功和能习题解答

1、第4章 功和能 4-1 如图，质量为的小球由长为的轻质细绳悬挂在天花板上点，求小球沿圆弧从最低位置a运动到细绳与竖直方向夹角为的过程中重力所做的功。（不考虑空气阻力）。解 方法一，建立如解用图1所示的直角坐标系，重力,位移 细绳与竖直方向夹角为 *方法二，如解用图2 ，设质点位置与竖直方向夹角为，重力与位移的夹角为（）式中是位移所对应的圆弧，细绳与竖直方向夹角为习题4-1图习题4-1解用图1习题4-1解用图24-2 如图，一根长为，质量为的匀质木杆，其一端挂在一个光滑的水平轴上而静止在竖直位置。现将细杆在拉力的作用下，缓慢地从竖直位置拉到木杆与竖直方向成角的位置。求在此过程中重力矩所作的功（不

2、考虑空气阻力）。解 如图，设刚体与竖直方向夹角为，此时重力矩 重力矩做的功 习题4-2图习题4-2解用图4-3 质量为的质点在变力的作用下沿空间曲线运动，其位矢。求力的功率。解 4-4 质量的质点在力作用下沿轴运动，其运动方程为，求力在最初2.0秒内所做的功。解 方法一 力在最初2.0秒内所做的功方法二 ，应用动能定理4-5 质量为的物体沿轴无摩擦地运动，设时，物体位于原点，速率为零。如果物体在沿着轴方向的作用力的作用下运动了3米，计算物体处于3米处的速度和加速度各为多少？解 力在3米内做的功 根据质点的动能定理得 质点处于3米处的力，加速度 4-6 质量为的物体在阻尼介质中以低速作直线运动时

3、，阻力近似为速度的线性函数，式中是正常数。试证明物体以初速度开始运动到静止的过程中阻力所做的功正好等于物体损失的动能。证 物体开始时速度为后来静止，则在此过程中损失的动能 阻尼力所做的功 由牛顿第二定律得 或 代入功的表达式积分得 4-7 质量分布均匀的柔软绳子，一部分置于光滑水平桌面，另一部分子沿桌边下垂，绳全长为。开始时下垂部分为，绳初速度为零，试用动能定理求整个绳全部离开桌面时的速度（设绳不伸长）。解 以整个绳子为研究对象，下垂部分为时，绳子所受合力为。若在此力作用下，绳子下移了，则合力做的元功 整个绳全部离开桌面时合力所做的功 由动能定理可得 4-8 铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉

4、的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内，问击第二次时能击入多深？假定铁锤两次打击时的速度相同。解 由于铁锤质量远大于钉的质量，因此可以认为击钉后铁锤和钉具有相同的速度，即铁锤打击铁钉时的速度。铁锤能将小钉击入木板内，是由于铁锤的动能全部转化为铁钉克服阻力所作的功，所以可将铁锤和小钉视作整体，作为研究对象。阻力对它所作的功即为其动能的变化。设木板对铁钉的阻力为，第一次击入深度为，则阻力的功 设第二次打击钉后深度达，则阻力所做的功铁锤两次打击时的速度相同，解得 习题4-9图第二次击入深度为 4-9 质量为的小球系在绳子的一端，绳穿过水平面上一小孔，使小球限制在一光

5、滑水平面上运动，先使小球以速度绕小孔做半径为的圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周半径减小为，求力所做的功。解 小球在运动过程中，除受重力、支持力这一对平衡力外，还受绳子的拉力作用，拉力对小孔的力矩为零,满足角动量守恒条件，设小球速度的大小变为，则 或 根据动能定理得力所做的功习题4-10图4-10 如图，长为、质量为的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链相连并绕其无摩擦地转动，此杆因受到微小扰动在重力作用下由静止开始绕点转动。以点为重力势能零点，当角为何值时刚体定轴转动的动能等于其重力势能。解 经分析知，刚体在绕铰链点定轴转动的过程中，只有重力做功，满足机械能守恒的条件,取点为势能零点。刚体处于

6、竖直位置，处在如图所示位置时的角速度为， 刚体定轴转动的动能等于重力势能有，即解得 习题4-11图4-11 长为、质量为的匀质木杆，一端挂在光滑的水平轴上，开始时静止于竖直位置，现有一粒质量为的子弹以水平速度从杆的中点穿过，穿出速度为，如图所示，求杆的最大摆角。解 选子弹和木杆组成的系统为研究对象，子弹和木杆相互作用过程角动量守恒。开始时，系统相对于点的角动量设相互作用后，木杆转动的角速度为，则系统的角动量 得到 解得 （1）木杆在摆动过程中(图示位置),所受重力矩为，负号表示与转动方向相反，所做的功应用刚体定轴转动的动能定理得 将式（1）代入上式，求得最大摆角 习题4-12图4-12 如图，

