321几类不同增长的函数模型 (2)

1、3.2.1 3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型第一课时第一课时 线性函数、指数函数和线性函数、指数函数和 对数函数模型对数函数模型3.2 3.2 函数模型及其应用函数模型及其应用问题提出问题提出1. 1. 函数来源于实际又服务于实际，客观函数来源于实际又服务于实际，客观世界的变化规律，常需要不同的数学模世界的变化规律，常需要不同的数学模型来描述，这涉及到函数的应用问题型来描述，这涉及到函数的应用问题. .2. 2. 所谓所谓“模型模型”，通俗的解释就是一种，通俗的解释就是一种固定的模式或类型固定的模式或类型, ,在现代社会中，我们在现代社会中，我们经常用函数模型来解决实际

2、问题经常用函数模型来解决实际问题. .那么，那么，面对一个实际问题，我们怎样面对一个实际问题，我们怎样选择选择一个一个恰当的模型来刻画它呢？恰当的模型来刻画它呢？知识探究（一）：无条件函数模型的选择知识探究（一）：无条件函数模型的选择考察下列问题：考察下列问题：1.1.假设你有一笔资金用于投资假设你有一笔资金用于投资, , 现有三种现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如投资方案供你选择，这三种方案的回报如下下: :方案一方案一: : 每天回报每天回报4040元；元；方案二方案二: : 第一天回报第一天回报1010元元, , 以后每天比前以后每天比前 一天多回报一天多回报1010元；元；方

3、案三方案三: : 第一天回报第一天回报0.40.4元元, , 以后每天的回以后每天的回 报比前一天翻一番报比前一天翻一番. . 请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？思考思考1:1:设第设第x x天所得的回报为天所得的回报为y y元，那么上述元，那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么？三种投资方案对应的函数模型分别是什么？ 思考思考2:2:上述三个函数分别是什么类型的函数？上述三个函数分别是什么类型的函数？其单调性如何？其单调性如何？ 思考思考3:3:这三个方案前这三个方案前1111天所得的回报如下表天所得的回报如下表, ,分析这些数据，你如何根据投资天数选择投分析这些

4、数据，你如何根据投资天数选择投资方案？资方案？第一种：常函数；第一种：常函数； 第二种：正比例函数第二种：正比例函数;增增第三种：指数型函数；增。第三种：指数型函数；增。1)：y=40 (xN*)2)：y=10 x (xN*)(24 . 0: )3*1Nxyx818.8818.8409.6409.666066011011044044040401111409.2409.2204.8204.855055010010040040040401010204.4204.4102.4102.4450450909036036040409 9102.0102.051.251.236036080803203204

5、0408 850.850.825.625.6280280707028028040407 725.225.212.812.8210210606024024040406 612.412.46.46.4150150505020020040405 56.06.03.23.2100100404016016040404 42.82.81.61.66060303012012040403 31.21.20.80.830302020808040402 20.40.40.40.410101010404040401 1累计回累计回报报当天回当天回报报累计回累计回报报当天回当天回报报累计回累计回报报当天回当天回报报方

6、案三方案三方案二方案二方案一方案一天次天次思考思考4:4:分析上述三个函数的图象，你对指数分析上述三个函数的图象，你对指数函数模型与线性函数模型的增长速度有何看函数模型与线性函数模型的增长速度有何看法？你对法？你对“指数爆炸指数爆炸”的含义有何理解？的含义有何理解？思考思考5:5:到第到第3030天，三个方案所得的回报分别天，三个方案所得的回报分别是多少元？是多少元？x（天）y（元）o知识探究（二）：有条件函数模型的选择知识探究（二）：有条件函数模型的选择 2. 2. 某公司为了实现某公司为了实现10001000万元利润的目标，万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案准备制定一个激励

7、销售人员的奖励方案: : 在在销售利润达到销售利润达到1010万元时，按销售利润进行奖万元时，按销售利润进行奖励，且奖金励，且奖金y(y(单位单位: : 万元万元) )随销售利润随销售利润x(x(单位单位: : 万元万元) )的增加而增加，但奖金总数不超过的增加而增加，但奖金总数不超过5 5万万元，同时奖金不超过利润的元，同时奖金不超过利润的25%.25%.现有三个奖现有三个奖励模型励模型: : 其中哪个模型能符合公司的要求其中哪个模型能符合公司的要求? ?7log1,yx1.002 .xy 0.25 ,yx思考思考1:1:根据问题要求，奖金数根据问题要求，奖金数y y应满足哪几个应满足哪几个

