角平分线和全等三角形证明分类

1、 精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：初二 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型T 角平分线C专题精讲授课日期时段 教学内容1. 角平分线的作法（尺规作图） 以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； 分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； 过点P作射线OP，射线OP即为所求  2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，OP平分MON（12）， PAOM， PBON， PAPB。（2）角平分线的判定：到

2、角的两边的距离相等的点在角的平分线上 几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上） 如图所示，PAOM，PBON，PAPB， 12（OP平分MON）（3） 三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。3. 角平分线性质及判定的应用 为推导线段相等、角相等提供依据和思路； 实际生活中的应用 例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米在下图中标出工厂的位置，并说明理由【例题讲解】1在ABC中，ACBC，AD为BAC的平分线，DEAB，AB7，AC3，求BE的长。EDCBA2如图：在ABC中，C=

3、90° AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； EABCDF 求证：CF=EB3.如图，P为AOB内一点，OA=OB，且OPA与OPB面积相等，求证AOP=BOP.4.如图，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分BAC.【同步练习】1.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与DE相等？为什么？若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长ABCDE2已知，如图DABC中，AB=AC，D是BC的中点。求证：D到AB、AC的距离相等。 3.ABC中，C=90°，AD为角平分线

4、，BC=64，BDDC=97,求D到AB的距离.4.如图，在ABC中，C=90°，AC=BC，AD是A是角平分线求证：AC+CD=AB角平分线性质的应用（一）证明线段相等例1 已知：如图，B=C=90°，DM平分ADC，AM平分DAB。求证：MB=MC（二）证明角的平分线例2已知，如图AF、CF是DABC的外角 DAC、 ACE的平分线求证：点F必在 B的平分线上。（三）证明角相等例3.如图，C、D是AOB平分线上的点，CEOA于E，CFOB于F 求证：CDE=CDF 基础知识扫描1.点O是ABC内一点,且点O到三边的距离相等,A=60°,则BOC的度数为( )A

5、.60° B.90° C.120° D.150°2.如图1,AB=AD,CB=CD,AC、BD相交于点O,则下列结论正确的是( ) A. OA=OC B. 点O到AB、CD的距离相等 C. 点O到CB、CD的距离相等 D. BDA=BDC 3.ABC中,C=90°,点O为ABC三条角平分线的交点,ODBC于D,OEAC于E,OFAB于F,且AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,则点O到三边AB、AC、BC的距离为( )A.2cm 2cm 2cm; B. 3cm 3cm 3cm; C. 4cm 4cm 4cm; D. 2cm 3cm 5cm

6、 4.到一个角的两边距离相等的点在 ;角平分线上的点到这个角的两边的距离 .5.如图2,ABC中,B=90°, A、C的平分线交于点O，则AOC的度数为 .能力训练升级 6.如图3,P是AOB的平分线上的一点,PEOA于E,PFOB于F,OP与EF的位置关系是 7.如图4，在ABC中，C=90°，AC=BC，AD平分CAB交BC于点D，DEAB，垂足为E，且AB=6cm，则DEB的周长为_ cm.8.如图,已知BE平分ABC,CE平分ACD,且交BE于E.求证:AE平分FAC. 9.如图,已知ABC中,AB=AC,D是BC的中点,求证:D到AB、AC的距离相等. 【探究创新

7、实践】10.如图,已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O.(1)若DBAC于D,CEAB于E,试判断OE与OD的大小关系.并证明你的结论.(2)若没有第（1）中的条件,是否有这样的结论?试说明理由. 1、 专题精讲 【题型一】公共边类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 A B C D D C B A 注意隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CAA B C D B C A DD 【例1】 在中，AB=AC,AD平分BAC，求证：【例2】如图, ABC=DCB, ACB=DBC,求证：AC=DB.A B C DD 【例3】已知：如图，ABCD，ABCD求证：ADBC【题

8、型二】边加减类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 图形4 A B F E C D (4) A B E F D C (3) A BB F E D C (2) A D B E F C (1) BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE 【例4】已知点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF. 求证：A=D.A D B E C F 【例5】如图，已知：求证：.【例6】如图，已知：.求证：（1）;(2)AEDF. BCDEFA【例

9、7】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEF【题型三】公共角类型的全等三角形 【例8】如图，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE.【题型四】对顶角类型的全等三角形图形1 图形2 【例9】如图1，已知：AB=CD，AD=CB.求证：B=D. 【例10】如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分别交AB、CD于点E,F，求证：OE=OF 【题型五】旋转类型的全等三角形 图形1 图形2 图形3 图形4 【例10】已知：如图(1)，AB=AD，BC=DE，1=2.求证：(1)AC=AE； (2) CAE=CDE.【例11】已知：如图(2)，E=F=90°，B=C，AE=AF，给出下列结论：1=2；BE=CF；CANABM；CD=DN.其中正确的结论是_.【例12】如图，已知AB=AD， B=D，1=2，证明：BC=DE【题型六】大山型的全等三角形【例14】已知：如图，ABCD,EDBD，AB=CD，BC=DE，求证：ACCE.同步练习：1. 如图所示，已知，E是AC上一点. 求证：. 2. 已知：如图，AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证：AE=DE.3.如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE