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文档简介

1、10.设函数 f 在( a,b)内可导，且 f' 单调.证明 f '在(a,b)内连续.证 续不妨设 f '在(a,b) ，内递增，而对 (a,b)内任一点 x0， f '在U (x0)内递增且以f '( x0 )为上界，在U ( x0 )递增且以 f (x0)为下界.根据定理 f 为定义在 U (x0)上的单调有界函数，则右极限 lim f ( x)存在.知必存在 lim f '(x)和 lim f'(x) .在根据导数极限定理有x x0x x0 x x0lim f'(x) f ' (x0) ，lim f '(x

2、) f ' (x0).x x0x x0又 f' (x0) f' (x0)f (x0), 所以 lim f '(x) f '(x0 ) x x0故 f '在(a,b)内连续 .例 9 已知函数 f(x) 是区间 ( , ) 上的减函数 ,且满足1 2 1f (x y) f (x) f(y), f(2) 9 ,求不等式 f (x) f(3x2 1) 27的解集.9 27解 分析这种函数不等式的关键是利用单调性去掉函数符号把它化为x 的不等式 . 先要1把 化为函数值 .271 f(1) f(1) f (2)191 f(1) 131 又 f(x)是减函

3、数 f (1) f(2)故 f(1)31 1 1 f (1) f (2) f(1 2) f (3)27 3 9原不等式化为 f (x 3x2 1) f (3)由 f(x) ) 为减函数得 x 3x2 1 3解得 x 4或 x 1.3抽象函数没有给出具体的解析式，判断抽象函数的单调性, 只能利用函数单调性的定义定理 若函数 y f x 在 a,b 上严格递增（减）且连续，则其反函数 y f 1 x 在相 应的定义区间 f a , f b f b , f a 上连续 .证 不妨设 f x 在 a,b 上严格增，此时 f x 值域即反函数的 f 1 x 的定义域 f a , f b定理 上 f x a, 连、非负， f x dx 收，则 f x 能取到介于 0 与 f a 的任何 a值.证明 当定理 5.4 9 若 f x 在 a

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