8、不等式？不等式？ 思考思考2:2:销售人员获得奖励，其销售利润销售人员获得奖励，其销售利润x(x(单单位位: : 万元万元) )的取值范围大致如何？的取值范围大致如何？思考思考3:3:确定三个奖励模型中哪个能符合公司确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是解决一个什么数学问题？的要求，其本质是解决一个什么数学问题？ 思考思考4:4:对于模型对于模型y=0.25xy=0.25x，符合要求吗？为什，符合要求吗？为什么？么？ 思考思考5:5:对于模型对于模型 ，当，当y=5y=5时，时，对应的对应的x x的值约是多少？该模型符合要求吗？的值约是多少？该模型符合要求吗？xy002.1x805.

9、723x805.723思考思考6:6:对于函数对于函数 , ,当当x10 x10，10001000时，时，y y的最大值约为多少？的最大值约为多少？ 7log1yx思考思考7:7:当当x10 x10，10001000时，如何判断时，如何判断 是否成立？是否成立？ 7log10.25xyxx思考思考8:8:综上分析，模型综上分析，模型 符合符合公司要求公司要求. .如果某人的销售利润是如果某人的销售利润是343343万元，万元，则所获奖金为多少？则所获奖金为多少？7log1yx小结作业小结作业P98P98练习：练习： 2.2.P107P107习题习题3.2A3.2A组：组：1 1，2.2.3.2

10、.1 3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型第二课时第二课时 幂、指、对函数模型幂、指、对函数模型 增长的差异性增长的差异性问题提出问题提出 1.1.指数函数指数函数y=ay=ax x (a (a1)1)，对数函数，对数函数 y=logy=loga ax(ax(a1)1)和幂函数和幂函数y=x y=x n n (n (n0)0)在区在区间（间（0 0，+）上的单调性如何？）上的单调性如何？ 2.2.利用这三类函数模型解决实际问利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？认识这种差异呢？ 探究（一）：特殊幂、指

11、、对函数模型的差异探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异对于函数模型对于函数模型 ： y=2y=2x x, y=x, y=x2 2, , y=log y=log2 2x x 其中其中x x0. 0. 思考思考1:1:观察三个函数的自变量与函数值对应观察三个函数的自变量与函数值对应 表表, , 这三个函数增长的快慢情况如何？这三个函数增长的快慢情况如何？ 1.7661.7661.5851.5851.3791.3791.1381.1380.8480.8480.4850.4850 0-0.737-0.737-2.322-2.322y=logy=log2x x11.5611.569 96.766.7

12、64.844.843.243.241.961.961 10.360.360.040.04y=xy=x210.55610.5568 86.0636.0634.5954.5953.4823.4822.6392.6392 21.5161.5161.1491.149y=2y=2x3.43.43.03.02.62.62.22.21.81.81.41.41 10.60.60.20.2x xx012345678y=2x12481632 64 128 256y=x201491625 364964思考思考2:2:对于函数模型对于函数模型y=2y=2x x和和y=xy=x2 2，观察下列，观察下列自变量与函数值对

13、应表：自变量与函数值对应表： 当当x x0 0时，你估计函数时，你估计函数y=2y=2x x和和y=xy=x2 2的图象共的图象共有几个交点？有几个交点？ 思考思考4:4:在同一坐标系中这三个函数图象的相在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象对位置关系如何？请画出其大致图象. . xyo11 24y=2xy=x2y=log2x思考思考3:3:设函数设函数f(xf(x)=2)=2x x -x -x2 2(x(x0)0)，你能用二，你能用二分法求出函数分法求出函数f(xf(x) )的零点吗？的零点吗？思考思考5:5:根据图象，不等式根据图象，不等式loglog2 2x x

14、2 2x xx x2 2和和loglog2 2x xx x2 21 1和和n n0 0，在区间，在区间(0,+(0,+) )上上a ax x是否恒大于是否恒大于x xn n? ? a ax x是否恒小于是否恒小于x xn n? ?思考思考2:2:当当a a1 1，n n0 0时，在区间时，在区间(0,+(0,+) )上上, a, ax x与与x xn n的大小关系应如何阐述？的大小关系应如何阐述？ 思考思考3:3:一般地，指数函数一般地，指数函数y=ay=ax x (a(a1)1)和幂函和幂函数数y=xy=xn n(n(n0)0)在区间在区间(0,+(0,+) )上，其增长的快上，其增长的快慢

15、情况是如何变化的？慢情况是如何变化的？思考思考4:4:对任意给定的对任意给定的a a1 1和和n n0 0，在区间，在区间 (0,+)(0,+)上上,log,loga ax x是否恒大于是否恒大于x xn n? log? loga ax x是否是否恒小于恒小于x xn n? ?思考思考5:5:随着随着x x的增大的增大,log,loga ax x增长速度的快慢增长速度的快慢程度如何变化程度如何变化? x? xn n增长速度的快慢程度如何增长速度的快慢程度如何变化？变化？思考思考6:6:当当x x充分大时充分大时,log,loga ax(ax(a1)x1)xn n与与(n(n0)0)谁谁的增长速

16、度相对较快？的增长速度相对较快？思考思考7:7:一般地，对数函数一般地，对数函数y=logy=loga ax(ax(a1)1)和幂和幂函数函数y=xy=xn n(n(n0) 0) 在区间在区间(0,+)(0,+)上，其增长的上，其增长的快慢情况如何是如何变化的？快慢情况如何是如何变化的？xyo1y=log=logax xy=x=xn思考思考8:8:对于指数函数对于指数函数y=ay=ax x(a(a1)1)，对数函，对数函数数y=logy=loga ax(ax(a1)1)和幂函数和幂函数y=xy=xn n(n(n0)0)，总，总存在一个存在一个x x0 0，使，使x xx x0 0时时,a,ax

17、 x,log,loga ax,xx,xn n三者三者的大小关系如何？的大小关系如何？思考思考9:9:指数函数指数函数y=ay=ax x (0(0a a1)1)，对数函，对数函数数y=logy=loga ax(0 x(0a a1)1)和幂函数和幂函数y=xy=xn n(n(n0),0),在区间在区间(0,+)(0,+)上衰减的快慢情况如何？上衰减的快慢情况如何？xyo1y=a=axy=x=xny=log=logax理论迁移理论迁移 例例 在某种金属材料的耐高温实验中，温度在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(y(C C) )随着时间随着时间t(t(分钟分钟) )的变化情况，由微机的变化情况，由微

18、机处理后显示出如下图象，试对该实验现象作处理后显示出如下图象，试对该实验现象作出合理解释出合理解释. .yot510小结作业小结作业P101P101练习：练习：1.1.P107P107习题习题3.2A3.2A组：组：3.3.3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例第一课时第一课时 函数建构和函数模型函数建构和函数模型问题提出问题提出 一次函数、二次函数、指数函数、对数一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题，函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题，它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如何利用这些函数模型来

19、解决实际问题？何利用这些函数模型来解决实际问题？ 知识探究（一）：函数建构问题知识探究（一）：函数建构问题思考思考1:1:该图中反映的数据，应怎样理解？该图中反映的数据，应怎样理解？ 思考思考2:2:图中图中5 5个小矩形的面积之和为多少？个小矩形的面积之和为多少？ 它有什么实际含义？它有什么实际含义？问题：一辆汽车在某段路程中的行驶速率与问题：一辆汽车在某段路程中的行驶速率与 时间的关系如图所示时间的关系如图所示 v/(km h)5065758090t/ h3o1245思考思考3:3:假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为段路程前的读数为2004km

20、2004km，那么行驶这段路，那么行驶这段路程时汽车里程表读数程时汽车里程表读数s(kms(km) )与时间与时间(h)(h)的函数的函数关系如何？关系如何？502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,45.ttttstttttt思考思考4:4:你能画出这个函数的图象吗？你能画出这个函数的图象吗？ tyo12345知识探究（一）：函数模型问题知识探究（一）：函数模型问题 问题问题：人口问题是当今世界各国普遍关：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控

21、制人口增长提供依据为有效控制人口增长提供依据. .早在早在17981798年，年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：的人口增长模型： ，其中，其中t t表示经过表示经过的时间，的时间，y y0 0表示表示t=0t=0时的人口数，时的人口数，r r表示人口表示人口的年平均增长率的年平均增长率. .下表是我国下表是我国1950195019591959年的年的人口数据资料：人口数据资料： 0rtyy e67207672076599465994645636456362828628286145661456602666026658796587965

