极坐标与参数方程数学讲义

1、极坐标与参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.二、知识结构1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫

2、做普通方程。 常见的曲线的参数方程2.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程是 (t为参数，其几何意义是PM的数量)(2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tg=的直线的参数方程是(t为参数，) 3.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是(是参数) (2)椭圆 椭圆(ab0)的参数方程是 (为参数)椭圆(ab0)的参数方程是(为参数)(3)抛物线 抛物线的参数方程为4.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，

3、O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用表示线段OM的长度，表示射线Ox到OM的角度 ，那么叫做M点的极径，叫做M点的极角，有序数对(,)叫做M点的极坐标.注意：点与点关于极点中心对称；点与点是同一个点；如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 P(，)（极点除外）的全部坐标为(,)或（，），(

4、Z)极点的极径为0，而极角任意取圆的极坐标方程以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；以为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；直线的极坐标方程过极点的直线的极坐标方程是和. 过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是. 化为直角坐标方程为.过点且平行于极轴的直线l的极坐标方程是. 化为直角坐标方程为.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式 的象限由点(x,y)所在的象限确定三、课前预习1直线的参数方程是（ ）A、（t为参数） B、（t为参数） C、

5、 （t为参数） D、（t为参数）答案：C2已知，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A、 B、 C、 D、答案：A3在极坐标系中，圆=-2sin的圆心的极坐标系是（ ）A、 B、 C、 (1,0) D、(1，)解：将极坐标方程化为普通方程得：，圆心的坐标为，其极坐标为，选B4点，则它的极坐标是( )A、 B、 C、 D、答案：C5直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线 （为参数）和曲线上，则的最小值为( )A、1 B、2 C、3 D、4答案：A6参数方程为表示的曲线是（ ）A、一条直线 B、两条直线 C、一条射线 D、两条射线答案：D7（ ）A、

6、-6 B、 C、6 D、答案：A8极坐标方程化为直角坐标方程是( ) A、 B、 C、 D、答案：A9曲线与曲线的位置关系是（ ）A、 相交过圆心 B、相交 C、相切 D、相离答案：D 10曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（ ）A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线答案：D11在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 .答案：12圆C：(为参数)的圆心到直线：(t为参数)的距离为 。答案：13已知两曲线参数方程分别为和 ，它们的交点坐标为_答案：14以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知曲线、的极坐标方程分别为，曲线的参数方程为（为参数，且），则曲线、所围成的封闭图形

7、的面积是 .答案：四、典例分析考向一 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化相关知识点：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式： 或 【例1 】（1）点M的极坐标分别是，换算成直角坐标依次是 ， ， ， （2）点M的直角坐标分别是，如果换算成极坐标依次是 ， ， ， 【例2】在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 分析：由得所以，圆心坐标过圆心的直线的直角坐标方程为直线的极坐标方程为。【变式1】在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（ B ）A、 B、 C、 D、分析：圆心在即指的是直角坐标系中的圆的直角坐标方程：。圆的极坐标方程为【变式

8、2】已知曲线的极坐标方程分别为（），则曲线与交点的极坐标为_ _.解:曲线的直角坐标方程分别为,且，两曲线交点的直角坐标为（3，）. 所以，交点的极坐标为【变式3】在极坐标系中，已知点（1，）和,则、两点间的距离是 解:如图所示,在OAB中， 评述:本题考查极坐标及三角形面积公式，数形结合是关键。考向二 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化【例3】（1）曲线C:(为参数)的普通方程为 ( C )A、 B、 C、 D、 （2）参数方程表示的曲线是（ ）A、椭圆      B、双曲线 C、抛物线    

9、  D、圆答案：B【变式1】已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则=_。答案：解：抛物线的标准方程为，它的焦点坐标是，所以直线的方程是，圆心到直线的距离为【变式2】若直线与圆（为参数）没有公共点，则实数的取值范围是 .【变式3】直线被圆所截得的弦长为（ ）A、 B、 C、 D、分析:， 得圆心到直线的距离，弦长=【例4】已知点是圆上的动点，求的取值范围。解：设圆的参数方程为，小结：设动点的坐标为参数方程形式；将含参数的坐标代人所求代数式或距离公式；利用三角性质及变换公式求解最值.【变式5】在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值解

10、：因椭圆的参数方程为，故可设动点的坐标为，其中. 因此。所以,当是，取最大值2。【题后反思】1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，并且要保证消参的等价性，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=j(t)），再代入普通方程F（x，y）0，求得另一关系y=j(t)（或x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保

11、持一致。【课后巩固练习】1椭圆 （ ）A、(-3，5)，(-3，-3) B、(3，3)，(3，-5)C、(1，1)，(-7，1) D、(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得，a2=25,b2=9,得c2,c=4.F(x-3,y+1)=F(0,±4)，在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.2参数方程( )A.双曲线的一支，这支过点(1，)B.抛物线的一部分，这部分过(1，)C.双曲线的一支，这支过(-1，)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，)解：由参数式得x2=1+sin=2y(x0).即y=x2(x0).应选B.3在方程(为参数)所表示的曲线一个点

12、的坐标是( )A、(2,-7) B、（，）C、(，) D、(1，0)解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2，将x=代入，得y=。应选C.4曲线的极坐标方程=sin化 成直角坐标方程为( )A、x2+(y+2)2=4 B、x2+(y-2)2=4 C(x-2)2+y2=4 D、(x+2)2+y2=4解：将=，sin=代入=4sin，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.应选B.5已知圆的极坐标方程=2sin(+ )，则圆心的极坐标和半径分别为( )A、(1,),r=2 B、(1,),r=1C、(1, ),r=1 D、(1, -),r=2答案：C6在极坐标系中，与圆=4sin相切的一条

13、直线的方程是( )A、sin=2 B、cos=2 C、cos=-2 D、cos=-4 解：点P(,)为l上任意一点，则有cos=，得cos=2，应选B.7表示的曲线是( )A、圆 B、椭圆C、双曲线的一支 D、抛物线解：4sin2=54·把= cos=x，代入上式，得2=2x-5.平方整理得y2=-5x+它表示抛物线.应选D.8.极坐标方程4sin2=3表示曲线是( )A、两条射线 B、两条相交直线C、圆 D、抛物线解：由4sin2=3,得4·3,即y2=3 x2，y=±,它表示两相交直线.应选B.9直线：3x-4y-9=0与圆：的位置关系是( )A、相切 B、相

14、离 C、直线过圆心 D、相交但直线不过圆心答案：D10在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为（ ）A、2 B、 C、 D、解：分别化为直角坐标进行计算，化为直角坐标是，圆的直角坐标方程是，圆心的坐标是，故距离为。答案：D11经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是( )A、 B、C、 D、 答案：A12若直线( (t为参数)与圆x2+y2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A、 B、 C、或 D、 或答案：C13设的最小值是（C ）A、 B、 C、3 D、14.若直线的参数方程为(t为参数)，则过点(4，-1)且与平行的直线在y轴上的截距为 .答案：-415直线(t为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .答案：135°，|3t|16圆的圆心坐标为 ，和圆C关于直线对称的圆C的普通方程是 。答案：（3，2）；（x2）2（y3）216 17在极坐标系中，圆与直线的位置关系是 .答案：相切18在极坐标系中，直线（）与圆交于、两点，则答案：819在直角坐标系中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为.（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（II）设点Q是曲线C上