函数数列的极限

1、数列极限复习数列极限复习v定义定义:一般地一般地, ,如果当项数如果当项数n n无限增大时无限增大时, ,无穷数列无穷数列anan的项的项anan无限地趋无限地趋近于某个常数近于某个常数a,a,（既（既an-aan-a无无限地接近于限地接近于0 0），那么就说），那么就说数列数列anan以以a a为极限，为极限，或者说或者说数列数列anan的极限是的极限是a a记着记着: :limnnaav重要结论重要结论(1)常数常数c的极限等于的极限等于 limnCC(2)limnna(3)112112limssttnAnA nBnB n它本身它本身,即即x （1 1）当）当 时时 函数函数f(x)f(x

2、)的极限的极限1yxx110100100010000100000y10.10.010.0010.00010.00001v当自变量当自变量x x取正值并无限增大时取正值并无限增大时( (即即x x趋向于正无穷大趋向于正无穷大时时),),函数函数y y的值无限趋近于的值无限趋近于0,0,即即y-oy-o可以变得任意可以变得任意小小. .v同样地同样地, ,当自变量当自变量x x取负值并且它的绝对值无限取负值并且它的绝对值无限增大时增大时( (即即x x趋向于负无穷大时趋向于负无穷大时),),函数函数y y的值也无的值也无限趋近于限趋近于0,0,定义定义(1):(1):一般地一般地, ,当自变量当自

3、变量x x取正值并无限增大时取正值并无限增大时, ,函数函数f(x)f(x)的值无限趋近于一个常数的值无限趋近于一个常数a,a,就说就说当当x x趋向于正无穷趋向于正无穷大时大时, ,函数函数f(x)f(x)的极限是的极限是a a, ,记着记着: :lim( )xf xa定义定义(2):(2):一般地一般地, ,当自变量当自变量x x取负值并且绝对值无限增大时取负值并且绝对值无限增大时, ,函数函数f(x)f(x)的值无限趋近于一个常数的值无限趋近于一个常数a,a,就说就说当当x x趋向趋向于负无穷大时于负无穷大时, ,函数函数f(x)f(x)的极限是的极限是a a, ,记着记着: :lim(

4、 )xf xalim( )xf xlim( )xf x问题？和一定存在吗？lim( )xf xlim( )xf x问题？和存在若它们的值一定相等吗它们的值一定相等吗？lim( )xf xalim( )xf xa 那么就说那么就说 当当x x趋向于无穷大时趋向于无穷大时, ,函数函数f(x)f(x)的极的极限是限是a a, ,记着记着: :lim( )xf xa注意注意:必须两个条件都满足必须两个条件都满足,才能说才能说-如果如果且且定义定义(3)(3)对于常数函数对于常数函数f(x)=c(xR), 也有也有lim( )xf xCv重要结论：重要结论：lim?xxalim?xxa记忆方法：记忆方

5、法：数形结合法（数形结合法（指数函指数函数的图象数的图象）0 xx（2 2）当）当 时时 函数函数f(x)f(x)的极限的极限2yx问题（问题（1 1）：讨论）：讨论当当x x无限趋近于无限趋近于2 2（从左、右两边从左、右两边）时，）时，函数函数的变化趋势：的变化趋势：问题（问题（2 2）：）：讨论当讨论当x x无限趋近于无限趋近于1 1 （从左、右两边从左、右两边）时，函数时，函数的变化趋势：的变化趋势：211xyx211lim21xxx22lim4xx问题？当当 x从从x x0 0的左、右两边趋近于的左、右两边趋近于x x0 0时，时，f(x)f(x)的极限一定相等吗？的极限一定相等吗？

6、你能否举例说明？（ ）一般地一般地, ,当自变量当自变量x x无限趋近于常数无限趋近于常数x x0 0时（时（但但x x不等不等于于x x0 0）, ,如果函数如果函数f(x) f(x) 无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a,a,就就说说当当x x趋近于趋近于x x0 0时时时时, ,函数函数f(x)f(x)的极限是的极限是a a, ,记着记着: :0lim( )xxf xa 也叫做也叫做函数函数f(x)f(x)在点在点x=xx=x0 0处的极限处的极限0lim( )xxf xx x无限趋近于常数无限趋近于常数x x0 0，是指是指x x从从x x0 0的左、右两边趋近于的左、右两边趋近于x

7、 x0 0定义（定义（4）v一般地，设一般地，设C C为常数，则为常数，则0limxxCC由例2及 ，你能总结出一般性结论吗？211lim21xxx本节课主要学习了哪些问题？第二课时第二课时函数的左、右极限说出下列函数极限的定义：说出下列函数极限的定义：（1）（2）（3）（4）lim( )xf xalim( )xf xalim( )xf xa0lim( )xxf xa一般地一般地, ,当自变量当自变量x x取正值并无限增大时取正值并无限增大时, ,函数函数f(x)f(x)的值无限趋近于一个常数的值无限趋近于一个常数a,a,就就说说当当x x趋向于正无穷大时趋向于正无穷大时, ,函数函数f(x)

8、f(x)的极的极限是限是a a, ,记着记着: :lim( )xf xa定义定义(1):(1):一般地一般地, ,当自变量当自变量x x取负值并且绝对值无取负值并且绝对值无限增大时限增大时, ,函数函数f(x)f(x)的值无限趋近于一的值无限趋近于一个常数个常数a,a,就说就说当当x x趋向于负无穷大时趋向于负无穷大时, ,函函数数f(x)f(x)的极限是的极限是a a, ,记着记着: :lim( )xf xa定义定义(2):(2):lim( )xf xalim( )xf xalim( )xf xa 那么就说那么就说 当当x x趋向于无穷大时趋向于无穷大时, ,函函数数f(x)f(x)的极限是

9、的极限是a a, ,记着记着: :如果如果且且定义定义(3)(3) 一般地一般地, ,当自变量当自变量x x无限趋近于常数无限趋近于常数x x0 0时（时（但但x x不等于不等于x x0 0）, ,如果函数如果函数f(x) f(x) 无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a,a,就说就说当当x x趋近于趋近于x x0 0时时时时, ,函数函数f(x)f(x)的极限是的极限是a a, ,记着记着: :0lim( )xxf xa定义（定义（4）（函数在一点处的极限）（函数在一点处的极限）x x无限趋近于无限趋近于x x0 0，应理解为，应理解为x x可以用可以用任何方式任何方式无限趋近于无限趋近于x

10、 x0 0阅读：P80例例2练习练习: P81练习练习2想一想：可以总结出什么规律？左极限定义：左极限定义： 一般地如果当一般地如果当x从点从点x0左侧左侧（即（即xx0)无限趋近无限趋近于于x0时，函数时，函数f(x)无限趋近于常数无限趋近于常数a,就说就说a是函数是函数f(x)在点在点x0处的处的左极限左极限，记作，记作0lim( )xxf xa右极限定义：右极限定义： 一般地如果当一般地如果当x从点从点x0右侧右侧（即（即xx0)无限趋近无限趋近于于x0时，函数时，函数f(x)无限趋近于常数无限趋近于常数a,就说就说a是函数是函数f(x)在点在点x0处的处的右极限右极限，记作，记作0lim( )xxf xa根据函数在一点处的极限、左根据函数在一点处的极限、左极限、右极限的定义，可以得极限、右极限的定义，可以得出：出：0lim( )xxf xa0lim( )xxf xa0lim( )xxf x练习练习1：P83练习练习1、2练习练习2: P83习题习题1举例说明：举例说明：（1