第三章随机变量的数字特征

1、1随机变量的数字特征随机变量的数字特征概述概述 分布函数能完整地描述随机变量的统计特性分布函数能完整地描述随机变量的统计特性. .但在某些实际问题中，并不需要全面考察随机变但在某些实际问题中，并不需要全面考察随机变量的变化情况，而只需要知道随机变量的某些特量的变化情况，而只需要知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数征，因而并不需要求出它的分布函数. . 例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；在许多场合只要知道该地区的平均产量； 又如又如, , 检查一批棉花的质量时，既需要注意检查一批棉花的质量时，既需要注意

2、纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好质量就较好. .2随机变量的数字特征随机变量的数字特征概述概述 与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征的重要特征. . 本章将介绍随机变量的常用数字特征：本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、协方差与相关系数数学期望、方差、协方差与相关系数. .3第四章第四章 随机变量的数字特

3、征随机变量的数字特征4引例引例有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出： 射手甲射手甲击中环数击中环数8910概率概率0.30.10.6 射手乙射手乙击中环数击中环数8910概率概率0.20.50.3试问哪个射手本领较好？试问哪个射手本领较好？5击中环数击中环数8910概率概率0.30.10.6 若两个选手各射若两个选手各射N枪，则枪，则甲的平均环数为：甲的平均环数为： (80.3N90.1N100.6N)/N=9.3，乙的平均环数为：乙的平均环数为： （80.2N90.5N100.3N)/N=9.1.击中环数击中环数8910概率概率0.20.50

4、.36 甲平均射中甲平均射中9.39.3环，乙平均射中环，乙平均射中9.19.1环，因环，因此甲射手的本领好些此甲射手的本领好些. . 在这一问题中，以平均值的大小为准则，来在这一问题中，以平均值的大小为准则，来判定射手的射击水平的高低判定射手的射击水平的高低. . 由此产生了随机变由此产生了随机变量的数学期望量的数学期望E(X)的概念的概念. . 仅利用平均值这一指标，来判定射手的射击仅利用平均值这一指标，来判定射手的射击水平的高低还不够水平的高低还不够. . 例如，例如，7 射手甲射手甲击中环数击中环数8910概率概率0.4 0.1 0.5 射手乙射手乙击中环数击中环数8910概率概率0.

5、2 0.5 0.3试问哪个射手本领好一些？试问哪个射手本领好一些？ 若两个选手各射若两个选手各射N枪，则枪，则甲的平均环数为：甲的平均环数为： (8(80.40.4N9 90.10.1N10100.50.5N)/N=9.1=9.1，乙的平均环数为：乙的平均环数为： （8 80.20.2N9 90.50.5N10100.30.3N)/N=9.1=9.1.8 这时，可用量这时，可用量 来衡量来衡量射手的射击水平的高低射手的射击水平的高低. . D(X)它它表示射击环数表示射击环数对平均值的离散程度对平均值的离散程度. .D(X)的值越小，表示射击的值越小，表示射击环数环数x越集中在平均环数越集中在

6、平均环数E(X)的附近，这意味着的附近，这意味着射手的射击水平越稳定射手的射击水平越稳定. 由此便产生了方差的由此便产生了方差的概念概念. .2iiD XxE X9v 随机变量的数学期望随机变量的数学期望10数学期望的定义数学期望的定义离散型离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为 . .即即1kkkx p,1,2,kkP Xxp k1kkkx pE X1.kkkE Xx p11数学期望的定义数学期望的定义连续型连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X

7、的概率密度为的概率密度为 f(x)，若积分若积分绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的值为随机的值为随机变量变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为E( (X).). xfx dx xfx dx 即即 .EXxfx dx 12例例1 求二项分布求二项分布 的数学的数学期望期望. .nkqpCpknkknk, 2 , 1 , 0,111(1) (1)111111(1)(1)!(1)(1)(1) 1(1)!().nnkkn kkn knkknknkknkkn knknn nnkkC p qkp qknnknppqknpCpqnp pqnpE X0nkkkp解解13例例2 求泊松分布求泊

8、松分布 的的数学期望数学期望. .,2 , 1 ,0,! kekpkk 解解E X0nkkkp111!(1)!.kkkkkekekee14例例3 随机变量随机变量X取值取值 对应的对应的2( 1),1,2,kkkxkk 概率为概率为1,1,2,2kkpk 求数学期望求数学期望. .()ln .11112kkkkkx pk 解解 尽管尽管 111,kkkkxpkXE X 因因此此的的期期望望不不存存在在. .但由于但由于15例例4随机变量随机变量X服从指数分布服从指数分布解解 E X xfx dx 求数学期望求数学期望. .0,0,0,1)(xxexfx01xxedx16.0)(10/0/0/0

9、/0 xxxxxedxexeexddxex17例例5 101101,150012,200023,25003,3000,0;0,0.xXXXXXXexf xxY某商店对某种家用电器的销售采用先试用后付款的方式.记使用寿命为（以年计），规定：一台付款元；一台付款元；一台付款元；一台付款元.设寿命 服从指数分布，概率密度为求该商店一台家用电器收费 的数学期望.18 11101100150010.0952.xP YP Xf x dxedx解 21011012000120.0861.xP YPXedx25000.0779,30000.7048.P YP Y同理可得19Y故一台收费 的分布列为 Y 150

10、0 2000 2500 3000 P0.09520.08610.07790.7408 2732.15,E Y计算可得：即平均一台家电收费2732.15元.20随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望( ) (YXYg Xg设 是随机变量 的函数：是连续函数). 11, 1,2,().kkkkkXP XxpkE YE g Xg xp（） 是离散型随机变量，它的分布律为，则(2)( )( ) ( )( ) ()( ) ( ).Xf xg x f x dxE YE g Xg x f x dx是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有21P64例例4.5改为改为X1 0 2 pk 1/4

11、1/2 1/4 ).12(),(2 XEXE求22P64例例4.62000,4000XU., 04000,2000,2000/1)(其它xxf3 ,()3(),.y Xyg XXyXXy23例例4.7 若将这两个电子装置串联连接组成整机，若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命求整机寿命( (以小时计以小时计) )N的数学期望的数学期望. ./1,0;( )0.0,0;xexf xx 由两个相互独立工作的电子装置，它们由两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命的寿命 服从同一指数分布，其服从同一指数分布，其概率密度为概率密度为 kX(1,2)k 24/(1,2)1,0;( )0,0.kxX

12、kexF xx 解的分布函数为122 /2minmin(,)1,0;( )1 1( )0,0.xNXXexFxF xx 所以，的分布函数为252 /min2,0;( )0,0.xNexfxx因而 的概率密度为min2 /()( )2.2xNE Nxfx dxxedx于是 的数学期望为26例例7 2222001 ,0;0,(0,.1.3aVaavaf vWkVkWkE Wkv f v dvv dvkaa 设风速 在 ，上服从均匀分布，即有概率密度函数其它.又设飞机机翼受到的正压力常数）,求 的数学期望解27(1, ),();XBpE Xp ( , ),( );XB n pE Xnp ( ),()

13、;XPE X ( , ),();2abXU a bE X ( ),();XEE X 2( ,),().XNE X 28作业作业P801求求E(X),2求求E(X),3.29离散型离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为 . .即即1kkkx p,1,2,kkP Xxp k1kkkx pE X1.kkkE Xx p30连续型连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(x)，若积分若积分绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的值为随机的值

14、为随机变量变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为E( (X).). xfx dx xfx dx 即即 .EXxfx dx 31随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望( ) (YXYg Xg设 是随机变量 的函数：是连续函数). 11, 1,2,()().kkkkkkkkXP Xxpkg xpE YE g Xg xp（） 是离散型随机变量，它的分布律为，且绝对收敛,则(2)( )( ) ( )( ) ()( ) ( ).Xf xg x f x dxE YE g Xg x f x dx是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有32随机向量函数的数学期望随机向量函数

15、的数学期望(, )(, )X YZg X Y设Z是随机向量的函数：是连续函数.(2) (, )( , )( , ) ( , )( )( , ) ( , ).X Yf x yg x y f x y dxdyE Zg x y f x y dxdy 设是连续型随机向量，它的概率密度为，若绝对收敛，则 1 (, )(,)( ,)( ,).ijijijijijijijijX YP Xx Yypg x ypE Zg x yp（） 若离散型随机向量的分布律为，且绝对收敛,则33随机向量函数的数学期望随机向量函数的数学期望11(,)(,)nnYXXYg XX设 是随机向量的函数：是连续函数.11111111(

