探究应用新思维-数学7年级1-10

1、1数形结合话数轴解读课标数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1利用数轴形象地表示有理数；2利用数轴直观地解释相反数；3利用数轴解决与绝对值有关的问题；4利用数轴比较有理数的大小问题解决例1 (1)已知、为有理数，且，将四个数、按由小到大的顺序排列是_（时代学习报数学文化节试题）(2)已知数轴上有、两点，A、B之间的距离为，点与原点

2、的距离为，那么点对应的数是_（广西竞赛题）试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定、两点在数轴上的位置，充分考虑、两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点、对应的数分别是整数、，且，那么数轴的原点应是( ) A.点B.点C.点D.点（江苏省竞赛题）试一试 从寻找与的另一关系式入手例3 已知两数、，如果比大，试判断与的大小.试一试 因、符号未定，故比大有多种情形，借助数轴可直观全面比较与的大小例4电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳个单位到，第二步由向右跳个单位到，第三步由向左跳个单位到，第四步由向右跳个单位到，按以上规律跳了步时，电子跳蚤

3、落在数轴上的点所表示的数恰是，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数（“希望杯”邀请赛试题）试一试 设点表示的数为，把、点所表示的数用的式子表示例5 已知数轴上的点和点之间的距离为个单位长度，点在原点的左边，距离原点个单位长度，点在原点的右边(1)求、两点所对应的数(2)数轴上点以每秒个单位长度出发问左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，在点处追上了点，求点对应的数(3)已知在数轴上点从点出发向右运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点出发向右运动，速度为每秒个单位长度，设线段的中点为 (为原点)，在运动的过程中线段的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由分析与解 对于(3)，设点运

4、动时间为秒，把用的式子表示(1)、两点所对应的数分别为；(2)点对应的数为；(3)(为什么？)，则，即的值不变生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题如图，在数轴上截取从原点到的对应点的线段，对折后（点与点重合），固定左端向右均匀地拉成个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段上的，均变成；变成；等等）.那么在线段上（除点、点外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与重合的点所对应的数字之和.（浙江省绍兴市中考题）分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来

5、的一个等分点变为两个等分点 解 故在第二次操作后，恰好被拉到与重合的点所对应的数字之和是数学冲浪知识技能广场1.数轴上有、两点，若点对应的数是，且、两点的距离为，则点对 应的数是_.2.电影哈利·波特中，小哈利，波特穿墙进入“站台”的镜头（如示意图中的站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若、站台分别位于，处，则站台用类似电影中的方法可称为“_站台”（“时代学习报数学文化节”试题）3.已知点、在数轴上，点表示的数为，那么点表示的数是_4.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字、）上：先让原点与圆周上数字所对应的点重合，

6、再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上、所对应的点分别与圆周上、所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系(1)圆周上的数字与数轴上的数对应，则_；(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周圈（为正整数）后，并落在圆周上数字所对应的位置，这个整数是_（用含的代数式表示）（江西省中考题）5.有理数、在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是( )A.B.C.D.（2012年湖南省常德市中考题）6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西米，玩具店位于书店东米处小明从书店沿街向东走了米，接着又向东走了米，此时小明的位置在( )A.文具店B.玩

7、具店C.文具店西边米D.玩具店东米7.将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”“”分别对应数轴上的和，则( )A.B.C.D.（浙江省绍兴市中考题）8.在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A.B.C.D.（重庆市竞赛题）9.一个跳蚤在一条直线上，从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第次晾左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位依此规律剧下去，当它跳第次落下时，求落点处离点的距离（用单位表示）（江苏省无锡市中考题）10.已知数轴上有、两点，、之间的距离为，点与原点的距离为，求所有满足条件的点与原点的距离的和（北京市“迎春杯

8、”竞赛题）-思维方法天地-11.在数轴上，点、分别表示和，则线段的中点所表示的数是_.12.在数轴上，表示数，的点与表示数，的点关于原点对称，则的值为_13.数形相伴(1)如图所示，点、所代表的数分别为,，在数轴上画出与、两点的距离和为的点（并标上字母）(2)若数轴上点、所代表的数分别为、，则、两点之间的距离可表示为，那么，当时，_；当时，数所对应的点在数轴上的位置是在_（时代学习报数学文化节试题）14.点、分别是数、在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动为，且线段的中点对应的数是，则点对应的数是_，点移动的距离是_.（江苏省竞赛题）15.点、（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且，点在点

