刘美毕业论文

1、目 录引言11单硬币量子博弈论12量子测量对两枚硬币量子博弈的影响42.1两枚硬币量子博弈42.2量子测量对2枚硬币量子博弈的影响63量子测量对任意N枚硬币量子博弈的影响103.1量子测量对3枚硬币量子博弈的影响103.2量子测量对N枚硬币量子博弈的影响10结论13参考文献13英文摘要13致谢14 量子测量对多硬币量子博弈的影响 物理系1003班 学 生 刘 美 指导教师 任恒峰摘要：在单硬币及有限多硬币量子博弈中，游戏者之一可以利用相应的量子策略随心所欲地控制游戏的胜负。以此为理论基础，主要研究量子测量对多硬币量子博弈过程的影响。对于含有任意N个硬币的量子体系而言，可以依次对这N枚硬币进行的

2、量子博弈过程做合适的量子测量。由于对其中任意一个硬币的量子博弈进行测量后，使其恢复了统计的获胜概率，进而得到结论：对于任意N枚硬币系统而言，量子测量会使其重归公平。关键词：量子测量；多量子硬币；量子博弈引言 经典博弈论已成功在工业、经济、政治、军事等领域的决策中运用，可以用来解决和决定最好的可能策略1-3。最近，大家广泛关注量子博弈的子策略，此理论将应用数学与量子信息论有机地结合在了一起，并在与经典策略相对比之下，显示了量子策略巨大的优越性4-7。目前，王祥斌等人进一步讨论了任意N个态的量子赌盘的情况8；在实验上，杜江峰第一次用核磁共振量子计算机实验实现了“囚徒困境”量子博弈的全过程，且得出的

3、实验结果与理论计算完全一致9；中国科技大学的郭光灿运用光学实验实现了量子赌博机，并提出了量子测量在三态特殊博弈游戏中的作用，得出了量子测量可以使游戏由不公平趋于公平10,11。在上述的工作基础上，本文将从一个全新的角度来研究量子测量对多硬币量子博弈是否有影响，并为之提供另外一套可行的研究方法。1 单硬币量子博弈理论首先我们回顾一个经典的二态博弈游戏1-3：游戏参与者Alice（A）和Bob（B）两人在做一个经典的摇动硬币游戏。首先A将一个硬币放在一个不可透视的箱子中，硬币初始状态（头面向上或尾面向上）为二人均知；封闭后交给B，B将其摇动，然后交给A；A收到箱子后再将其摇动，再次给B；最后B摇动

4、后将箱子打开。二人均约定：若硬币人头面向上A胜，否则B胜。根据概率理论我们知道这两人获胜的机会是均等的，其概率都等于二分之一。在量子博弈中，当A将硬币放置好后，B均采用量子策略来代替经典摇动，而A仍用经典摇动来操作，B则完全可以根据自己的意愿利用量子策略来控制游戏的胜负。 我们可以把硬币的头面和尾面两个面看作是两个独立的态。用量子表示可以标记为：头向上记为：，尾向上记为：，可以表示为矩阵形式： =, = （1.1）抛向上的作用力F可以使硬币态保持不变,也可以使硬币原来的态发生翻转而变为另一个态, F=, =F （1.2） F=, = F （1.3）F 使硬币的态保持不变,而F则使原来的态发生翻

5、转而变为另一个态。下面来构建一个密度矩阵G： G= （1.4）其本征值为： （1.5）解得：，其特征向量为： ， （1.6）归一化后，其相应的本征态为： ， （1.7）则G 的对角矩阵为： ， （1.8）哈达玛变换矩阵： , （1.9）密度矩阵能够体现态的基本情况，在量子博弈游戏中起着至关重要的作用。如果量子态为：，则密度矩阵=。假设硬币的初态是：，规定： (1.10) (1.11)其相应的密度矩阵为： （1.12）同理：对于初态是，其相应的密度矩阵为： （1.13）在游戏中，假设A放入硬币的初态密度矩阵为，B量子摇动后其密度矩阵为，A经典摇动后其密度矩阵为，B再次量子摇动后其密度矩阵为。下面

6、我们就其中的一种情况进行介绍，假设硬币的初态为： （1.14）那么初态密度矩阵： （1.15） （1.16） (G 的大小不依赖于P) （1.17）假设此时B想要得到尾面朝上： （1.18）F为经典摇动，S为量子摇动，经典摇动不改变硬币的态，而量子摇动则要改变硬币的态。对于单个硬币而言，采用量子策略可以随心所欲的控制游戏的胜负。2 量子测量对两枚硬币量子博弈的影响2.1 两硬币量子博弈接下来我们进一步看两个可以分辨的量子硬币的博弈游戏8,9,它们与单硬币的规则及游戏过程类似，不过这两个硬币是可以分辨的。首先我们作一个定义：1）两硬币(A,B)头面全部向上的态为： （2.1）2）A头面向上,B尾

7、面向上： （2.2）3）A尾面向上,B头面向上： （2.3）4） A,B都是尾面向上： （2.4）N=4的量子赌盘和两个量子硬币的态的个数是一样的，因此我们可以再作一个定义：， （2.5）这样，我们完全可以把两个可分辨的量子硬币看作一个N=4的量子赌盘。下面我们来简单介绍一下N=4的量子赌盘的博弈游戏。结合单硬币游戏的内容，在N=4时，其对应有4!个变换：， ， . （2.6）这里我们仅列出前三项，其他21项与其类似，都是每一行每一列矩阵元中只有一个为1，其他全部为0。联系两个可以分辨的量子硬币的态，用列矩阵表示如下： , （2.7）在构造密度矩阵时，同理可以用上面单量子硬币时的方法，但计算繁

8、复，现在我们用单个硬币的密度矩阵的直积来形成： = = （2.8）G是对易的 （2.9）即，。求其本征值得：，对应的特征向量可取为： （2.10）那么我们可以构成幺正的对角化矩阵： （2.11） （2.12） （2.13） （2.14）相应的对角矩阵：, （2.15）注：。N=4的量子赌盘与两个可以分辨的量子硬币的态及密度矩阵的对应关系为：， ， （2.16） （2.17）即，由于经典的操作不会改变密度矩阵，从而采用量子操作者可以获得他所希望获得的任意状态。2.2量子测量对2枚硬币量子博弈的影响在2硬币中，首先对第1枚硬币进行量子测量：A放入的硬币的状态是可知的，B接过盒子以后采取的是量子的幺

9、正变换。假设A最初放置硬币以后的状态（头面向上或头面向下）分别以量子态表示。B置备的硬币的叠加态为： (2.18)此时可以用密度矩阵来表示硬币的状态为： (2.19)下面进行量子测量：如果B知道硬币放入后的状态，那么B就可以决定怎么样测量，也就是说，如果是头面就对头面测量，是尾面就对尾面测量。B测量时采取一组正交基如下： (2.20) (2.21)和 (2.22) (2.23)由2.20和2.21式可以得到： (2.24) (2.25)由2.22和2.23式可以得到： (2.26) (2.27) 把(2.24)和(2.27)式代入密度矩阵(2.19)式,可以得到： (2.28)化简并消去相干项

10、，由于测量的要求，只保留对角项。则密度矩阵变为： (2.29)B或者选择或者选择，即： (2.30)假设B采取的策略是一个经典的叠加策略： (2.31)那么B获胜的概率为: (2.32)将以上分析结果代入得： (2.33)将（2.24）和（2.26）式代入可得： (2.34) 将（2.25）和（2.27）式代入可得： (2.35) 这样我们就可以得到： (2.36) B可以采用下面的具体正交基： (2.37) (2.38)也就是说，令 (2.39)将 (2.39)式代入 (2.36)式可得： (2.40）其次，以同样的方法对第2枚硬币进行量子测量得： (2.41）通过上面的计算我们可以得知:，