16、2) (,)( ,)( ,) ( ,)( )( ,) ( ,).nnnnnnnnXXf xxg xxf xx dxdxE Yg xxf xx dxdx设是连续型随机向量，它的概率密度为，若绝对收敛，则 111111111 (,)( ,)( ,) ( ,)( ,) ( ,).nnnnnnxxnnxxXXp xxg xxp xxE Yg xxp xx （） 若是离散型随机向量,分布律为，且绝对收敛,，则34随机向量的分量的数学期望随机向量的分量的数学期望()( , )( ),( )( , )( ).XYE Xxf x y dxdyxfx dxE Yyf x y dxdyyfy dy ,设随机向量的

17、密度函数为X Yfx y则有则有35随机向量的分量的数学期望随机向量的分量的数学期望11()( ,)( ),1,2, .iiinniXiiE Xx f xx dxdxx fx dxin1212,nnXXXfxxx设随机向量的密度函数为则有则有36 32,31,1;2,0,1.X Yyx xx yxfx yE YEXY设随机变量的概率密度为其它.求371( ,) :1,Gx yxyxx Gyo11yxyxx ,1.E YEXY求38 1313231113,2ln3ln3133.224xxE Yyf x y dxdydydxx yxxdxdxxxx 解39143111,323.5xxEfx y d

18、xdyXYxydxdyx y 40例例,X Y点数,求U=max(X,Y),V=min(X,Y),Z=X+Y的期望.1357911161( ) 123456.36363636363636EU 119753191( ) 123456.36363636363636E V 41123456( )23456736363636363654321891011123636363636E Z 2 6 12 20 30 42 40 36 30 22 12 2527.3636 421( )(2 3 4 5 6 7) (3 4 5 6 7 8)36(4 5 6 7 8 9) (5 6 7 8 9 10)(6 7 8

19、 9 10 11) (7 8 9 1) 11 12)1252(27 33 39 45 51 57)73636E Z 43(,)(),1,2(),(),()XYUGyGxyxEXE YEXY由轴轴 及 直 线围 成 求44( , ):01,02(1)Gx yxyxy1xOG245,E Xxf x y dxdy 解102 (1)xx dx12(1)00 xxdy dx1112().23346 ,E Yyf x y dxdy 1202(1)xdx12(1)00 xydy dx 13022(1).33x 47,E XYxyf x y dxdy 解1202 (1)xx dx12(1)00 xxydy d

20、x12302(2)11112().2346xxx dx48数学期望的性质数学期望的性质11111(1)().(2)()(), ,()()( ).,()()().nnnnnCE CCE CXC E XCX YE XYE XE YnXXE c Xc Xc E Xc E X设为常数，则线性性是常数；(3)对任意两个随机变量有一般地，对任意 个随机变量有49数学期望的性质数学期望的性质121212(4),()()( ),()()()().nnnX YE XYE XE YnXXXE X XXE XE XE X设是相互独立的随机变量，有一般地，对任意 个相互独立的随机变量，有50随机变量随机变量X服从正态

21、分布服从正态分布求求X的数学期望的数学期望.22()21( ),2xf xex 512221(0,1), ( ),2( )( )0,( )()( )( ).( ,), ( ).xXZNxexE Zxx dxXZE XEZEE ZXNE X 52(1, ),();XBpE Xp ( , ),( );XB n pE Xnp ( ),();XPE X ( , ),();2abXU a bE X ( ),();XEE X 2( ,),().XNE X 53P67例例10,.np设对某一目标进行射击,命中 次才能彻底推倒该目标.假定各次射击是独立的,并且每次射击命中目标的概率为 试求彻底推倒这一目标平均

22、消耗的炮弹数54111,?mkmE Xmpqp12121()()()()()().nnE XE XXXE XE XE XnnE Xp12.knXXXXXX解55例例10 20.XE X一民航送客车载有位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以表示停车的次数,求（设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车是相互独立的）12101,1 210.0.iiXiiXXXX解定义在第 个车站有人下车；， ， ，在第 个车站没有人下车；于是有56202092010iii9由题意知:任一旅客在第 站不下车的概率是，10因此位旅客都不在第 站下车的概率是，9而

