第七章空间解析几何与向量代数

1、第七章 空间解析几何与向量代数向量是解决工程技术问题的重要工具，空间直角坐标系是研究向量和多元函数的基础。本章在建立了空间直角坐标系的基础上研究向量的概念、运算及其应用，并以向量为工具来讨论空间的直线和平面，最后介绍空间曲线的几种特殊的二次曲面。§7.1 空间直角坐标系与向量的概念 在平面直角坐标系内，我们将平面上的任意点P与有序实数对建立起一一对应关系，由此将平面曲线与方程建立了一一对应关系。为建立空间图形与方程的联系，我们需要建立空间的点与有序数组间的一一对应关系，这种对应关系可以通过建立空间直角坐标系来实现。一 空间直角坐标系1 空间直角坐标系的建立在空间，任取一点O,经过点O

2、作三条相互垂直的直线，它们都以O为原点，一般具有相同的单位长度；分别取它们的正向，使它们成为三条数轴分别称为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴。三个坐标轴正向一般构成右手系，即伸开右手，让拇指和四指垂直，当右手四指从轴正向以逆时针旋转90°角转向轴正向是，大拇指的指向就是轴的正向（如图7-1）。这样就构成了空间直角坐标系，点O称为坐标原点。在空间直角坐标系中，任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面。例如：由轴、轴确定的坐标平面为平面，同理还有平面、平面。三个坐标面把空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限，由上到下，按逆时针方向可分别用、表示。2 空间上点的坐标设M为空间上

3、一点，过点M分别作轴，轴，轴的垂线，垂足依次为P，Q ，R(如图7-2),这三点在轴、轴、轴上的坐标依次为，则空间上的一点M就唯一确定了一个有序数组；反之，若给定一组有序数组，且它们分别在轴，轴，轴上依次对应P，Q ，R 点，过P，Q ，R 分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面的交点就是有序数组所确定的唯一点M .这样，空间一点就与一个有序数组之间建立了一一对应关系，有序数组称为点M的坐标，记为M。，分别称为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。显然，原点O的坐标为，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0.例如：在轴上的点均有；在平面上均有。3 空间两点间的距离公式设空间两

4、点求它们之间的距离,则d=特别地，点 到原点的距离d=例1 求顶点为,的三角形各边的长度。解：由空间两点间的距离公式知： = 7=二 向量概念及其线性运算1.向量的概念在自然科学和工程技术中经常遇到两类量：一类是只有大小的量。例如时间、质量、长度、面积等，这类量称为数量（或标量）；另一类是既有大小又有方向的量，如力、速度、加速度、位移等，这类量称为向量（或矢量）。AB 在数学上，常用有向线段表示向量，有向线段的长度为向量的大小，有向线段的方向为向量的方向，以A为起点，B为终点的有向线段可表示为向量,也可以用黑体小写字母，表示（如图所示）向量的大小称为向量的模，记作（或）；模为1的向量称为单位向

5、量，模为0的向量称为零向量，记作，规定其方向为任意的。数学中，一般只关心向量的大小和方向，不关心其位置，即若两个向量和的模相等，方向相同，则称这两个向量相等，记作=，也就是说，经过平行移动后能够完全复合的向量是相等的，我们称这样的向量为自由向量，本书所讨论的向量均为自由向量。我们规定：一切零向量都相等。2.向量的线性运算（1） 向量的加法：定义1 设已知两个向量，以空间任意一点O为始点作=，=,以OA,OB为边作平行四边形OACB,则从始点到对角顶点的向量 为向量与的和向量。 这种求向量的方法称为向量加法的平行四边形法则。ACBO+求向量的和还有另一种方法，由于向量可以平移，从空间一点O引向量

6、=，从的终点B引向量=，则=+，这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。CBO+ 三角形法则可以推广到任意有限个向量相加的情况。向量加法运算律1） 交换律 +=+2） 结合律 （+）+=+(+)(2)数乘向量定义2 设是向量，为一实数，则与的乘积仍是一个向量，且1） 2) 的方向 3） 当=0或=时，规定=.数乘向量的运算律（）交换律 =结合律 =分配律 =+ （ +）=+向量的加法及数乘向量统称为向量的线性运算.（3）向量的减法定义3 若向量与，长度相等，方向相反，称为的负向量，记为 -，由向量与数乘向量知，-=（-）引入负向量后，我们可以规定两向量的减法，即与的差规定为-=+（-）向量

7、的减法可按三角形法则进行，对已知向量、，从任意点O为始点，作=,=，则的终点B到的终点A的向量=-3 向量的坐标表示（1） 向径及其坐标表示 在空间直角坐标系中，起点在原点O,终点为P的向量,称为点P的向径，记作或。 沿x轴，y轴，z轴正向分别取正向同向的单位向量称为基本向量，分别记，。 设向量的起点在坐标原点O,终点为P()，则向量=，=，=，由向量加法， =+=（+）+=+，（如图所示）简记为 =（2） 任意向量的坐标表示设则以为起点，为终点的向量=- (如图)所以 =（）-() =即以为起点，以为终点的向量的坐标表达式为 =自由向量的坐标是由它的起点和终点坐标唯一确定，不受向量平行移动的