11、的取值与无关，且最终的结果表明：游戏由一方可以控制的情形，完全转化为对双方而言重归公平的局面。3量子测量对任意N枚硬币量子博弈的影响3.1量子测量对3枚硬币量子博弈的影响在上面的基础上，我们以同样的方法分析量子测量对3硬币量子博弈的影响。在3枚硬币的体系中，首先对第1 枚硬币进行量子测量： (3.1)其次对第2枚硬币进行量子测量： (3.2)最后对第3枚硬币进行量子测量： (3.3)由上面数据，我们可得：，的取值与无关，这样的话，经过量子测量，原来由量子策略采用者所控制的博弈将重新恢复公平。3.2量子测量对N枚硬币量子博弈的影响以上述单硬币量子博弈、两硬币量子博弈、三硬币量子博弈为基础，我们可

12、以将其推广至有限个任意N个硬币的量子博弈。与之前的讨论相似，我们同样考虑经典的二人博弈游戏，在该游戏中共有N个可能的状态。下面以同样的方法计算B对任意N硬币量子博弈获胜的概率，首先对第1枚硬币进行量子测量： (3.4)接着对第2枚硬币进行量子测量： (3.5)然后对第3枚硬币进行量子测量： (3.6)依次对第4枚硬币进行量子测量： (3.7).对第N枚硬币进行量子测量： (3.8) 显然,，.,的取值与无关，进而表明：对于任意多硬币的量子博弈模型而言，量子测量可以使其最终重新恢复公平。结论在单量子硬币博弈理论中，游戏者之一利用相应的量子策略，即两次量子么正变换，可以获得他所想要的任意结果，进而

13、控制游戏的胜负；而对于多硬币博弈游戏而言，量子策略也同样比经典策略更具优越性。在回顾了量子测量对单硬币量子博弈模型的影响后，我们分别研究了量子测量对2枚、3枚乃至多枚硬币量子博弈模型影响，最终得到结论：量子测量可以使其最终重新恢复公平。参考文献1 孙昌璞.量子理论若干基本问题研究的新进展J.物理学进展,2001,12(03):01-022 何祚庥.谈谈量子力学测量问题J.物理,1993,22 (07):01-03 3 孙昌璞.量子力学测量问题与量子信息J.物理学进展,2000，06(55):01-074 周世勋.量子力学教程M.北京:高等教育出版社,1978:25-265 曾谨言.量子力学导论

14、M.北京:北京大学出版社,1998:42-476 陈咸亨译.量子力学原理M.北京:科学出版社,1965:108-1107 李淑娴,陈崇光译.量子力学M.北京:北京人民教育出版社,1981:133-1368 刘正钊.从经典博弈论到量子博弈论D.武汉:华中科技大学,200610 任恒峰,王清亮量子骰子J量子电子学报,2008，25(3):272-275.11 王清亮,任恒峰,侯胜侠,连润明.量硬币量子博弈J.山西大学学报,2011,34(4):617-620. Affect of Quantum Measurement for Quantum Coins of Quantum GameDepart

15、ment of Physics 1003 Student Liu meiTutors Ren hengfeng Abstract: In a single coin and finite quantum game, one of the players could use the corresponding control strategy of quantum as outcome of the game. On the basis of the theory, the main research on quantum measurement is a coin quantum game p

16、rocess. For a quantum system with arbitrary N coins, we could make a suitable quantum measurement for the N coins in the quantum game process. Because any coin is measured in turn, making it restore the winning probability statistics. Then draw the conclusion: for any arbitrary N coins system, quantum measurement makes the return to equity.Key words: Quantum measurement; Multiple Quantum coin; Quantum game致谢本文是在任恒峰老师的指导下完成的。从论文的选题、文献查阅到论文的