高一数学必修1知识点总结及练习题

1、期中考复习第一章 集合与函数概念（10，11班）一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(P1,1)(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y（解题时，最后注意检验是否满足互异性）研究p3,7、8;(3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N

2、*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 2，集合的表示法（研究P2，8；）1） 列举法：a,b,c2） 描述法：M=y|y=x2-2x+1,xR M=x|y=x2-2x+1,xR(注意代表元素！)(P5,2)3） Venn图:（研究P5，4/7/9）4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5（研究P3，2）二、集合间的基本关系（切记，有包含关系要优先考虑空集）(P3、10)1.“包含”关系子集（最高次项前面有参数时，要讨论它与0的关系）注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合

3、。2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算（p3,6;P4，4/7/10,P5，10;P6,5/8）运算类型交 集并

4、集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）SA记作，即CSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是

5、（ ）A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则M与N的关系是 .4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m的值(注意：解不等式时，乘以除以一个数时，注意讨论它的符号，如果是

6、负数，记住变号。)二、函数的有关概念 定义(P9，1/;P10，1)1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。（1）具体函数的定义域时列不等式组的主要依据是(P30,9;P37,2/4)(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.抽象函数定义域：(P9,6;P21,5;)u 相同函数的判断方法

7、：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；u 定义域一致 (P9，3时具备)2值域 : 先考虑其定义域(P9，7/8;P10，10/6;P14，6)(1)观察法 （遇见上下都有x，优先分离常数）(2)配方法(3)代换法2、函数的解析表达式(P10，9、4)求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法已知fx2，求f(x)2) 待定系数法已知一次函数f(x)满足f(f(x)4x1，求f(x)3) 换元法已知f(2)x4，求f(x)（注意新换元的范围）4) 消参法（函数方程法）已知：3. 函数图象知识归纳A、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换（P10，2）4

8、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间5映射（箭射靶，且箭要全射出去）定义：(P11，1/3/5/6/7/9/10)对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。一一映射：一对一，且集合B当中没有多余的元素（P11，8）6.分段函数 （一般画图处理题目）（P11，9;P12，7;P24，10)(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是

9、各段值域的并集注意：分段函数单调性，除了保证每一段的单调性，还要保证最值之间的关系，即整体的单调性。（补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(P12，1/2;P14，2/3)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时

10、，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：（P14，9/8;P15，9;P30,10） 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（指出函数f(x

11、)在给定的区间D上的单调性）(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性(P14，4;p31,9;P39,8)复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. （D）利用已知函数的单调性。（一次函数，二次函数，反比例函数，双勾函数，对数函数，指数函数）(P12，3/4/5/6;P14，1/5)注：增+增=增；减加减=减（P13，3/4）8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，

12、那么f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称（图像法）利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数注意：（1）函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称

13、则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇 （2）奇函数在对称区间单调性相同，如果x=0有意义，注意利用f(0)=0解题；偶函数在对称区间单调性相反。9.抽象函数的单调性和奇偶性(P14，9;P15，10;P24，11，12;P23，9/6)10函数最大（小）值 利用二次函数的性质求函数的最大（小）值(P16，9/2/5/8;P17，8）先画图，画出对称轴，移动区间对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，

14、都只有以下两种结论：（1）若，则，；（2）若，则，另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。 利用图象求函数的最大（小）值(P22，5;) 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；11:恒成立问题转化为最值问题，（一般求什么，就把它放到一边。）(p24,9;P17,8;P

15、37,6/7/10；p44,6;p45,4;)例题：1.求下列函数的定义域： 2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为，则函数的定义域是 4.函数 ，若，则= 5.求下列函数的值域： (3) (4)6.已知函数，求函数，的解析式7.已知函数满足，则= 。8.设是R上的奇函数，且当时,则当时= 在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： 10.判断函数的单调性并证明你的结论11.设函数判断它的奇偶性并且求证： 第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂，正数的分数指数幂

16、的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）·（2）（3）注意利用平方差公式，完全平方之间的关系，以及立方差公式。（p27,9,10,p28,9/10;p29,4/6）（二）指数函数及其性质（注意值域大于零）2、指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域 R定义域 R值域y0值域y0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有

17、；二、对数函数 （切记真数大于零，注意定义域） （一）对数说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数（二）对数的运算性质如果，且，那么： ·； ； 注意：换底公式（，且；，且；）利用换底公式推导下面的结论(P35,3/5/6/8/9;P36,3/4/6/8)（1）；（2）（3）(注意：解对数指数方程不等式，或者比较大小都是化为同底数。若真数一样，利用换底公式（2）；同时解对数方程时，要验根，是否真数大于0)（二）对数函数(区别清楚定义域为R和值域为R，x2前面有参数时，别忘记讨论它与0的关系)1

18、、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且2、对数函数的性质：a>10<a<1定义域x0定义域x0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）注意：对于y=loga g(x),若u=g(x)为二次函数，先画图，取x轴上半部的图像，再结合图像解题。（一定注意先求定义域，真数大于0）f(x)= 的图像要记住，若有f(a)=f(b),则a,b互为倒数。（三）幂函数（a=-1,1/2,2,3的图像必须掌握）（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴(p22,1)总结：幂函数在第一象限为减函数，则;为增函数，则；幂函数为奇函