23、在第 站有人下车的概率是1-，102020990,11.1010iiPXPX即5720121012091,1,2,10.1010910 1.10iEXiEXEXXXEX因此，58例例11 22 ,01;9,03;0,.0,.I ARiirrg ih rVIR 设一电路中电流与电阻是两个相互独立的随机变量，其概率密度为其它其他求电压的均值. 31320032.92E VE IRE I E Rig i dirh r drri didr解 59矩的概念矩的概念(),1,2,()() ,1,2,kkkkXE XkXkE XEXE XkXk设为随机变量，则称的 阶.如果存在，则称的 阶数学期望是一阶原点

24、矩.方差是原点矩二阶中心矩.中心矩.60练习练习P801310 011130 0000:,11122,1224xxxf x y dxdykdxdykkE XYxyf x y dxdyxydxdyxydy dxx dx 解61作业作业P8010，1962v随机变量的方差随机变量的方差63()()( ()()()0E XE XE XE E XE XE X()E XE X2() EXE X()D X 64随机变量方差的定义随机变量方差的定义2()()() ()()XD XVar XEXE XXD XX设 是一个随机变量，则称为方差均方的. 称为(差 标准差).21()().kkkXD XxE Xp若

25、 是离散型随机变量，则2( )()()( ).Xf xD XxE Xf x dx若 是连续型随机变量，概率密度为，则65方差与数学期望的关系方差与数学期望的关系2()() .D XEXE X证明222() () E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22D XE XE X22() () .E XE X66例例12 2,0.,.XEXXD XYD Y设随机变量具有数学期望方差记求22222210,11,1.XE YEEXXE YEEXD YE YE YYX解称为的标准化变量67例例13 .XD X设随机变量服从 0-1 分布，求2221,01,1.XPXp P

26、XpEXpEXpDXEXEXpp解的分布列为故所以有68例例14 ,.XPD X设随机变量求 222022,0,1,2,0.!.111!2 !.kkkkkXeP XkkkE XE XE X XXE X XE Xek kekk解的分布律为易知69 22.D XE XE X所以.泊松分布的数学期望或方差能完全确定它的概率分布70例例15 ,.XU a bD X设求 222221,;0,.2,1.212baXbaaxbfxE XbaD XE XE Xbabaxdxba解的概率密度为其他易知所以有71例例16 1,0.0,0.xXexfxxD X设随机变量 的概率密度为求2220222,2,.xE X

27、eE XxdxD XE XE X解易知所以有从而，72P69例例13 X 28 29 30 31 32 p 0.10 0.150.500.15 0.10 Y 28 29 30 31 32 p 0.13 0.170.400.17 0.1373P69例例4.141,10,1, 01,0,.XxxfxxxDX设 随 机 变 量的 概 率 密 度 为其 它 .求74方差的性质方差的性质,()()()( ).X YD XYD XYD XD Y特别地，若是相互独立的随机变量，有(1)( )0;CD C 设 为常数，则2(2) ()(),D CXC D XC是常数；(3),()()( )2 ()( ).X

28、YD XYD XD YEXE XYE Y设是两个随机变量，则有这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.75例例17 2222,()()( )2 ()( ).,()()()( ).()()() ()( ) () ( ) 2 ()( )X YD XYD XD YEXE XYE YX YD XYD XYD XD YD XYEXYE XYEXE XYE YEXE XE YE YEXE XYE Y设是两个随机变量，证明特别，若是相互独立的随机变量，有证明76()( )2 ( )()() ( )()( )2 ()() ( ).,()()( ).D XD YE XYXE YE X YE

29、X E YD XD YE XYE X E YX YD XYD XD Y若相互独立，则有77P70例例1522(,)(),().XNE XD X 设证 明78例例4.16 ,.XB n pE XD X设求.XnAAp解 由二项分布的定义知，随机变量 是 重贝努里试验中事件 发生的次数，且在每次试验中 发生的概率为1,1,2, .0,kAkXknAk定义在第 次试验中发生；在第 次试验中不发生.1212,(1,2, )01nnkXXXXX XXXkn易知且相互独立,服从 分布.79,1,1, .kkE Xp D Xppkn计算可得：1,nkkE XEXnp因此111.nkkD XDXnD Xnpp