9、的右边，且;点在点的左边，且，点在点的右边，且，依照上述规律，点、所表示的数分别为( )A., B.,C.,D.,（福建省泉州市中考题） 16.如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点、对应的数分别是整数、，且，那么数轴的原点对应点是（ ）.A.点B.点C.点D.点17.有理数、在数轴上的位置如图，式子化简结果为( )A.B.C.D. 18.不相等的有理数、在数轴上对应点分别为、,若那么点( )A.在、点右边B.在、点左边C.在、点之间D.以上均有可能(“希望杯”邀请赛题)19.在数轴上，点与点的距离是点与所对应点之间的距离的倍，那么点表示的数是多少?(“CASIO杯”河南省竞赛题

10、)20.已知数轴上有、三点，分别代表、,两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时相向而行.甲的速度为个单位/秒.(1)问多少秒后甲到、的距离和为个单位? (2)若乙的速度为个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?(3)在(1)、(2)的条件下，当甲到、的距离和为个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点；若不能，请说明理由.21.操作与探究对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点的对应点.点,在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段,其中，点,的对应点分别为,如图所示，若点表示的

11、数是,则点表示的数是_；若点表示的数是,则点表示的数是_；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是_.2012年北京市中考题22.动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进个单位、后退个单位的程序运动.已知点每秒前进或后退个单位，设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数(如，)，求所对应的数.2.聚焦绝对值绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值 方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用，理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1

12、.脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法.2.恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看表示数的点到原点的距离；表示数、数的两点间的距离.3.灵活运用绝对值的基本性质；例1已知: 其中,，那么的最小值为_.(“CASIO杯”河南省竞赛题)试一试 结合已知条件判断出每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号.例2式子的所有可能的值有( ).A.个B.个C.个D.无数个试一试根据、的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键.例3 (1)已知,求的值.(“华罗庚杯”香港中学竞赛题) (2)设、为整数，且，求的值.(“希望杯”邀请赛试题

13、)试一试 对于（1),由非负数的性质先导出、的值;对于(2)，写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解(2)的突破口.例4阅读下列材料并解决有关问题：我们知道现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|时，可令：和，分别求得， (称，分别为与的零点值)在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：(1)；(2)；(3).从而化简代数式可分以下种情况：(1)当 时，原式;(2)当时，原式；(3)当时，原式.综上讨论，原式通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出和的零点值；(2)化简代数式.(云南省中考题)试一试 在阅读理解的基础上化简求值.例

14、5 (1）当取何值时，有最小值?这个最小值是多少?（2）当取何值时，有最大值?这个最大值是多少?（3）求的最小值.（4）求的最小值.分析对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值;也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示的点，使之到表示、的点 (:或表示、的点）的距离和最小.解(1）当时，原式有最小值，最小值为.（2）当时，原式有最大值，最大值为.（3）当时，原式有最小值，最小值为.（4）当时，原式有最小值，最小值为.对于（3），给出另一种解法：当时，原式，最小值为；当时，原式，最小值为；当时，原式,最小值为.综上所述，原式有最小值等于.以退求进例6少年科技组制成一

15、台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后 再取绝对值的运算，其运算过程是:输人第一个整数，只显示不运算，接着再输人整数心后则显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从到这个整数随意地一个一个地输人,全部输入完毕之后显示的最后结果设为，试求出的最大值，并说明理由.分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出的最大值.解 由于输入的数都是非负数，当,时，不超过、中最大的数，对，,则不超过工、中最大的数，设小明输入这个数的次序是,.相当于计算: ，因此的值.另外从运算奇偶性分析，、为整数，与奇偶性相同，因此与的奇偶性相同，但偶数.于是断定，我们证明可以取到.对 ,按如下次序：，,对于均成立.因此，可按上述办法依次输入最后显示结果为,而后，故的最大值为.数学冲浪知识技能广场1.数在数轴上的位置如图所示，且,则_.2.已知，,且，那么_.3.化简_. (北京市竞赛题）4.已知有理数、