 00000sin,sinaxa xfE x yCaCacaxff22000sinsin/a xa xa xcfff（1）单色光照明的衍射辐照度分布）单色光照明的衍射辐照度分布 对应光强中央主极大值对应光强中央主极大值(亮条纹亮条纹)；所以在屏幕；所以在屏幕中央，各光束同相位，相干叠加后产生极大光强，中央，各光束同相位，相干叠加后产生极大光强，所以这个零级衍射斑中心就是几何光学像点。所以这个零级衍射斑中心就是几何光学像点。 第 四 章 光的衍射 02000sinsinlim sin/1aa0/,a xfmsin0m 对应衍射极小值即暗条纹。暗条纹的位置是：对应衍射极小值即暗

40、条纹。暗条纹的位置是：00/,m fa xfmxa因为因为m=1，2，第 四 章 光的衍射 sintan/x f0sinam11002sin (), sin (),aa衍射极小对应的衍射角为：衍射极小对应的衍射角为：可表示为：可表示为：002,aa 各极小近似等间距。各极小近似等间距。 两个衍射极小之间，有一个衍射次极大。两个衍射极小之间，有一个衍射次极大。 0/a xf 设：设：,0dL x ydtg的位置就是各级衍射的位置就是各级衍射次极大的位置。解这次极大的位置。解这个方程，得到：个方程，得到：为超越方程为超越方程,只能图解。只能图解。第 四 章 光的衍射 作图求解作图求解2243. 1

41、43. 1ytgy辐照度曲线辐照度曲线00 . 15 . 0223(0,0)L L0y相邻两暗纹的角宽度为：相邻两暗纹的角宽度为： 在中央亮斑内，集中了单缝衍射的绝大部分能量，在中央亮斑内，集中了单缝衍射的绝大部分能量，它的角宽度是相邻两暗纹角宽度的两倍：它的角宽度是相邻两暗纹角宽度的两倍：第 四 章 光的衍射 00cosaa02 /a线宽度为：线宽度为：02/wfa由此可见，当由此可见，当一定时，一定时，0a小，则大，衍射现象显著。大，衍射现象显著。 中央亮斑的大小与波长成正比，波长越长，衍中央亮斑的大小与波长成正比，波长越长，衍射效应越明显，所以可以说几何光学是波动光学射效应越明显，所以可

42、以说几何光学是波动光学当当0时的极限情况。时的极限情况。 点光源照射时的夫琅和费单缝衍射图形点光源照射时的夫琅和费单缝衍射图形 线光源照射时的夫琅和费单缝衍射图形。线光源照射时的夫琅和费单缝衍射图形。 此时的衍射条纹是线光源上各个不相干点光源产生的衍此时的衍射条纹是线光源上各个不相干点光源产生的衍射图样的总和。射图样的总和。 第 四 章 光的衍射 相对复振幅和辐照度分布相对复振幅和辐照度分布第 四 章 光的衍射 (2) 白光照明：白光照明时，衍射条纹除中央极白光照明：白光照明时，衍射条纹除中央极大由于大由于m=0而与波长无关，即各波长的中央极大而与波长无关，即各波长的中央极大都集中在一起，从而

43、形成白色亮纹外，其余各条都集中在一起，从而形成白色亮纹外，其余各条纹都将呈现出彩色，由内向外的颜色依次是由紫纹都将呈现出彩色，由内向外的颜色依次是由紫到红。到红。 第 四 章 光的衍射 二、矩孔的夫朗和费衍射二、矩孔的夫朗和费衍射 矩形孔径的复振幅透射系数可以用二维矩形函矩形孔径的复振幅透射系数可以用二维矩形函数表示：数表示： 第 四 章 光的衍射 00Trectrectab它的傅立叶变换为：它的傅立叶变换为： 0 000000 0,sinsinsinsina ffa bc a fc ba xb ya bccff 矩孔的夫琅和费衍射的复振幅分布和辐照度分布：矩孔的夫琅和费衍射的复振幅分布和辐照

44、度分布： 第 四 章 光的衍射 220 000( , )expsinsin2a ba xb yxyE x yjkfccjffff22220000222200( , )sinsin0,0 sinsina ba xb yL x yccfffa xb yLccff 中央亮斑集中了绝大部分光能，其宽度与单缝中央亮斑集中了绝大部分光能，其宽度与单缝衍射时相似，为：衍射时相似，为： 第 四 章 光的衍射 02/xwfa02/ywfb 三、圆孔的夫琅和费衍射三、圆孔的夫琅和费衍射 由于大多数光学仪器都是圆形光瞳，所以最有由于大多数光学仪器都是圆形光瞳，所以最有实际意义的是圆孔的夫朗和费衍射。实际意义的是圆孔

