《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）函数的单调性与最值（含解析）

1、第三节函数的单调性与最值知识能否忆起一、函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间二、函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为

2、I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值小题能否全取1(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1Byx3Cy Dyx|x|解析：选D由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由yx|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()Ak> Bk<Ck> Dk<解析：选D函数y(2k1)xb是减函数，则2k1<0，即k<.3(教材习题改编)

3、函数f(x)的最大值是()A. B.C. D.解析：选D1x(1x)x2x12，0<.4(教材习题改编)f(x)x22x(x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.解析：函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1,485已知函数f(x)为R上的减函数，若m<n，则f(m)_f(n)；若f<f(1)，则实数x的取值范围是_解析：由题意知f(m)>f(n)；>1，即|x|<1，且x0.故1<x<1且x0.答案：>(1,0)(0,1)1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义

4、域的某个子区间上的性质，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调2函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间注意单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结函数单调性的判断典题导入例1证明函数f(x)2x在(，0)上是增函数自主解答设x1，

5、x2是区间(，0)上的任意两个自变量的值，且x1<x2.则f(x1)2x1，f(x2)2x2，f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2)由于x1<x2<0，所以x1x2<0,2>0，因此f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(，0)上是增函数由题悟法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行以题试法1判断函数g(x)在 (1，)上的单调性解：任取x1，x2(1，)，且

6、x1<x2，则g(x1)g(x2)，由于1<x1<x2，所以x1x2<0，(x11)(x21)>0，因此g(x1)g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)故g(x)在(1，)上是增函数求函数的单调区间典题导入例2(2012·长沙模拟)设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)取函数f(x)2|x|.当k时，函数fk(x)的单调递增区间为()A(，0)B(0，)C(，1) D(1，)自主解答由f(x)>，得1<x<1.由f(x)，得x1或x1.所以f(x)故f(x)的单调递增区间为(，1)答案C若本例

7、中f(x)2|x|变为f(x)log2|x|，其他条件不变，则fk(x)的单调增区间为_解析：函数f(x)log2|x|，k时，函数fk(x)的图象如图所示，由图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0， 答案：(0， 由题悟法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间以题试法2函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D

8、2，)解析：选A由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,2单调性的应用典题导入例3(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2m)<f(m2)的实数m的取值范围是_(2)(2012·安徽高考)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.自主解答(1)f(x)在R上为增函数，2m<m2.m2m2>0.m>1或m<2.(2)由f(x)可得函数f(x)的单调递增区间为，故3，解得a6.答案(1)(，2)(1，)(2)6由题悟法单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二

9、是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用以题试法3(1)(2013·孝感调研)函数f(x)在2,3上的最小值为_，最大值为_(2)已知函数f(x)(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a_.解析：(1)f(x)<0，f(x)在2,3上为减函数，f(x)minf(3)，f(x)max1.(2)由反比例函数的性质知函数f(x)(a>0，x>0)在上单调递增，所以即解得a.答案：(1)1(2)1(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)ByCyx Dyx解析：选A选项A的函数yln(x2

10、)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数2若函数f(x)4x2mx5在2，)上递增，在(，2上递减，则f(1)()A7 B1C17 D25解析：选D依题意，知函数图象的对称轴为x2，即 m16，从而f(x)4x216x5，f(1)416525.3(2013·佛山月考)若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增解析：选Byax与y在(0，)上都是减函数，a<0，b<0，yax2bx的对称轴方程x<0，yax2bx在(0，)上为减函数4“函数f(x)在a，b上为单调函数”是“函数f(x)在a

11、，b上有最大值和最小值”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若函数f(x)在a，b上为单调递增(减)函数，则在a，b上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b)所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f(x)x22x3在0,2存在最大值和最小值，但该函数在0,2不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在a，b上单调”是“函数f(x)在a，b上有最大值和最小值”的充分不必要条件5(2012·青岛模拟)已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1x2)，恒有(x1x2)(f(x1)f(x2)>0，则一定正确的是

12、()Af(4)>f(6) Bf(4)<f(6)Cf(4)>f(6) Df(4)<f(6)解析：选C由(x1x2)(f(x1)f(x2)>0知f(x)在(0，)上递增，所以f(4)<f(6)f(4)>f(6)6定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在a，b上有()A最小值f(a) B最大值f(b)C最小值f(b) D最大值f解析：选Cf(x)是定义在R上的函数，且f(xy)f(x)f(y)，f(0)0，令yx，则有f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)f(x)是R上的奇函数设x1

13、<x2，则x1x2<0，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)>0.f(x)在R上是减函数f(x)在a，b有最小值f(b)7函数y(x3)|x|的递增区间是_解析：y(x3)|x|作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.答案：8(2012·台州模拟)若函数y|2x1|，在(，m上单调递减，则m的取值范围是_解析：画出图象易知y|2x1|的递减区间是(，0，依题意应有m0.答案：(，09若f(x)在区间(2，)上是增函数，则a的取值范围是_解析：设x1>x2>2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)f(x2)>0，则2a1&g

14、t;0.得a>.答案：10求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ya12xx2(a>0且a1)解：(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令g(x)12xx2(x1)22，所以g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减当a>1时，函数ya12xx2的增区间是(，1)，减区间是(1，)；当0<a<1时，函数ya12xx2的增区间是(1，)，减区间是(，1)11已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的

15、取值范围解：(1)证明：设x1<x2<2，则f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0，x1x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)设1<x1<x2，则f(x1)f(x2).a>0，x2x1>0，要使f(x1)f(x2)>0，只需(x1a)(x2a)>0恒成立，a1.综上所述，a的取值范围为(0,112(2011·上海高考)已知函数f(x)a·2xb·3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x1)

16、>f(x)时x的取值范围解：(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2R，x1<x2，则f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)2x1<2x2，a>0a(2x12x2)<0，3x1<3x2，b>0b(3x13x2)<0，f(x1)f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数同理，当a<0，b<0时，函数f(x)在R上是减函数(2)f(x1)f(x)a·2x2b·3x>0，当a<0，b>0时，x>，则x>log1.5；同理，当a>0，b<0时，x

17、<，则x<log1.5.1设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有()Af<f(2)<fBf<f(2)<fCf<f<f(2) Df(2)<f<f解析：选C由f(2x)f(x)可知，f(x)的图象关于直线x1对称，当x1时，f(x)ln x，可知当x1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为<<|21|，所以f<f<f(2)2(2012·黄冈模拟)已知函数y的最大值为M，最小值为m，则的值为()A. B.C. D.解析：选C显然函数的定义

18、域是3,1且y0，故y2424242，根据根式内的二次函数，可得4y28，故2y2，即m2，M2，所以.3函数f(x)的定义域为(0，)，且对一切x>0，y>0都有ff(x)f(y)，当x>1时，有f(x)>0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若f(4)2，求f(x)在1,16上的值域解：(1)当x>0，y>0时，ff(x)f(y)，令xy>0，则f(1)f(x)f(x)0.(2)设x1，x2(0，)，且x1<x2，则f(x2)f(x1)f，x2>x1>0.>1，f>0.f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，)上是增函数(3)由(2)知f(x)在1,16上是增函数f(x)minf(1)0，f(x)maxf(16)，f(4)2，由ff(x)f(y)，知ff(16)f(4)，f(16)2f(4)4，f(x)在1,16上的值域为0,41求函数f(x)的单调区间解：设ux2x6，y.由x2x60，得x3或x2.结合二次函数的图象可知，函数ux2x6在(，3上是递减的，在2，)上是递增的又函数y是递增的，函数f(x)在(，3上是递减的，在2，)上是递增的2定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(mn)f(m)·