30、80P70例例4.1781P71例例4.1882(1,),(),()(1);XBpE Xp D Xpp ( , ),(),()(1);XB n pE Xnp D Xnpp (),(),();XPEXD X 2()( , ),(),();212abbaXU a bE XD X 2(),(),();XEEXD X 22( ,),(),();XNE XD X 83练习练习P807132213131232( )0.1,()( ) ( )0.89 0.01 0.9.0.4,0.5.10.1.E XppE XppD XE Xpppppp 84作业作业P806,8,1485v协方差与相关系数协方差与相关系数

31、定义定义性质性质不相关与独立不相关与独立86协方差与相关系数的定义协方差与相关系数的定义,()()( )2 ()( ).,()()()( ).X YD XYD XD YEXE XYE YX YD XYD XYD XD Y设是两个随机变量，则特别，若是相互独立的随机变量，有2222()()() ()() () () 2()()D XYEXYEXYEXEXYE YEXEXEYE YEXEXYE Y证 明87()( )2 ( )()() ( )()( )2 ()() ( ).,()()( ).D XD YE XYXE YE X YE X E YD XD YE XYE X E YX YD XYD XD

32、 Y若相互独立，则有88协方差与相关系数的定义协方差与相关系数的定义( )( )( , )( , )( )( ).E XE XYE YXYCov X YCov X YE XE XYE Y协量称为随机变量 与 的.记为，即方差( , )( )( )XYCov X YD XD YXY数被称为随机变量 与 的相关系数.89协方差与期望、方差的关系协方差与期望、方差的关系1( ,)(),Cov X XD X（ ）3()()( )2(, ).D XYD XD YCov X Y（ ）2(, )()() ( ).Cov X YE XYE X E Y（ ）( , )( ).Cov Y YD Y90P72例例4

33、.19,X Y设随机变量的密度函数为4,01,01;,0,.,.xyxyfx yCov X Y其它求yo1x191,E Xxf x y dxdy 解112004 x ydxdy 1120042/3,x dxydy ,E Yyf x y dxdy 112004 xy dxdy 1120042/3,xdxy dy,E XYxyf x y dxdy 1122004 xy dxdy 11220044/9,x dxy dy92(, )Cov X Y()()()EX YEXE Y24/9(2/3)093例例4.20 ,X Y设随机变量的密度函数为2xy1,12yxx1oy223,;,0,.,.XYx yG

34、f x yx yGGyxxyCov X YD XY其中区域 由曲线与围成，求和 2109,33,20 xxGE Xxf x y dxdyxdxdydxxdy 解94,E Xxf x y dxdy 解21033xxGxdxdydxxdy311232002193 ()3()3().5420 xxx dxxx dx ,E Yyf x y dxdy 21033xxGydxdydxydy14033 119()().22 2520 xxdx952221220,93335xxGE Xx f x y dxdyx dxdydxx dy 22153 2800.D XE XE X2221220,93335xxGE

35、Yy f x y dxdyy dxdydxy dy 22153 2800.D YE YE Y962101,3.4xxE XYxyf x y dxdyxdxydy (, )Cov X Y()()()EX YEXE Y21919().420400 ,133,153XYCov X YD XD Y 2,143 700.D XYD XD YCov X Y97协方差协方差、相关系数的性质相关系数的性质,.Cov X YCov Y X对称性1212(,)(, )(, )(, )(, ).Cov aX bYabCov X YCov XX YCov X YCov X Y线性性，1.XY98例例4.21 1122

36、(, )Cov c Xc X Y证证明证明11221122()( )E c Xc XE c Xc XYE Y11112222()( )()( )E c Xc E XYE YE c Xc E XYE Y111222()( )()( )c EXE XYE Yc EXE XYE Y1122(, )(, ).cCov X Yc Cov X Y11221122(, )(, )(, ).Cov c Xc X YcCov X Yc Cov X Y991.,XYt往证:事实上 对任意的实数22222( ) 2( , )( )( , ) ( , )( , )( )2( )( ) ( )( )t D XtCov