45、的夫朗和费衍射。 极坐标系中的傅立叶变换公式可由直角坐标系极坐标系中的傅立叶变换公式可由直角坐标系中的傅立叶变换公式直接导出。中的傅立叶变换公式直接导出。 第 四 章 光的衍射 cossin22tan/ 对空间坐标来说：对空间坐标来说： 观察平面上观察平面上空间频率坐标空间频率坐标第 四 章 光的衍射 cossinxryr22tan/rxyy xcossinffuffu22tan/fffuff 代入到直角坐标系的二维傅立叶变换和傅立叶代入到直角坐标系的二维傅立叶变换和傅立叶逆变换公式逆变换公式 第 四 章 光的衍射 200,exp2cosa fuAjfud d 200,exp2cosAa fu

46、jfuf df du 由于是圆对称的，复振幅的分布于由于是圆对称的，复振幅的分布于无关，无关，则傅立叶积分可以简化为单重积分形式则傅立叶积分可以简化为单重积分形式傅立叶傅立叶贝塞尔变换贝塞尔变换 第 四 章 光的衍射 20000exp2cos22a fAjfuddAJfd 0022Af a fJfdf将圆孔函数表示为：将圆孔函数表示为： /ATcirc 它的傅立叶变换为：它的傅立叶变换为：010()2(2)2a fJfdJff 圆孔的夫琅和费衍射的复振幅和辐照度分布：圆孔的夫琅和费衍射的复振幅和辐照度分布：第 四 章 光的衍射 21122exp2222exp22KrfrE rjkfJffrfr

47、JfKrjkfffrf 22112222222022rrJJffKKL rLfrrff令令衍射图样衍射图样 第 四 章 光的衍射 2/2sin/rf 2120JLL衍射图样的极值特性：衍射图样的极值特性： 在在=0时，即对于轴上点时，即对于轴上点P0，即为中央极大值；当，即为中央极大值；当满足满足J1()=0时，光强度为时，光强度为0，有极小值，也就是暗纹。，有极小值，也就是暗纹。此外，在相邻两个极小之间，有一个衍射次极大。此外，在相邻两个极小之间，有一个衍射次极大。光的能量主要是集中在中央亮斑内，这一亮斑通常称光的能量主要是集中在中央亮斑内，这一亮斑通常称为爱里斑。为爱里斑。爱里斑的半径由第

48、一光强极小值处的爱里斑的半径由第一光强极小值处的值决定值决定 。为衍射角为衍射角以角半径来表示：以角半径来表示： 式中，式中，S为圆孔面积，可见，圆孔面积越小，为圆孔面积，可见，圆孔面积越小，爱里斑面积越大，衍射现象就越明显。爱里斑面积越大，衍射现象就越明显。第 四 章 光的衍射 /0.61 /AArf 爱里斑的面积为：爱里斑的面积为：20(0.61) /SfS3.830.612Affr( )/ (0)LL0 . 10sin0.611.12夫琅和费圆孔衍射辐夫琅和费圆孔衍射辐照度分布曲线照度分布曲线sin( )/ (0)LL中央主极大中央主极大第一极小第一极小第一次极大第一次极大第二极小第二极

49、小00.61 /0.81 / 1.12 /10.017500第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 四、光学成像系统的分辨本领四、光学成像系统的分辨本领 光学成像系统对点物所成的像实际上就是系统对光学成像系统对点物所成的像实际上就是系统对这个点物在像面上形成的夫琅和费衍射图样，也这个点物在像面上形成的夫琅和费衍射图样，也可以说，点物经成像系统所成的像就是它经系统可以说，点物经成像系统所成的像就是它经系统衍射后产生的衍射图样。衍射孔径显然就是系统衍射后产生的衍射图样。衍射孔径显然就是系统的孔径，也就是限制了成像光束的孔径光阑。因的孔径，也就是限制了成像光束的孔径光阑。因为光学系统的孔径几乎都

