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1、课时达标检测(六) 函数的奇偶性及周期性小题对点练点点落实对点练(一)函数的奇偶性1在函数yxcos x,yexx2,ylg,yxsin x中,偶函数的个数是()A3B2 C1D0解析:选Byxcos x是奇函数,ylg和yxsin x是偶函数,yexx2是非奇非偶函数,所以偶函数的个数是2,故选B.2已知函数f(x)asin xblnt,若ff6,则实数t()A2B1C1D3解析:选D令g(x)asin xbln,则易知g(x)为奇函数,所以gg0,则由f(x)g(x)t,得ffgg2t2t6,解得t3.故选D.3若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,则“f(x)与g(x)同是奇函数或同
2、是偶函数”是“f(x)·g(x)是偶函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件解析:选A若函数f(x)与g(x)同是R上的奇函数或偶函数,则f(x)·g(x)f(x)·(g(x)f(x)·g(x)或f(x)·g(x)f(x)·g(x),即f(x)·g(x)是偶函数,充分性成立;必要性不成立,如f(x)g(x)满足f(x)·g(x)是偶函数,但f(x)与g(x)都不是奇函数或偶函数故选A.4f(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x)x3ln(1x),则当x<0时,f(x)()A
3、x3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x)Dx3ln(1x)解析:选C当x<0时,x>0,f(x)(x)3ln(1x),f(x)是R上的奇函数,当x<0时,f(x)f(x)(x)3ln(1x),f(x)x3ln(1x)对点练(二)函数的周期性1设f(x)xsin x(xR),则下列说法错误的是()Af(x)是奇函数Bf(x)在R上单调递增Cf(x)的值域为RDf(x)是周期函数解析:选D因为f(x)xsin(x)(xsin x)f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;因为f(x)1cos x0,所以函数f(x)在R上单调递增,故B正确;f(x)的值域为R,故C正确
4、;f(x)不是周期函数,D错误,故选D.2函数f(x)的周期为4,且x(2,2,f(x)2xx2,则f(2 018)f(2 019)f(2 020)的值为_解析:由f(x)2xx2,x(2,2知f(1)3,f(0)0,f(2)0,又f(x)的周期为4,所以f(2 018)f(2 019)f(2 020)f(2)f(1)f(0)0303.答案:33已知定义在R上的函数f(x)满足f(x3)f(x),当3x<1时,f(x)(x2)2,当1x<3时,f(x)x,则f(1)f(2)f(3)f(2 017)_.解析:因为f(x3)f(x),所以f(x6)f(x),即函数f(x)是周期为6的周
5、期函数,当3x<1时,f(x)(x2)2,当1x<3时,f(x)x,所以f(3)1,f(2)0,f(1)1,f(0)0,f(1)1,f(2)2,所以f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)1010121,所以f(1)f(2)f(3)f(2 017)336×f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(2 017)336f(1)3361337.答案:337对点练(三)函数性质的综合问题1已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)f(x1),若f(0)2,则f(2 018)的值为()A2B0C2D±2解析:选Cg(x)f(x1)
6、,g(x)f(x1)又g(x)f(x1),f(x1)f(x1),f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,f(2 018)f(2)f(02)f(0)2.2已知函数f(x)是R上的奇函数,且在区间0,)上单调递增,若af,bf,cf,则a,b,c的大小关系为()Ab<a<cBc<b<aCb<c<aDa<b<c解析:选B<<,tan<1<cos<0,又sin>0,tan<cos<sin.函数f(x)是R上的奇函数,且在区间0,)上单调递增,函数f(x)是R上的增
7、函数,c<b<a,故选B.3已知定义在(1,1)上的奇函数f(x),其导函数为f(x)1cos x,如果f(1a)f(1a2)<0,则实数a的取值范围为()A(0,1)B(1, )C(2, )D(1,)(,1)解析:选B依题意得f(x)>0,则f(x)是定义在(1,1)上的增函数不等式f(1a)f(1a2)<0等价于f(1a2)<f(1a)f(a1),则有解得1<a<,选B.4已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2x)f(x)(xR),当0<x1时,f(x)ln x2,则函数yf(x)在区间(2,4上的零点个数是()A7B8 C9D10解析
8、:选C由函数f(x)是奇函数且满足f(2x)f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,且关于直线x12k(kZ)成轴对称,关于点(2k,0)(kZ)成中心对称当0<x1时,令f(x)ln x20,得x,由此得yf(x)在区间(2,4上的零点分别为2,0,2,2,2,4,4,共9个零点,故选C.5已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)4x,则ff(1)_.解析:f(x)为奇函数,周期为2,f(1)f(12)f(1)f(1),f(1)0.f(x)4x,x(0,1),ffff42.ff(1)2.答案:26已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(,0)上单调递增
9、若实数a满足f(2|a1|)f(),则a的取值范围是_解析:f(x)是偶函数,且在(,0)上单调递增,f(x)在(0,)上单调递减,f()f(),f(2|a1|)f(),2|a1|2,|a1|,即a1,即a.答案:7已知函数g(x)是R上的奇函数,且当x<0时,g(x)ln(1x),函数f(x)若f(2x2)>f(x),则实数x的取值范围是_解析:设x>0,则x<0.x<0时,g(x)ln(1x),g(x)ln(1x)又g(x)是奇函数,g(x)ln(1x)(x>0),f(x)其图象如图所示由图象知,函数f(x)在R上是增函数f(2x2)>f(x),2
10、x2>x,即2<x<1.所以实数x的取值范围是(2,1)答案:(2,1)大题综合练迁移贯通1已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)0,当x>0时,f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x21)>2.解:(1)当x<0时,x>0,则f(x)log (x)因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)f(x)所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42,f(x)是偶函数,所以不等式f(x21)>2可化为f(|x21|)>f(4)又因为函数f(x)在(0,)上是减函数,所以|x21|<4,解得&
11、lt;x<,即不等式的解集为(,)2已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间1,a2上单调递增,求实数a的取值范围解:(1)设x<0,则x>0,所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数,所以f(x)f(x),于是x<0时,f(x)x22xx2mx,所以m2.(2)要使f(x)在1,a2上单调递增,结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a3,故实数a的取值范围是(1,33函数f(x)的定义域为Dx|x0,且满足对任意x1,x2D,有f(x1·x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)1,f(x1)<2, 且f(x)在(0,)上是增函数,求x的取值范围解:(1)对于任意x1,x2D,有f(x1·x2)f(x1)f(x2),令x1x21,得f(1)2f(1),f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明:令x1x21,有f(1)f(1)f(1),f(1)f(
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