苹果树新梢生长动态的数学模型

1、树新梢生长动态的数学模型*（山东农业大学科学与泰安 271018）摘 要 研究树新梢生长动态，建立了一类反映植物生长动态的数学模型。所建模型不仅包含了经典的植物生理模型如 Logistic 方程等，而且能很好地表达不同树势的红富士新梢生长动态。数学模型树 红富士 新梢 树势新梢是的结构的基本。新梢生长状况、停长早晚及各类新梢的比例等影响幕形成，进而影响果树光合产物、分配和积累。良新梢生长动态有利于缓解新长期的营养竞争，促进果实发育和花芽形成，减少无效消耗，提高果实品质，增加贮备营养，保证果树持续优质丰产1,2。1 植物生长模型研究在众多的相关研究中，人们通过线性回归分析，或者使用 Logist

2、ic 方程a y2yy (t) = a y(1-) = a y -k¢， y(0) = y0 > 0 .（1）k等经典模型描述植物生长规律3,4，其中a > 0, k > 0 为待定.使用方程（1）描述植物生长动态，要求生长过程满足：生长动态曲线呈 S 形； y0 > 0 .事实上，某些生长过程并非满足上述条件，例如，研究新生器官的某生长指标 y随时间t 的变化动态，便是一个 y0 = 0 的生长过程。定义1称 y = y(t)(t ³ 0) 是一个生长模型，如果它满足 y(0) ³ 0 ； y¢(t) ³ 0 ；当 y

3、(0) = 0 时 y¢(0) > 0 。为克服Logistic方程的局限性，描述更广泛的生长过程，建立如下生长模型y¢(t) = a y - f (t) y2 ， y(0) = y ³ 00（2）*收稿日期：1998-07-26山东农业大学博士科研基金资助项目a其中a > 0 为，当 f (t) º时，模型（2）即为Logistic方程。k定理1 （1）当 y0 > 0 时，若 f (t) 在0, +¥ 上有非正的导数f ¢(t) £ 0, a - y0 f (0) ³ 0 ，则模型（2）为生长

4、模型，且y eaty =0（3）t1+ yeas f (s)dsò00f ¢(t) = 0,（ 2 ）当 y = 0 时，若 f (t) 在 (0, +¥) 上有非负的导数 f ¢(t) ³ 0, lim0f (t) t ®+¥lim t2 f (t) = A < 0, 则模型（2）为生长模型，且t®0+eatò eat f (t )dty =（4）其中 ò eat f (t)dt 表示eat f (t) 的不含项的原函数。t证 （1）当 y > 0 时（3）式显然成立，令 F (t

5、) = a + y aeas f (s)ds - y eat f (t),ò0000则 F¢(t) = - y0e f ¢(t) ³ 0, 再由 F (0) = a - y f (0) ³ 0 知 F (t) ³ 0(t ³ 0). 由（3）式得at0aty0e F (t) y (t) =¢, ³ 0, 即模型（2）为生长模型。t(1+ y0 ò ef (s)ds)a s20（2）当 y0 = 0 时模型（2）的eatC + ò eat f (t)dty =, t > 0.（5）

6、， ò eat f (t)dt 为eat f (t) 的不含项的原函数。由 lim t2 f (t) = A < 0 易其中C 为t ®0+òat¢证 lim e f (t)dt = +¥.由（5）式及求极限的 L Hospital 法则有t ®0+eat / t-11/ t¢y (0) = lim= lim= lim> 0.（6）t ®0+ C + ò eat f (t)dtt ®0+ C + ò eat f (t)dtt ®0+ t2 f (t) 当 lim

7、f (t) £ 0 时，显然有 y¢(t) ³ 0 ；当 lim f (t) > 0 （或为 +¥ ）时，必t ®+¥t ®+¥t0 > 0 ，使 f (t0 ) = 0, t > t0 时 f (t) > 0. 故t £ t0 时 y¢(t) ³ 0, 而t > t0 时)eaty(ty =0（7）tòa s1+ y(t )ef (s)ds0t0令 F (t) = a + y(t )a t eas f (s)ds - y(t )eat f (t

8、),òtF (t 单调不增，从而000y(t )eat f (t)F (t) = 1-0ta + y(t )aeas f (s)dsta + y(t )aeas f (s)dsòtòt00o0单调不增。由 L¢Hospital 法则æçö÷y(t )eat f (t)f ¢(t) lim 1-= 1-= 0. 0lim（8）t ®+¥ ç÷t ®+¥ a f (t) tòa + y(t )aef (s)dsa sç÷

