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1、2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) * 周晖杰 2009/10/21一、 计算题1、求.解: 。2、计算.解: 。法二：，令。3、设，求.解: ,则，则 被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: , 解得: .4、计算.解: , 其中如右图.5、计算,其中为圆柱面.解: 被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上

2、，求：（1） 通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2） 此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积. 解:旋转曲面上任意取一点则的坐标为： ， 化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为： .四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.解： 由于具有轮换对称性,令, 或解得驻点: 或对, ,在圆周上,由条件极值得:令解得: ,;在圆周上,由条件极值得:令解得: , ,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数的系数满足,求此幂级数的和函数.证明： 而,即: 一阶非齐次线性微分方程-常数变易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解为: ,由于,解得, 故的和函数. 法二：，同学们自行完成。六、(15分)已知二阶可导,且,(1) 证明:.(2) 若,证明.证明: (1) 要证明

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