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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)本试卷满分150分,考试时120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,第一部分(选择题 共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1已知集合,则( )A B C D2设,且,则( )A B C D3下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A B C D4在复平面内,复数对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5在中,则( )A B C D6执行如图所示的程序框图,输出的值为( )A B C D7双曲线的离

2、心率大于的充分必要条件是A BC D8如图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有( )A个 B个 C个 D个第二部分(选择题 共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9若抛物线的焦点坐标为,则 ,准线方程为 。10某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为 。 11若等比数列满足,则公比 ;前项和 。12设为不等式组所表示的平面区域,区域上的点与点之间的距离的最小值为 。13函数的值域为 。14向量,若平面区域由所有满足(,)的点组成,则的面积为 。三、解答题(共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤)15(本小题共13分) 已知函数(1

3、)求的最小正周期及最大值。(2)若,且,求的值。16(本小题共13分) 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市,并停留2天。(1)求此人到达当日空气重度污染的概率。(2)求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。(3)由图判断,从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)17(本小题共14分)如图,在四棱锥中,平面底面,和分别是和的中点,求证:(1)底面(2)平面(3)平面平面18(本小题共13分)已知函数(1)若曲线在点处与直线相切,求

4、与的值。(2)若曲线与直线有两个不同的交点,求的取值范围。19(本小题共14分)直线():相交于,两点,是坐标原点(1)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长。(2)当点在上且不是的顶点时,证明四边形不可能为菱形。20(本小题共13分)给定数列,。对,该数列前项的最大值记为,后项,的最小值记为,。(1)设数列为,写出,的值。(2)设,()是公比大于的等比数列,且,证明,是等比数列。(3)设,是公差大于的等差数列,且,证明,是等差数列。2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1B 2D 3C 4A 5B 6C 7C 8B 二、

5、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9, 10 11,12 13 14三、解答题(共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤)15(本小题共13分) 解:(1) 所以,最小正周期当(),即()时 (2)因为 所以 因为,所以 所以,即16(本小题共13分)解:(1)因为要停留2天,所以应该在3月1日至13日中的某天到达,共有13种选择,其间重度污染的有两天, 所以概率为(2)此人停留的两天共有13种选择,分别是:,其中只有一天重度污染的为,共4种,所以概率为(3)因为第5,6,7三天的空气质量指数波动最大,所以方差最大。17(本小题共14分)证明:(1)因为,平面底面且平面底面

6、 所以底面(2)因为和分别是和的中点,所以,而平面,平面,所以平面(3)因为底面, 平面 所以,即因为,所以而平面,平面,且所以平面因为,所以,所以四边形是平行四边形,所以,而平面,平面所以平面,同理平面,而平面,平面且 所以平面平面, 所以平面 又因为平面所以平面平面18(本小题共13分)解:(1)因为曲线在点处的切线为所以,即,解得(2)因为 所以当时,单调递增 当时,单调递减 所以当时,取得最小值, 所以的取值范围是19(本小题共14分)解:(1)线段的垂直平分线为, 因为四边形为菱形,所以直线与椭圆的交点即为,两点对椭圆,令得所以(2)方法一:当点不是的顶点时, 联立方程得设,则, 若四边形为菱形,则,即所以即因为点不是的顶点,所以,所以即,即所以此时,直线与轴垂直,所以为椭圆的上顶点或下顶点,与已知矛盾,所以四边形不可能为菱形方法二:因为四边形为菱形,所以,设()则,两点为圆与椭圆的交点联立方程得所以,两点的横坐标相等或互为相反数。因为点在上若,两点的横坐标相等,点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。若,两点的横坐标互为相反数,点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。所以四边形不可能为菱形。20(本小题共13分)解:(1),(2)因为,()是公比大于的等比数列,且 所以所以当时,所以当时,所以,是等比数列。(3)若,是公差大于的等差数列,则 ,应是递

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