9、èø0t0ù2étò¢从而 F (t) ³ 0, 由（7）式得 y (t) = y(t0 )e F (t)1+ y(t )e f (s)dsú ³ 0 .故模型（2）atasêëû0t0为生长模型。在（5）式中取C=0，得到模型（2）的（4）式。2 新梢生长动态的数学模型试验于1994年和1996年4-6月相继在巨野县陈庄果园进行，供试品种为红富士，是1986 年秋定植的速生苗，株行距3m×4m ，土壤为轻粘土，pH=7.5，肥力中等，管理水平中等。每年分别选择丰产

10、稳产、旺长、大年、小年和衰弱树各3株，每株选平斜枝条中部芽15个， 作为中梢（封顶枝）培养对象。自萌芽开始每隔5-7天调查各梢的长度（cm）。调查结束后分别从中选取中梢10个，以同类树势两年累计60个中梢的平均长度作为建模数据。观测数据见表1，中梢生长动态折线图见图1。在（4）式中取b ac(b + b e-at )f (t) =1-12（9）arctan bt(1+ b 2t 2 )(arctan bt)2得到中梢生长动态的数学模型y = arctan b t + b e-atb12（10）其中b1, b2 , a, b 为，显然，当 b 较大时模型（10）基本上演化为 Logistic 方

11、程。应用非线性回归分析5,6拟合表1中的中梢生长数据，对各类树势得到模型（10）中b1, b2 , a, b 的最小二乘估计值，总平方和及残差平方和，见表2。假设检验表明，对各类树势建立的中梢生长模型均达到极显著水平（显著性水平<0.01）。进行非线性回归分析，用Logistic方程（1）拟合表1中的中梢生长数据（略）， 而后对比模型（10）与模型（1）的显著性，发现模型（10）的拟合效果明显优于模型（1）。另外，对红富士长梢生长动态进行研究，得到了与中梢相同的结论。故模型（10）能很好地表达不同树势的红富士新梢生长动态，可作为新梢生长的理论模型。表1 不同树势的红富士各观测时间的中梢长

12、度Table 1Length of medium shoot of everytime of Red Fuji in different tree potentials旺长树 中梢长度(cm)Medium shoot of too vigorous tree 1.172.9110.5大年树 中梢长度(cm)Medium shoot of up yield tree 0.951.915.80小年树 中梢长度(cm)Medium shoot of Off yield tree 1.071.818.17衰弱树 中梢长度(cm)Medium shoot of Weak tree0.900.821.92

13、日 期Date (month.d)时 间Time (24h)中梢长度(cm) Medium shoot of high and stable yield tree0.801.518.314 144 204 2617135.025 10192712.718.615.824.610.517.911.615 55.1711.35 175 235 3034404722.725.428.129.735.235.424.028.832.716 517.718 512.613.914.06.065428.135.432.720 214.0表2数学模型（1）中参数的估计值Table 2 Estimated v

14、alue of parameter in mathematical m(1) 参数值 Parameter Value参数Parameter旺长树 Too vigorus tree大年树Up yield tree衰弱树Weak tree小年树Off yield treeHigh andstable yield tree0.0350.0350.0550.0800.0650.0350.0950.0900.0250.0250.0750.0800.0650.0650.0950.1000.0350.0650.0950.070b1 b2 b3 b4残差平方和Residual sum Of squares10

15、.018518.602912.29145.988017.8505总平方和Total sum Of squares943.3091562.4641334.463411.576285.0413 讨 论不同树势的红富士中梢生长差异明显。中梢生长较慢，后期生长比；旺长梢生长量始终高于长比弱；大年梢前期生长比快；小年树萌芽后生快，有一迅速生长期，而后很快转向缓慢生长，为花芽分化奠定物质基础；衰梢生长率明显低于，前期生长缓慢，迅速生长期短。因而，不同类型的树势应采取不同的管理措施。小年树早春和5月中旬应加强肥水，施肥量多于肥（复合肥、氮肥）为主，抑制花芽分化量；大年树早春应增施氮肥，促进春，以速效长，5月

16、中旬后增施磷、钾肥，促进花芽分化；旺长树以控为主，施肥以有机肥、复合肥为主，少施氮肥。实际生产中，可将本文所建的模型对中梢长度的值为参考值，当实测值明显大于参考值时，需新长；当实测值明显小于参考值时，需促使新长。参 考 文 献12.果树栽培生理学.：农业，1993.结构建造及演化的数学模型研究.山东农业大学博士，1998，19833JHM索恩利英著，等译.植物生理的数学模型.：科学4，.新梢幕形成动态的数学模型.山东农业大学学报，1994.25(4):124-1305科学院计算中心概率统计组.概率统计计算.：科学，19796Marquardt D W An algorithm for least squares estimation of nonlinear parameters，JSIAM，1963,11:431-441Mathematical Ms of New Shoot Growing of Apple TreeCheng ShuhanShu HuairuiWei Qin(Dept.of Basic Courses, ShAgric.Univ.Taian 271018)AbstractMathematical ms of plant growing were es