50、是圆形的，所以形成的为光学系统的孔径几乎都是圆形的，所以形成的衍射图样都是夫琅和费圆孔衍射的图样。衍射图样都是夫琅和费圆孔衍射的图样。 光学系统由于孔径的衍射作用，将使分辨率受到光学系统由于孔径的衍射作用，将使分辨率受到一定的限制。所谓分辨率，指的是光学系统能分一定的限制。所谓分辨率，指的是光学系统能分辨开两个靠近的点物或物体细节的能力，它是光辨开两个靠近的点物或物体细节的能力，它是光学成像系统的重要性能指标。学成像系统的重要性能指标。 1瑞利判据瑞利判据 当当S1、S2之间之间的距的距离不同时，得到的衍离不同时，得到的衍射像的情况也有所不射像的情况也有所不同，我们来看下面这同，我们来看下面这

51、三种情三种情况。况。 第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 两物点的衍射光斑，若其中一个的中央两物点的衍射光斑，若其中一个的中央极大，恰与另一个的第一极小相重，则极大，恰与另一个的第一极小相重，则认为这两物点恰可分辨认为这两物点恰可分辨. .瑞利判据：瑞利判据：B这种情况下，两衍射图样的中心的光强度约为中这种情况下，两衍射图样的中心的光强度约为中央极大的央极大的82%82%以上，这可由两个衍射图样的光强曲以上，这可由两个衍射图样的光强曲线简单相加得到线简单相加得到. .大多数人的视觉可以分辨出大多数人的视觉可以分辨出. .A33. 1 n(1) (1) 人眼的分辨本领人眼的分辨本领BBA

52、A0 . 1nA,B A,B 是两物点，近轴情况下是两物点，近轴情况下 sin = .sin = .由折射定律由折射定律, nn. n由瑞利判据由瑞利判据, ,若若ABAB恰可分辨恰可分辨, ,则的中央极大则的中央极大与与B B的第一极小恰相重叠的第一极小恰相重叠3.3.光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领33. 1 n2.2.人眼的分辨本领人眼的分辨本领BBAA0 . 1nA,B A,B 是两物点，近轴情况下是两物点，近轴情况下 sin = .sin = .由折射定律由折射定律, nn. n由瑞利判据由瑞利判据, ,若若ABAB恰可分辨恰可分辨, ,则的中央极大则的中央极大与与B B的第一极

53、小恰相重叠的第一极小恰相重叠第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 眼内最小可分辨角眼内最小可分辨角,22. 1dn,22. 1dn人眼的分辨本领由眼外最小可分辨角量度人眼的分辨本领由眼外最小可分辨角量度. ., n.22. 1d眼外最小分辨角眼外最小分辨角式中式中d d为瞳孔直径，为瞳孔直径， 为光在眼内波长为光在眼内波长, ,/nn第 四 章 光的衍射 人眼瞳孔直径人眼瞳孔直径: :2 8,dmm 若取若取 d=2.5d=2.5毫米，毫米， =550 nm=550 nm，则人眼，则人眼最小分辨角为最小分辨角为1 1 若物体距离人眼太远若物体距离人眼太远, ,或物体太小或物体太小, ,则

54、对人则对人眼的张角小于眼的张角小于1 1角分角分, , 以至于眼睛不能分辨以至于眼睛不能分辨. .解决前一种情况用望远镜解决前一种情况用望远镜, , 解决后一种情况解决后一种情况用显微镜用显微镜. . 望远镜和显微镜的作用望远镜和显微镜的作用, ,是把被自己分辨的是把被自己分辨的物体再放大物体再放大, ,使其对眼睛的张角大于使其对眼睛的张角大于1 1 . .3望远物镜的分辨本领望远物镜的分辨本领 设设望远物镜的有效通光孔径的直径为望远物镜的有效通光孔径的直径为D，焦距，焦距为为f，光波长为，光波长为，则它对远处物点所成的像的爱则它对远处物点所成的像的爱里斑的角半径为：里斑的角半径为： 第 四

55、章 光的衍射 1.22 /AD 根据瑞利判据，根据瑞利判据，可得到望远物镜可得到望远物镜的最小分辨角为：的最小分辨角为： 0.61 /A 4照相物镜的分辨本领照相物镜的分辨本领 和焦距相比，照相物镜要成像的物体是较远的，和焦距相比，照相物镜要成像的物体是较远的，其像面即感光胶片所在的位置大约就是焦面的位置。其像面即感光胶片所在的位置大约就是焦面的位置。若照相物镜的孔径为若照相物镜的孔径为D，焦距为，焦距为f，则它的分辨率，则它的分辨率N通常用最靠近的两直线在感光胶片上的距离通常用最靠近的两直线在感光胶片上的距离第 四 章 光的衍射 x的倒数来定义。的倒数来定义。 1.22/xfD则则N为：为：