7、质量为、长为、初始角速度为的匀质细杆，可绕光滑垂直轴在粗糙的水平桌面内定轴转动，设细杆与水平桌面间的摩擦系数为，求细杆在停止转动前所转过的角度。解 取为正向，由习题3-12的结果知整个细杆所受的摩擦力矩为“”表示力矩使杆减速。根据刚体定轴转动的动能定理得 解得 习题4-13图4-13 如图，一半径为、质量为的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为，令圆盘最初以角速度绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，求圆盘在停止转动前所转过的角度。解 取为正向，由习题3-13的结果知整个圆盘所受的摩擦力矩为“”表示力矩使盘减速。根据刚体定轴转动的动能定理得解得 习题4-14图4-14 质量为、长

8、为的匀质细杆，可绕光滑端点自由转动，质量为的小球和细杆均在摩擦系数为的水平面上。初速度为的小球与细杆另一端垂直相碰，设碰撞后小球弹回的速度为。求细杆从静止开始转动到转动停止时所转过的角度。解 取细杆逆时针转动的角动量正方向，设碰撞后细杆获得角速度为。由相碰的过程角动量守恒得 解得 由习题3-12的结果知整个细杆所受的摩擦力矩为“”表示力矩使杆减速。设细杆转过的角度为，则刚体定轴转动的动能定理得 解得 4-15 质点沿轴运动，势能为，总能量为恒定不变。开始时质点静止于原点，试证明质点到达坐标处所经历的时间。证明 机械运动的总能量为，得 或 对上式分离变量后积分，并注意到时，则质点到达坐标处所经历

9、的时间为4-16 一双原子分子的势能函数为，式中为两个原子间的距离。试证明：(1) 为分子势能极小时的原子间距；(2)分子势能的极小值为；(3) 当时，原子间距为。证明 （1） 令，得 （2）将代入势能函数，得分子势能极小值 （3）解方程 ，得 4-17质量为的地球卫星，在地球上空高度为3倍于地球半径的圆轨道上运动。试用卫星的质量、地球的半径、万有引力常量和地球的质量来表示：(1) 卫星的动能；(2) 卫星的引力势能；(3) 卫星的总能量；（4）卫星对地心角动量的大小。解 （1）万有引力提供向心力，有，即，卫星的动能（2）卫星的势能 （3）卫星的总能量 （4）卫星对地心角动量的大小 习题4-1

10、8图4-18 如图，发射一宇宙飞船去考察一质量为、半径为的行星，当飞船静止于空间且距行星为时，以速度发射一质量为的仪器，要使仪器恰好掠着行星表面着陆，角应是多少？着陆滑行初速度大小为多少？解 仪器处于行星的引力场中，仪器所受引力对行星中心的力矩为零，所以仪器对行星中心的角动动量守恒。又因为行星与仪器间的引力是保守力，所以行星与仪器组成的系统的机械能守恒。于是，解得 4-19 试用机械能守恒定律重解习题4-7。解 选绳和地球为系统，系统无外力和非保守力作功，机械能守恒。选桌面为重力势能零点，由机械能守恒定律，初态与末态机械能相等，有得 习题4-20图习题4-20解用图4-20如图，劲度系数为的轻

11、弹簧水平放置，一端固定、另端系一质量为的物体，物体与水平面间的摩擦系数为。开始时，弹簧处于原长，现以拉力将物体从平衡位置开始向右拉动，求弹簧的最大弹性势能。解 分析物体受力知,物体受重力、支持力、拉力、摩擦力和弹簧弹性力。物体向右先作加速运动（），后作减速运动（），直至物体的速度为零，之后物体又将向左加速运动。当物体向右运动速度为零时，弹簧伸长量最大，弹性势能最大。方法一：质点的动能定理 物体动能的变化 外力的功如下： 水平恒力F的功为、摩擦力的功、弹簧弹性力的功等于弹性势能的增量 由动能定理得 解得 弹簧的弹性势能 方法二：功能原理 起初物体和弹簧组成系统的机械能为零，即，后来系统的机械能为 外力的功如下： 水平恒力F的功为、摩擦力的功由功能原理得 可得与方法（1）同样结果。习题4-21图4-21 如图，滑轮转动惯量为，半径为,物体质量为，由绳与劲度系数的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：（1）当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由