8、影响。(3) 向量线性运算的坐标表示设= ，= ，则有 1）=+2）=（）=例题（3） 向量的模与方向余弦的坐标表示若非零向量（即向量）与三个坐标轴正向间的夹角分别为、，且规定，则称、为向量的方向角，并称方向角的余弦，为向量的方向余弦，且有= = = = 如图 显然 =1 单位向量=即的三个坐标就是非零向量的方向余弦。例题 ：练习 71 §7.2 向量的数量积与向量积7.2.1 数量积1 数量积的概念与性质定义1 给定两个向量和，定义它们的数量积为 = （1）其中是与的夹角。例1 设物体在常力F作用下，由点A沿直线移动到点B，移动的距离为L,F与的夹角为（如图），求力F所做的功W.

9、解：由物理意义知W= ，而L=, 所以，由数量积的定义知 W=F .由数量积的定义容易推出 （1） （2）设为非零向量，则有 （3）两个非零向量与之间的夹角公式 （4）对基本单位向量，有 数量积还满足如下运算律（1） 交换律：（2） 结合律：（3） 分配律：2. 数量积的坐标表示设 ， ，则 例2 设=4，-2,1 ，=2，-1，t,确定t,使（1） ，（2）。解：（1）， =4×2+（-2）×（-1）+t = 0 解之得 t=-10(2) ,由数与向量的乘法可知 即 ，解之 t 例3 设=-1，-1,4 ，=-1，2，-2,求的夹角。 解：由夹角公式=. .7.2.2 向

10、量积 由力学知识可知，恒力F对某中心O的力矩是一向量M,其模为为与F夹角，F与M正向符合右手规则，这是由两个具有实际物理意义向量确定另一向量的问题。在自然科学与工程技术中，还有许多“两个向量按上述规律确定一新向量”的问题，一一般的，有下面定义 图1 图2 定义2 设、为任意两个向量，则它们的向量积（叉积）是一个向量，用即表示，并且 （1） （） 为两向量夹角。 （2）垂直于和，且符合右手法则， （如图） 向量积满足以下运算律（为向量，为实数）（数量积不满足交换律） 由向量积定义可推出：（1） 向量与的数量积的模在几何上表示以、为邻边的平行四边形的面积 ；（如图）（2） 对于两个非零向量与，；（

11、3） 两个非零向量与的夹角公式；（4） 对基本单位向量，有 ， （5） 设 ，则两个向量的向量积的坐标表示式为=例4 设，求。解：= = =练习题7.2§7.3 平面与直线本节重点讨论在空间直角坐标系中如何利用向量建立平面和直线的方程。§ 平面方程 1.平面的点法式方程 定义1 若一个非零向量垂直于一已知平面，则称这个向量为平面的法向量。设在平面上，的法向量,由此，我们来建立这个平面的方程（如图）设为所求平面上任一点，那么可得向量，由空间解析几何性质知,则P在平面上的充要条件是即 （1）这就是平面的方程。由于方程（1）是由平面上一点及它的一个法向量确定的，所以该方程为平面的

12、点法式方程。例1 求过点,和三点的平面方程。2.平面的一般方程由式（1）可得 若令 D=，则平面的点法式方程可写成 ，这是一个三元一次方程，反之，对任意一个三元一次方程，（不同时为0），可任取满足该方程的一组数，那么有，则由可得 ，这是过点以为法向量的平面方程。所以， （2）表示一个平面，称（2）为平面的一般式方程。下面讨论（2）式的一些特殊情况：（1）当D=0时，（2）式成为，平面通过原点；（2）当A=0时，（2）式成为，法向量为,它与垂直，所以平面平行于轴. 同理，方程，分别表示平行于轴、轴的平面；（3）当A=D=0时，由（1）、（2）知平面通过轴.同理，、分别表示通过轴、轴的平面；（4）

13、当A=B=0时，方程为，其法向量与平行，所以该平面平行于坐标面。同理，方程，分别表示平行于、的平面。注意：在平面解析几何中，二元一次方程表示一条直线，在空间解析几何中，二元一次方程表示一个平面。例3 求通过轴和点（4，-3,1）的平面方程。3.平面的截距式方程 设一平面的一般方程为，若该平面与、轴分别交于、三点（如图），其中全不为零，则这三点均满足平面方程，既有 解方程组得 ，代入所设平面方程中（因平面不过原点，所以）,得 即得所求平面方程为此方程称为平面的截距式方程，其中分别称为平面在轴、轴、轴上的截距。例4 一平面过点A(5,4,3),且在各坐标轴上的截距相等，求该平面的方程。例5 写出平