56、1/1.22NxDf若取若取=550nm，则，则N又可表示为：又可表示为：1490/NDf 式中，式中，D/f是是物镜的相对孔径。由上式可见，照相物镜的相对孔径。由上式可见，照相物镜的相对孔径越大，其分辨率越高。物镜的相对孔径越大，其分辨率越高。 当然，对于照相系统来说，限制系统的分辨本领当然，对于照相系统来说，限制系统的分辨本领的除了物镜的分辨率以外，还有感光胶片的分辨的除了物镜的分辨率以外，还有感光胶片的分辨率。为了充分利用物镜的分辨率，就要选择分辨率。为了充分利用物镜的分辨率，就要选择分辨率比物镜高的感光胶片率比物镜高的感光胶片 。第 四 章 光的衍射 5显微镜的分辨本领显微镜的分辨本领

57、 限制系统成像孔径大小的是物镜的边框，所以，限制系统成像孔径大小的是物镜的边框，所以，物镜框即限制了显微镜的分辨本领。物镜框即限制了显微镜的分辨本领。 设显微物镜孔径光阑的直径为设显微物镜孔径光阑的直径为D，则其衍射像的，则其衍射像的爱里斑的半径为：爱里斑的半径为： 第 四 章 光的衍射 1.22/ArlD 这时两物点之间这时两物点之间的距离的距离就是物镜所就是物镜所能分辨的最小距离。能分辨的最小距离。 阿贝成像条件阿贝成像条件 nsinu称为物镜的数值孔径，通常以称为物镜的数值孔径，通常以NA表示。表示。 第 四 章 光的衍射 sinsinnunu 在在l D时，时，sinu 近似地可表示为

58、：近似地可表示为：sin/2uuDlsin0.610.61sinsinununuNA 五、特殊物体的夫琅和费衍射五、特殊物体的夫琅和费衍射1屏的衍射屏的衍射巴比内原理巴比内原理 一个屏的开孔部分正好与另一个屏的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分相对应，一个屏的不透明部分相对应，称为互补屏。称为互补屏。它们的复振幅透过系数满足：它们的复振幅透过系数满足： 巴比内原理：两个互补屏在衍射场中某点单独巴比内原理：两个互补屏在衍射场中某点单独产生的光场复振幅之和等于无衍射屏、光波自由产生的光场复振幅之和等于无衍射屏、光波自由传播时在该点产生的光场复振幅。传播时在该点产生的光场复振幅。第 四 章 光的衍射

59、 ( , )( , )1TT ( )( )( )EPEPEP( )EP( )EP( )EP当光波不受限制时，考察点当光波不受限制时，考察点P处的复振幅为处的复振幅为则有：则有：分别表示分别表示、单独放在光源和观察屏之单独放在光源和观察屏之间时，观察屏上间时，观察屏上P点处的光场复振幅。点处的光场复振幅。 (4.103) 在夫琅和费衍射平面上，除了透镜后焦面的中心在夫琅和费衍射平面上，除了透镜后焦面的中心F点以外，恒有：点以外，恒有： 第 四 章 光的衍射 对于夫琅和费衍射，对对于夫琅和费衍射，对(4.103)式的两边作傅立叶变换，式的两边作傅立叶变换，可以得到：可以得到：( )( )( , )

60、EPEPx y( )( )EPEP ( )( )LPLP 衍射孔衍射孔和它的互补屏和它的互补屏的夫琅和费衍射，在除了的夫琅和费衍射，在除了衍射考察平面中心点之外的一切考察点上，复振幅的衍射考察平面中心点之外的一切考察点上，复振幅的位相相差位相相差，辐照度则完全相同。，辐照度则完全相同。 2随机颗粒的夫琅和费衍射随机颗粒的夫琅和费衍射 应用巴比内原理，还可以测量散射小颗粒或细应用巴比内原理，还可以测量散射小颗粒或细丝的直径的大小。丝的直径的大小。 第 四 章 光的衍射 3直边的夫琅和费衍射直边的夫琅和费衍射直边半无限平面的复振幅透射系数可表示为阶跃函数。直边半无限平面的复振幅透射系数可表示为阶跃