工程光学习题解答 光的衍射

1、第十二章 光的衍射 1 波长为的平行光垂直照射在宽度为的单缝上，以焦距为的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。 解：（1）零强度点有 中央亮纹的角半宽度为 亮纹半宽度（2）第一亮纹，有 同理（3）衍射光强，其中 当时为暗纹，为亮纹 对应 级数 0 0 1 1 4.493 0.04718 2 7.725 0.01694 . . . . . . . . .2 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为 式中，是中央亮纹中心强度；是缝宽；是衍射角，是入射角（见图12-50）

2、 （2）中央亮纹的角半宽度为 i 图12-50 习题3图 证明：(1)与垂直入射相比,只需将方向余弦变为即可 (2)令 对于中央亮斑 3 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为，所用透镜的焦距为，光波波长为。问细丝直径是多少？解：设直径为，则有4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为和的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当时，（1）圆环衍射与半径为的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。ba图12-51 习题6图 解：已知半径为的圆孔的衍射场振幅为同样，圆屏使P点振幅减小 因此圆环在P点产生的振幅为 P点强度为 对于衍射场中心，有 当

3、时，（1） （2）第一暗纹有 查表可有4 （1）一束直径为的氦氖激光（）自地面射向月球，已知地面和月球相距，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？解：（1）圆孔衍射角半宽度为 传到月球上时光斑直径为（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。直径 5 若望远镜能分辨角距离为的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？解：人眼分辨率为放大率6 若要使照相机感光胶片能分辨的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当时线；（2）照相机镜头

4、的相对孔径D/f至少有多大？（光波波长为）解： （1）胶片分辨率为线/毫米（2）7 一台显微镜的数值孔径为，问（1）它用于波长时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为）。解：（1）（2）提高（3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为 放大率至少为 8 在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长，透镜焦距，观察到两相邻亮条纹之间的距离，并且第四级亮纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。解：（1）双缝衍射亮纹条件为 取微分有 令，且，则 又 （2）衍射极小位置为取 （

5、3）对于第一级亮纹有即又 第一级亮纹的相对强度同理9 在双缝的一个缝前贴一块厚，折射率为1.5的玻璃片。设双缝间距为，缝宽为，用波长的平行光垂直入射。试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。解：衍射图样不变，干涉位置变为10 一块光栅的宽度为，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为。问（1）它产生的波长的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光是波长为和波长之相差的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？解：（1）对于一级主极大有同理（2） 线色散 1，2级衍射线色散为 而 谱线间距 11 设计一块光栅，要求（1）使波长的第2级谱线的衍射角，（2）色散尽可能大，（3）第3

6、级谱线缺级，（4）在波长的2级谱线处能分辨的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长的几条谱线？解：为使的二级谱线的衍射角，则光栅常数应满足 色散 越小色散越大 若第三级缺级，应有 由条件（4） 光栅总长度 可看到最高级条纹为 可看到级，级缺级，共5条条纹。12 为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为的一束氦氖激光的模结构（两个模之间的频率差为），光栅需要有多宽？解：对应的频率为 光栅总条纹数为 长度为13 证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为式中， 为衍射角；为入射角，见图12-53，N为光栅缝数。（2）若光栅常数，光栅形成主级大的条件可以写为

7、i 图12-53 习题18图证明：（1）与垂直入射相比，有同理（2）光栅形成主极大有 有14 有一多缝衍射屏如图12-54所示，缝数为，缝宽为，缝间不透明部分的宽度依次为和。试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。3aaa 图12-54 习题19图 解：相邻两个缝产生的相位差为，隔一缝相位差 或 单缝产生的复振幅为， 其中 多光束产生干涉有 设复数 则 透射光强 令 15 一块闪耀光栅宽，每毫米有个刻槽，闪耀角为。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有多大？（3）试问空气间隔为，精细度为25的法布里-珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作

8、一比较。解：（1）光栅刻痕数为 闪耀级数为分辨本领为 （2）自由光谱范围为 （3）F-P标准具的分辨为自由光谱范围为 比光栅小得多16 一透射式阶梯光栅由20块折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，厚板，玻璃折射率，阶梯高度。以波长的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级次；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。解：（1）由于阶梯高度与相比极大，所以衍射角极小，此时相邻两阶梯的光程差为对应处， （2） 设与相比变化很小，即 分辨本领17 设光栅的振幅透射系数为，这块光栅的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑？各斑的中心强度与零级的比值是多少？18 在

9、宽度为的狭缝上放一折射率为、折射角为的小光楔，由平面单色波垂直照射（见图12-55），求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。 ban图12-55 习题23图19 图12-56为一透射型闪耀光栅，周期为，闪耀角为，由平面波垂直入射（1）求夫琅和费衍射图样的光强分布。（2）求光栅对级光谱闪耀时应满足的条件。（3）试分析对级闪耀时，光谱强度分布的特点。nad图12-56 习题24图20 如图12-58所示，单色点光源（波长）安放在离光阑远的地方，光阑上有一个内外半径分别为和的通光圆环。考察点P离光阑（SP连线通过圆环中心并垂直于圆环平面），问在P点的光强和没有光阑时的光强之比是多

10、少？S图12-58 习题28图P 解：半径为的圆孔包含波带数为 半径为的圆屏挡住的 圆环通过波带数为3，由于相邻波带相消，所以只有一个波带的光在P点产生振幅，无光阑时P点振幅为第一波带产生振幅的，所以放置光阑前后光强变化4倍。21 波长的平行光正入射直径的圆孔，与孔相距处放一屏幕。问（1）屏幕上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？解：在P点包含的波带数为 中心为亮点 令 22. 试写出图中双狭缝衍射屏的复振幅透射系数的表达式(设缝宽为a，缝距为b，且b=4a)。(2)用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜L后焦面内沿x轴的复振幅分布。(3)求在透镜L后焦面内沿x轴的光强度分布。(4)指明光强度分布的特征(单缝衍射中央亮区的半角宽度；干涉主亮纹间距)。解 （1）双狭缝衍射屏的复振幅透射系数为：或（2）复振幅分布为：（3）光强度分布为：23.简要分析如图2所示夫琅和费衍射装置如有以下变动时，衍射图样会发生怎样的变化？1）增大透镜L2的焦距；2）减小透镜L2的口径；3）衍射屏作垂直于光轴的移动（不超出入射光束照明范围）。 qL1L2P接收屏衍射屏光源图2 夫琅和费衍射系统俯视图    &#