北京市海淀区高三第一学期期中考试数学理试题

1、北京市海淀区2015届高三第一学期期中考试数学（理）试题2014.11 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）（2）已知向量，. 若，则（ ）（A）（B）（C）（D）（3）若等比数列满足，且公比，则（ ）（A）（B）（C）（D）（4）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） （A）向左平移个单位（B）向左平移个单位（C）向右平移个单位（D）向右平移个单位（5）设，则（

2、）（A）（B）（C）（D）（6） 设，则“且”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） （A）（B）（C）（D）（8）设等差数列的前项和为.在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则（ ）（A）当时，取得最大值（B）当时，取得最大值（C）当时，取得最小值（D）当时，取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）设复数，则_ （10） 已知函数的图象关于轴对称，则实数的值是 .（11） _.（12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中

3、该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_后池水中药品的浓度达到最大. （13）如图所示，在ABC中，为边上的一点， 且.若，则.（14）已知函数（是常数，）的最小正周期为,设集合直线为曲线在点处的切线，.若集合中有且只有两条直线互相垂直，则= ；= .三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）已知函数.（）求的值；（）求的单调递增区间.（16）（本小题满分13分）已知是各项均为正数的等比数列，且成等差数列.（）求的通项公式；（）求数列的前项和.（17）（本小题满分13分）如图所示，在四边形中，且.（）求的面积；（）若，

4、求的长.（18）（本小题满分14分）已知函数.（）若,求函数的单调递减区间；（）若，求函数在区间上的最大值； （）若在区间上恒成立，求的最大值.（19）（本小题满分13分）已知数列的前项和.（）求的值；（）求证：；（）判断数列是否为等差数列，并说明理由. （20）（本小题满分14分）设函数，为曲线在点处的切线.（）求L的方程； （）当时，证明：除切点之外，曲线C在直线L的下方；（）设，且满足，求的最大值海淀区高三年级第一学期期中练习 数学（理）答案及评分参考 2014.11一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A

5、二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10） （11） （12） （13） （14）2；三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）. 3分（） 5分 . 9分 函数的单调递增区间为， 由， 11分 得. 所以 的单调递增区间为. 13分（16）（共13分）解：（）因为 成等差数列， 所以 . 2分 设数列的公比为，由可得， 4分即.解得：或（舍）. 5分 所以 . 7分（）由（）得：. 所以 8分 9分 . 13分（17）（共13分）解：（）因为 ，所以 . 3分因为 ，所以 . 5分因为 ，所以 的面积. 7分（）在

6、中，.所以 . 9分因为 ， 11分 所以 . 所以 . 13分（18）（共14分）解：（）当时，.，. 2分 令. 因为 ， 所以 . 3分 所以 函数的单调递减区间是. 4分 （）,.令，由，解得，（舍去）. 5分 当，即时，在区间上，函数是减函数.所以 函数在区间上的最大值为； 7分 当，即时，在上变化时，的变化情况如下表+-所以 函数在区间上的最大值为. 10分综上所述：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为.（）由（）可知：当时，在区间上恒成立； 11分当时，由于在区间上是增函数，所以 ,即在区间上存在使得. 13分 综上所述，的最大值为. 14分（19）（共13分）（）解：由题意知：，即. 解得：. 2分 （）证明：因为 ， 所以 （）. 4分 因为 （）. 6分 所以 ，即. 7分（）数列是等差数列.理由如下： 8分又（），由（）可得：（）. 9分所以 ，即. 11分因为 ， 所以 ，即（）. 所以 数列是以1为首项，为公差的等差数列. 13分（20）（共14分）解：（）.所以 .所以 L的方程为，即 3分（）要证除切点之外，曲线C在直线L的下方，只需证明，恒成立.因为 ，所以 只需证明，恒成立即可 5分设则.令，解得，. 6分当在上变化时，的变