37、X YDYCov X YCov X YCov X YD X ttDYD XD XD X22(, )(, )()( )()()Cov X YCov X YD XtD YD XD X22222()() ( )() ( ) 2( )()() D YtXEYtXE YtXEYE Yt XE XEYE YtEYE YXE Xt EXE X10022(, )(, )()()( )()()Cov X YCov X YD YtXD XtD YD XD X2(, )( )1() ( )Cov X YD YD X D Y(,),()Cov X YtD X令有2(, )( )()Cov X YD YD X()D Y

38、bX2()1XYD Y2,101 .X YX Y因 为 方 差 不 能 为 负所 以101不相关与独立不相关与独立0XYXY若，则称和不相关.4.6,0,XYX YX Y定理若随机变量相互独立，则即不相关.,(,)()()( )0.0,XYX YCov X YE XYE X E YX Y证若独立，则从而，不相关.102例例21 20 1 2,0, 2;0,0, 2.1()coscos0,2fEXfdd解的 密 度 函 数 为于 是 有0,2 cos,cos(),.XYXY 设服从均匀分布，令这里 是定数，求既不相关、也不独立之例103 222202211()coscos,221 2.E Xfd

39、dD XE XE X 所以 220( )0() 1 21 211()cos cos()cos .22E YE YD YE XYa d同理可得：，104 ,cos .XYCov X YE XYE X E YD XD YD XD Y因此01;XYXYYX当时， 与 存在线性关系.这时,显然有1;XYXYYX 当时， 与 存在线性关系.这时,显然有22201.XYXYXYXY当时， 与 不相关.随机变量 与 不独立,显然有105例例22,X Y设（）的分布律为 X Y -2 -1 1 2PY=i 1 0 1/4 1/4 0 1/2 4 1/4 0 0 1/4 1/2PX=j 1/4 1/4 1/4

40、1/4,X Y则既不相关、也不独立. 0,5 2.E XE Y易知1061111111 1242 20,44440.ijijijXYE XYx y p 于是,X YX Y这表明不相关，即表明之间不存在线性关系. 22,121,.P XYP XP YX YYX 然而，由知：不独立，事实上，107设设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,它的密度函数为它的密度函数为2122211221222122()11( , )exp2(1)21()()()2,xf x yxyy 221212(, )(, ).X YN 2121()211( ),2xXfxex 2222()221( ),2yYfyey 1

41、0812(, ),Cov X Y ,.XYCov X YD XD Y221212(,)(,)X YN0.XY则 和 相互独立的充要条件是109练习练习P811215121141012;282828282E X 解 10153213012;282828284E Y 323 ()2 ( )EXYE XE Y13323;2463();2814E XY 110cov(, )()() ( )X YE XYE X E Y3131221914245656222215121164012;282828287E X22221015327012;28282828E Y2241927345()( ),( )( );7

42、228284112D XD Y111cov(, )5;5()( )XYX YD XD Y 2263min(, )012 0.282814EX Y 112作业作业P8111,16113v大数定律大数定律马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫与切比雪夫不等式依概率收敛与大数定律依概率收敛与大数定律几个常用的大数定律几个常用的大数定律114马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫不等式马尔可夫不等式 0.XExPX设(1)是只取非负值的随机变量,(2)且具有数学期望.则对于任意正数，有115马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫与切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式22222()()1.X

43、E XD XP XP X设随机变量具有数学期望，方差，则对于任意正数 ，有，或116例例23 1/4.12200300.AXAXE XA设在每次试验中，事件 发生的概率为（ ）进行 300次重复独立试验，以 记 发生的次数，用切比雪夫不等式估计 与的偏差小于50的概率.（ ）问是否可用0.925的概率，确信在1000次试验中，事件 发生的次数在到之间1172501/500.9775.P XE XD X 于是300,1/475,1225/4.XbE XnpD Xnpp解(1)由知，1182(2)1000,1/ 4250,1375/ 2,200300501/500.925.1000200300XbE XnpD XnppPXPXE XD XA 由知，所以故，在次试验中，可以确信 发生的次数在到之间的概率大于0.925.119例例24 X设随机变量 的概率分布为 X 0.3 0.6 P 0.2 0.80.2 .PXE X试求2220.3 0.2 0.6 0.80.54.0.30.2 0.60.80.306,E XE X解于是有1202220.0144.160.21.0.225D XE XE XD XP XE X 故0