22、74825748256300563005519655196人数人数19591959195819581957195719561956195519551954195419531953195219521951195119501950年份年份思考思考1:1:我国我国19511951年的人口增长率约为多少？年的人口增长率约为多少？ 思考思考2:2:如果以各年人口增长率的平均值作为如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率我国这一时期的人口增长率( (精确到精确到0.0001)0.0001)那么那么1951195119591959年期间我国人口的年平均增年期间我国人口的年平均增长率是多少？长

23、率是多少？年份年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956195719571958195819591959人数人数5519655196563005630057482574825879658796602666026661456614566282862828645636456365994659946720767207思考思考4:4:怎样检验该模型与我国实际人口数据怎样检验该模型与我国实际人口数据是否相符？是否相符？ 思考思考5:5:据此人口增长模型，大约在哪一年我据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口达到国的人口达到1313

24、亿？亿？ 思考思考3:3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950195019591959年期间的人口增长模型是什么？年期间的人口增长模型是什么？ 理论迁移理论迁移 例例 有甲、乙两家兵乓球俱乐部，两家设有甲、乙两家兵乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同备和服务都很好，但收费方式不同. .甲家每张甲家每张球台每小时球台每小时5 5元；乙家按月计费，一个月中元；乙家按月计费，一个月中3030小时以内小时以内( (含含3030小时小时) )每张球台每张球台9090元，超过元，超过3030小时的部分每张球台每小时小时的部分每张球台每小时2 2元元. .小王准备

25、下小王准备下个月从这两家中的一家租用一张球台开展活个月从这两家中的一家租用一张球台开展活动，其活动时间不少于动，其活动时间不少于1515小时，也不超过小时，也不超过4040小时，问小王应选择哪家俱乐部较合算小时，问小王应选择哪家俱乐部较合算? ?小结作业小结作业P104 P104 练习：练习：1 1，2.2.3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例第二课时第二课时 函数最值和函数拟合函数最值和函数拟合问题提出问题提出 从实际问题出发，构建相应的函数关系，从实际问题出发，构建相应的函数关系，通过分析函数的有关性质解决实际问题，是通过分析函数的有关性质解决实际问题，是函数应用的

26、重点内容函数应用的重点内容. 对此类应用问题，我对此类应用问题，我们应如何展开研究？们应如何展开研究？ 知识探究（一）：函数最值问题知识探究（一）：函数最值问题 问题：问题：某桶装水经营部每天的房租、人某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为员工资等固定成本为200200元，每桶水的进价是元，每桶水的进价是5 5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 240240280280320320360360400400440440480480日均销日均销售量售量/ /桶桶1212111110109 98 87 76 6销售单销售单价价/ /元元思考思考1

27、:1:你能看出表中的数据有什么变化规律？你能看出表中的数据有什么变化规律？ 思考思考2:2:假设每桶水在进价的基础上增加假设每桶水在进价的基础上增加x x元元, ,则日均销售量为多少？则日均销售量为多少？ 销售单销售单价价/ /元元6 67 78 89 9101011111212日均销日均销售量售量/ /桶桶480480 440440 400400360360320320280280240240思考思考3:3:假设日均销售利润为假设日均销售利润为y y元，那么元，那么y y与与x x 的关系如何？的关系如何？ 思考思考4:4:上述关系表明，日均销售利润上述关系表明，日均销售利润y y元是元是x

28、 x 的函数，那么这个函数的定义域是什么？的函数，那么这个函数的定义域是什么？思考思考5:5:这个经营部怎样定价才能获得最大利这个经营部怎样定价才能获得最大利润？润？ 思考思考6:6:你能总结一下用函数解决应用性问题你能总结一下用函数解决应用性问题中的最值问题的一般思路吗？中的最值问题的一般思路吗？ 选取自变量选取自变量建立函数式建立函数式确定定义域确定定义域回答实际问题回答实际问题求函数最值求函数最值知识探究（二）：函数拟合问题知识探究（二）：函数拟合问题 问题：问题：某地区不同身高某地区不同身高( (单位：单位：cm)cm)的未成的未成年男性的体重年男性的体重( (单位：单位：kg)kg)平均值如下表：平均值如下表：55.0555.0547.2547.2538.8538.8531.1131.1126.8626.8620.9220