14、面的截距式方程，并画图。§7.3.2 直线的方程 1 直线的点向式方程 一直线过空间一点且与一已知非零向量平行，则直线在空间的位置就完全确定了，向量称为直线的方向向量，下面来建立直线的方程：如图所示，设为直线上不重合于的任意一点，那么平行于，由数量与向量的乘积可知，=，由于=从而得 （1）反之，满足式（1）的点一定在直线上，所以称为直线的点向式方程。思考：空间上直线表示式是唯一的吗？注：因为是非零向量，所以不同时为零。若其中某个为零时，例如，则式（1）应理解为若两个为零时，例如，则式（1）应理解为 2 直线的一般式方程 空间上任意直线都可看作两个平面的交线，因此，一条直线在空间直角坐

15、标系中就可以由两个平面方程来表示。 设平面，的方程分别为 : :它们的交线为,则空间任一点在直线上的充要条件是：它同时在平面，上，即点的坐标应满足方程组 (2)它们的交线为的方程，由于是由两个平面的一般方程联立而成，因此称为直线的一般方程。注：通过空间 直线的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任选两个，把这两个平面联立，所得的方程组就表示直线。3 直线的参数方程由直线的点向式方程，设其比值为，则有 =，那么直线方程可写成如下形式： （3）式（3）称为直线的参数方程。例1.求过点（1,0，-3）且与平面垂直的直线方程。例2. 求过点M(1,1,1)且与直线L:平行的直线方程。例3 把直线的一

16、般式方程 化为直线的点向式方程和参数方程。 直线、平面的位置关系1 平面与平面的位置关系 两平面法向量的夹角，称为两平面的夹角（取锐角），如图所示设两平面，的方程分别为 ，它们的法向量分别为,则与的夹角余弦 = (4)并且有=例1 已知一平面过点A(3，-1，-5)且与平面和都垂直，求其方程.2 直线与直线的位置关系两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角（取锐角）设两直线和的方程分别为，,它们的方向向量分别为=，=，因此与的夹角余弦为= （5）特别地，有=； .3 直线与平面的位置关系直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角.设直线与平面的垂直线的夹角为，与的夹角为，则.求直线与平

17、面夹角，就转化为求直线与直线的夹角.因为平面的法向量是平面垂线的方向向量，可由公式（5）先求出直线与平面垂线的夹角，则直线与平面的夹角随之可得.设，分别是直线的方向向量和平面的法向量，由两向量夹角的余弦公式，有= 特别地，有； =.例1 练习§7.4 曲面和空间曲线 在平面直角坐标系下，方程的几何图形是平面上的一条曲线，本节将讨论在空间直角坐标系下方程所表示的常见图形空间中的曲面和曲线. 曲面方程引例 设点到两个定点A(3，-1,2)和B(0,1，-1)的距离相等，则点P的轨迹就是A,B两点的垂直平分面，问：点P的三个坐标之间的关系是什么？解：由,根据两点间距离的公式得 =整理得 （

18、1）于是，点P的三个坐标是这个方程的解，通常称点P的坐标满足方程（1），或称点P满足方程（1）.反之，如果方程（1）有一个解，它所对应空间中的点为，按上面的推导反推回去，可知点P到点A,B的距离是相等的，从而这样的点P在A,B两点的垂直平分面.由此我们引入曲面方程的概念.定义 若曲面S和三元方程满足：（1）曲面S上的任意一点的坐标都满足方程;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程.那么称方程为曲面S的方程，曲面S称为方程的图形，（如图）我们知道平面方程是关于的三元一次方程，所以平面是曲面的特殊情形，关于的二次方程所表示的曲面，称之为二次曲面.本节重点研究下面两个基本问题：(1)已知曲面上的点

19、所满足的几何条件，建立曲面的方程.(2)已知曲面的方程，研究曲面的几何形状. 曲面方程的建立下面介绍几种特殊的二次曲面及其方程的建立.1.球面建立以为球心，R为半径的球面方程.设是球面上任意一点（如图），则有,而 =，所以 （2） 这就是以点为球心，R为半径的球面方程.注：当时，得球心在原点，半径为R的球面方程为.例1 2.柱面 平行于定直线并沿定曲线L移动的直线C所形成的曲面称为柱面.定曲线L称为柱面的准线，动直线C称为柱面的母线. 先考察方程在空间中表示什么样的曲面. 在面上，它表示圆心在原点O、半径为R的圆；在空间直角坐标系中，方程不含竖坐标，因此，对空间一点，不论竖坐标取何值，只要它的

20、横坐标和纵坐标能满足方程,这一点就落在曲面上，即所有通过面内圆上一点，且平行于轴的直线L都在该曲面上，因此，该曲面可看作时平行于的直线L（母线）沿着面上的圆（准线）移动而形成，称该曲面为圆柱面.(如图) 一般地，在平面直角坐标系中，方程表示一条平面曲线，在空间直角坐标系中，方程表示以面上的曲线C: 为准线，母线平行于轴的柱面，（如图）类似地，方程表示以面上的曲线:为准线，母线平行于轴的柱面.思考：方程表示什么样的柱面？例2试说明下列方程表示什么曲面.解：3 .旋转曲面平面曲线C绕同一平面上定直线L旋转一周所形成的曲面，称为旋转曲面，定直线L称为旋转轴.建立面上一条曲线C:，绕轴旋转一周所形成的旋转曲面