初中数学竞赛——圆四点共圆

1、第1讲 四点共圆典型例题一. 基础练习【例1】 如图，为内一点，、分别在、上已知、四点共圆，、四点共圆，求证：、四点共圆PECBADF【例2】 如图7-55，在梯形ABCD中，ADBC，过B、C两点作一圆，AB、CD的延长线交该圆于点E、F求证：A、D、E、F四点共圆【例3】 如图，、相交于、两点，是延长线上一点，割线交于、，割线交于、，求证：、四点共圆 PFDCBAE【例4】 如图7-56，在ABC中，AD=AE，BE与CD交于点P，DP=EP，求证：B、C、E、D四点共圆【例5】 如图，已知是的内接三角形，的直径交于，于，延长交于，求证：OGFECDBA【例6】 如图763，在的对角线上，

2、任取一点P，过点P作AB、CD的公垂线EG，又作AD、BC的公垂线FM求证：EF/GM【例7】 如图7-66，四边形ABCD是O的内接四边形，DEAC，AFBD，点E、F是垂足求证：EF/BC【例8】 如图7-60，已知ABC，AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点F、E求证：E、F、C、B四点共圆CDBA【例9】 如图，已知：，求证：是等腰三角形二. 综合提高【例10】 如图7-61，在O中，ABCD，点P是AB的中点，CP的延长线交O于点F，又点E为弧上任一点，连EF交AB于点G求证：P、G、E、D四点共圆【例11】 如图7-62，在ABC中，BAC为直角，AB=AC，BM=MC，

3、过M、C任作一圆，与AC交于点E，BE与圆交于F点，求证：AFBE【例12】 如图764，P为ABC外接圆一任意一点，点P到ABC三边的垂足分别为D、E、F三点成一直线【例13】 如图7-65，在中，过D、B两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点E、F、G、H求证：EF/GH【例14】 如图7-67，AB为半圆的直径，弦AC、BD相交于点H，HPAB求证：12【例15】 如图768，四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AEEF，EF交BCD的外角平分线于点F求证：EA=EF【例16】 在等边三角形中，、分别是边、上的点，且有，连结、交于点，求证：ECBADP【例17】

4、设凸四边形的对角线、互相垂直，垂足为，证明：点关于、的对称点共圆【例18】 证明：三角形的三条高交于一点【例19】 已知在凸五边形中，且，求证： 【例20】 如图所示，设是正九变形，为其外接圆的圆心，和是的两相邻边，为的中点，而为垂直于的圆半径的中点，试求与的夹角OACRQPB【例21】 如图，已知内接于，、为的切线，作，交于，连结并延长交于，求证：【例22】 如图，在凸四边形的边上取和（点比更靠近点）已知及，证明：FECBDA【例23】 如图，在平行四边形中，为钝角，且（1）求证：四点共圆；（2）设线段与（1）中的圆交于求证：【例24】 正方形的中心为，面积为，为正方形内的一点，且，求【例2

5、5】 如图，已知中，是高，是角平分线，且求证：（1）；（2）【例26】 如图，为的外接圆，为、上高、的交点，在上取点，使连结，求证：OHMEDCBA【例27】 如图，是的直径，弦交于点，点是弧上一点，和交于点，垂足为，求证：三. 过三点的圆【例28】 如图，四边形中，若，则_，_【例29】 已知凸四边形，求证：DCBA思维飞跃【例30】 如图，直线和与分别相切于，为圆上一点，到得距离分别为，试求到的距离 【例31】 如图，中，边上的高线与的两条内角平分线、分别交于、两点、的中点分别为、求证：MNPHBACEQF【例32】 如图，已知是正外接圆的弧上的任一点求证：PBCA【例33】 如图，、切圆于和，交于，过任作一弦，求证：ODCPBAM【例34】 如图，为的直径，为外一点，过引圆的两条切线，切点分别为、，与交于点，求证：OABDCFP作业1. 在锐角ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H求证：点H是DEF的内心FECDAB2. 已知是圆的直径，为圆的切线，和是圆的割线，分别交圆于、，求证：3. 已知中，是高，为上任一点，的中垂线交于，求证：RDCBAQP4. 如图，设四边形的两组对边、及、的交点分别为、若、的平分线互相垂直，则、四点共圆AFEDCBM5.